文档内容
专题 10 导数大题训练（文科）
题型一、利用导数研究函数的单调性
1．设函数 ．
(1)若 ，过点 作曲线 的切线，求切点的坐标；
(2)若 在区间 上单调递增，求整数 的最大值．
【答案】(1)切点坐标为 和
(2)8
【分析】（1）设切点为 ，表示出点 处切线方程，将 代入解得 ，或 ，求出
切点坐标为 和 ；
（2）把题意转化为 时， 恒成立， .对a分类讨论：i.
时，ii. 时，分别求出满足条件的整数 的范围，即可求得.
【详解】（1） 时， ， ，
设切点为 ，则点 处切线方程为： ，
将 代入得： ．
即 ，解得 ，或 ，
时， ； 时， ．
∴所求切点坐标为 和 ．
（2） ．记
∵ 在 上单调递增，∴ 时， 恒成立.
i. ，即 时，
时， ， ，∴ ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，故 ， 时满足条件．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1ii. ，即 时．
在 上， ， ，所以 ， 单调递减；
在 上， ， ，所以 ， 单调递增，
∴ ，
记 ，在 上 ， 单调递减，
∵ ， .
因为 ， 时满足条件．
由i和ii知，满足条件的整数 的最大值为8．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
2．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）若 在 上是增函数，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 是 的极小值，无极大值
（Ⅱ）
【详解】本题主要考查导数的两大应用，即利用导数求极值和解决函数的的单调性问题，考查考生对高次
方程的因式分解能力与计算能力．
（Ⅰ） ．
当 时， ， 在 内单调减，在 内单调增，
在 时， 有极小值．所以 是 的极小值，无极大值.
(Ⅱ) 在 上， 单调增当且仅当
即 ． ①
（i）当a=0时①恒成立；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2（ii）当a>0时①成立, 当且仅当 ,解得 ．
（iii）当a<0时①成立，即
当且仅当 ．解得： ．
综上，a的取值范围是 ．
点评：本题属于导数的常见题型，与往年不同的是函数次数的升高，这就对考生的因式分解能力加大了要
求，这就要求我们在复习备考时，在牢固掌握三次函数的导数问题的同时对四次的导数问题也应该有所涉
及．
3．已知函数 ，（ ）
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围．
【答案】解：（1） ，
当 时，即 时， ， 在 上递增；
当 时，即 或 时， ，
由 求得两根为
即 在 和 上递增；
在 上递减，
的单调递增区间是：当 时，
当 或 时， 和
的单调递减区间是：
当 或 时，
（2）（法一）由（1）知 在区间 上递减，
∴只要
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3{
a2 ≥3
−a− √a2 −3 2
≤−
∴ 3 3 解得： ．
−a+ √a2 −3 1
≥−
3 3
{ 7
a≥
∴ 4
a≥2
题型二、利用导数研究函数的极值与单调性
1．已知函数 .
（1）当 时，若 ，求函数 的最值；
（2）若函数 在 处取得极值，求实数 的值.
【答案】（1） ， （2）
【分析】（1）当 时， ，求导得到 的单调性，利用单调性求得最值；
（2）由题意 ，解方程得到 ，要注意检验.
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ，
函数 在区间 上单调递增，
当 时， ， .
（2） ，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4又 函数 在 处取得极值， ， .
经验证知， 满足题意.
综上，所求实数 的值是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推理能力，数学
运算能力，是一道中档题.
2．（2011年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数
(1)证明：曲线 在 处的切线过点 ；
(2)若 在 处取得极小值， ，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】(1)先对函数 求导，求出 ，进而可得其切线方程；
(2)由 得 ，分 和 两种情况讨论，分别判断函数的单调性，即可求解.
【详解】（1） ，
由 得曲线 在x=0处的切线方程为
,
由此知曲线 在 处的切线过点 ；
（2）由 得 .
（i）当 即 时， 没有极小值；
(ii)当 ,即 或 时，由 得
， ，
故 .由题设知 ，
当 时，不等式 无解；
当 时，解不等式 得
综合(i)(ii)得 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，通常需要利用导数的研究函数的单调
性等，属于常考题型.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数
，曲线 在点 处切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性，并求 的极大值．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 在点 处切线方程为
，建立方程，即可求得 ， 的值；（2）利用导数的正负，可得 的单调性，从而可求
的极大值．
试题解析：（1） ．
由已知得 ， ．故 ， ．
从而 ， ．
（2）由（1）知， ，
．
令 得， 或 ．从而当 时， ；
当 时， ．
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，函数 取得极大值，极大值为 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究
函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ；(3)解方程 ，求出函数定
义域内的所有根；(4)列表检验 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在
处取极大值，如果左负右正，那么 在 处取极小值．
4．已知函数 ．
（Ⅰ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）设 在区间 中至少有一个极值点，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数 的单调增区间是： 和 ；
单调减区间是： ；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．
（Ⅱ）求出函数的导数 ，在 内有极值，即为 在 内有一个零点，即可根据
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6，即可求出a的取值范围．
【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
当 时，解得 或 ，此时函数单调递增；
当 时，解得 ，此时函数单调递减，
所以函数 的单调增区间是： 和 ；
单调减区间是： ；
（Ⅱ） .
