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第二十一章 一元二次方程
21.2.3 因式分解法
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程x2=2x的根是
A．x=2 B．x=﹣2
C．x=0，x=2 D．x=0，x=﹣2
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【答案】C
【名师点睛】此题考查用因式分解法解一元二次方程.因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的
积等于0的方程.
2．一元二次方程x2−3x＝0的解为
[来源:学科网]
A．x＝0 B．x＝3
C．x＝x＝−3 D．x＝0 ，x＝3.
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【答案】D
【解析】
x=0或x−3=0
所以
故选D．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式
分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．3．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
A．6 B．8
C．10 D．8或10
【答案】C
【解析】 ，
或 ，
， ，
当2为腰，4为底时， ，不符合三角形三边的关系，
等腰三角形的底为2，腰为4，
这个等腰三角形的周长 ，
故选C．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程 因式分解法，等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握解
一元二次方程的方法是解题的关键.
4．一元二次方程x2+3x=0的根为
A．﹣3 B．3
C．0，3 D．0，﹣3
【答案】D
【名师点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能利用因式分解法进行求解的一元二次方程左侧能
进行因式分解，右侧为0，熟练掌握是解题的关键.5．一元二次方程3x2 – 2x＝0的解是
A． B．x=0
C．x= ，x=0 D．x= ，x=0
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【答案】D
【解析】x（3x−2）=0，
x=0或3x−2=0，
所以x=0，x= ．
1 2
故选D．
【名师点睛】解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次
因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把
原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
6．关于x的一元二次方程x2−2x−3=0的根是
A．x=1,x=3 B．x=−1,x=3
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C．x=1,x=−3 D．x=−1,x =−3
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【答案】B
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是_____．
【答案】x=3，x=9
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【解析】（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x=3，x=9，
1 2
故答案为：x=3，x=9.
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8．方程x2＋x＝0的根为__________．
【答案】x ＝−1，x ＝0
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【解析】
[来源:Zxxk.Com]故答案为：
9．若实数a、b满足(a+b)(a+b−2)−8=0，则a+b=_________．
【答案】−2或4．
【解析】设t=a+b，则由原方程得到：t（t−2）−8=0，整理得：（t+2）（t−4）=0，解得t=−2或t=4，
即a+b=−2或a+b=4．故答案是：−2或4．
10．用换元法解方程 + = ，设y= ，那么原方程化为关于y的整式方程是__．
【答案】
【解析】原式= ， ∵ ， ∴原式= ，化为整式方程为 .
【名师点睛】本题主要考查的是换元法的应用，属于基础题型．换元法的关键就是把某个式子看成一个整
体，然后用另外一个字母来替换它．
11．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是_____．
【答案】2或﹣1
【名师点睛】考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因
式分解法．
12．我们知道方程x2﹣2x+1=0的解是x=x=1，则给出的另一个方程（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=0的解是_____．
1 2
【答案】x=x=2
1 2
【解析】∵方程x2﹣2x+1=0的解是x=x=1，
1 2
∴方程（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=0的解满足：
x−1=1,
∴x=x=2.
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【名师点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，认真观察所给两个方程的特点，合理换元是解答本题的突破点.
13．关于x的一元二次方程 的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
【答案】−2
[来源:学科网ZXXK]
【解析】由题意把 代入方程 得：
，解得： ，
∴原方程为： ，解此方程得： ，
∴原方程的另一根为：−2.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．解方程：（2x+1）2=（2﹣x）2．
【答案】x=﹣3，x=
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【名师点睛】此题考查用公式法和因式分解法解一元二次方程.公式法适用于所有的方程，因式分解法只
适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.
15．根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为 ；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为 ；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 ；
②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．
（3）应用：关于x的方程 的解为x=﹣1，x=n+1．
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【答案】①x=﹣1，x=2；②x=﹣1，x=3；③x=﹣1，x=4；（2）①x=﹣1，x=10；②
1 2 1 2 1 2 1 2x=﹣1，x=10；（3）x2﹣nx﹣（n+1）=0
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【解析】①∵x2﹣x﹣2=0，
∴(x+1)(x−2)=0,
∴x=﹣1，x=2；
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②∵x2﹣2x﹣3=0，
∴(x+1)(x−3)=0,
∴x=﹣1，x=3；
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③∵x2﹣3x﹣4=0，
∴(x+1)(x−4)=0,
∴x=﹣1，x=4；
1 2
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 x=﹣1，x=10；
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②x2﹣9x﹣10=0，
移项，得
x2﹣9x=10，
配方，得
x2﹣9x+ =10+ ，
即（x﹣ ）2= ，
[来源:学科网]
开方，得
x﹣ = .
x =﹣1，x=10；
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（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x=﹣1，x=n+1．
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【名师点睛】本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法
是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关
系是解（3）的关键.
[来源:Zxxk.Com]
