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专题 10 导数大题训练（文科）
题型一、利用导数研究函数的单调性
1．设函数 ．
(1)若 ，过点 作曲线 的切线，求切点的坐标；
(2)若 在区间 上单调递增，求整数 的最大值．
2．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）若 在 上是增函数，求 的取值范围．
题型二、利用导数研究函数的极值与单调性
1．已知函数 .
（1）当 时，若 ，求函数 的最值；
（2）若函数 在 处取得极值，求实数 的值.
2．（2011年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数
(1)证明：曲线 在 处的切线过点 ；
(2)若 在 处取得极小值， ，求 的取值范围.
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数
，曲线 在点 处切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性，并求 的极大值．
4．已知函数 ．
（Ⅰ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）设 在区间 中至少有一个极值点，求a的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1题型三、利用导数研究函数的最值与单调性
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
3．设函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）证明当 时， ；
（Ⅲ）设 ，证明当 时， .
4．已知函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且
.
（1）证明： .
（2）求z=a+2b的取值范围.
5．设a∈R，函数f (x)=ax3 −3x2 .
（1）若x=2是函数y=f (x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)=f (x)+f' (x)，x∈[0,2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围
题型四、利用导数研究切线问题
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ，曲线 在点
处的切线也是曲线 的切线．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知函数 .
(I)求f (x)的极小值和极大值；
(II)当曲线y=f (x)的切线 的斜率为负数时，求 在x轴上截距的取值范围.
题型五、利用导数证明不等式
1．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数
.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明 .
3．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3（2）证明：当 时， ．
alnx b
5．（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数 f (x)= + ，曲线
x+1 x
y=f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0，
a,b
（1）求 的值
（2）证明：当x>0,x≠1时，
题型六、利用导数研究恒成立问题
1．已知函数f (x)=ex(ex −a)−a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时， ，求实数 的取值范围.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为
f（x）的导数．
（1）证明： 在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时， ，求a的取值范围．
题型七、利用导数研究根的问题
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））已知函数 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 .
（1）求 ；
（2）证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点.
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
3．（2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（黑卷）试题）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 在 上有且仅有两个零点.
4．已知函数 ， 的导函数为 ．
(1)讨论 的极值点的个数；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
题型八、利用导数研究函数的零点问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
2．已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
题型九、利用导数研究参数问题
分离参数法求参数的取值范围
1．已知函数 ．
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
2．设函数
（Ⅰ）若a= ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围
分类讨论法求参数的取值范围
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设函数
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
题型十、利用导数研究函数性质
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6，曲线 处的切线斜率为0
（1）求b;（2）若存在 使得 ，求a的取值范围．
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷带））已知函数
（I）讨论 的单调性；
（II）设 有两个极值点 若过两点 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求
的值．
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