因为 在区间 中至少有一个极值点，所以有 ，即
，所以a的取值范围是 .
【点睛】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方
程的知识．
题型三、利用导数研究函数的最值与单调性
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据 及（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为 ，又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7故 即 .
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转
化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【分析】(1)先求 的导数，再根据 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论 的范围，利用函数单调
性进行最大值和最小值的判断，最终求得 的取值范围.
【详解】(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以区间 上最小值为 .而 ，
故所以区间 上最大值为 .
所以 ，
设函数 ，求导
当 时 从而 单调递减.而 ，
所以 .即 的取值范围是 .
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以区间 上最小值为 而 ，
故所以区间 上最大值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8所以 ，而 ，
所以 .即 的取值范围是 .
综上得 的取值范围是 .
【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最
大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.
3．设函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）证明当 时， ；
（Ⅲ）设 ，证明当 时， .
【答案】（Ⅰ）当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数 ，然后通过解不等式 或 可确定函数
的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的 换为 即可证明；（Ⅲ）变形所
证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．
试题解析：（Ⅰ）由题设， 的定义域为 ， ，令 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 处取得最大值，最大值为 .
所以当 时， .
故当 时， ， ，即 .
（Ⅲ）由题设 ，设 ，则 ，令 ，
解得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
由（Ⅱ）知， ，故 ，又 ，故当 时， .
所以当 时， .
【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法
【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调
性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 94．已知函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且
.
（1）证明： .
（2）求z=a+2b的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）求出 的导函数，因为函数在 和 取得极值得到： ， 是导函数等于0的两
个根．表示出导函数，因为 函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到
的范围；
（2）由 得到导函数在 、2时大于0，导函数在 时小于0，得到如图所示的三角形
，求出三个顶点的坐标即可得到相应的 值，得到 的取值范围即可．
【详解】求出函数 的导函数 ．
（1）由函数 在 处取得极大值，
在 处取得极小值，知 ， 是 的两个根．所以
当 时， 为增函数， ，由 ， ，得 ．
（2）在题设下， 等价于 ，
即 ，化简得 ．
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线： ， ， ．
所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ．
在这三点的值依次为 ．所以 的取值范围为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于得到 ，联想到线性规划知识求解.
5．设a∈R，函数f (x)=ax3 −3x2 .
（1）若x=2是函数y=f (x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)=f (x)+f' (x)，x∈[0,2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围
【答案】（1）a＝1；（2） .
【分析】（1）根据 ＝0，即可求出a的值，然后验证所求a的值满足x=2是函数y=f (x)的极值点；
（2）利用最大值 求出 的取值范围，然后再验证所求 的取值范围满足在x＝0处取最大值即
可.
【详解】（1）f' (x)=3ax2 −6x2 =3x(ax−2)．
因为x=2是函数y=f (x)的极值点，
所以 ＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x=2是函数y=f (x)的极值点，所以 .
（2）由题意知， ，
因为当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)，所以 ，即 ，故得 .
反之，当 时，对任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11综上所述，a的取值范围为 .
题型四、利用导数研究切线问题
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ，曲线 在点
处的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3；(2)
【分析】（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函
数值求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函
数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处
的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整
理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2)(1，a+1) 和 .
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
1
当Δ=4−12a>0,a<
时， 的解为： ，
3 f' (x)=0
当 时， ， 单调递增；
f' (x)>0 f (x)
当 时， ， 单调递减；
f' (x)<0 f (x)
当 时， ， 单调递增；
f' (x)>0 f (x)
1
综上可得：当
a≥
时， 在R上单调递增，
3 f (x)
1
当a< 时， 在 ， 上
3 f (x)
单调递增，在 上单调递减.
(2)由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： x =1 ，则f (x )=f (1)=1−1+a+1=a+1，
0 0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13切线方程为： ,与f (x)=x3 −x2 +ax+1联立得 ，
化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个因式，
∴该方程可以分解因式为 解得 , ，
综上，曲线y=f (x)过坐标原点的切线与曲线y=f (x)的公共点的坐标为(1，a+1) 和 .
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注
意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，
要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解
时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考
压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知函数 .
(I)求f (x)的极小值和极大值；
(II)当曲线y=f (x)的切线 的斜率为负数时，求 在x轴上截距的取值范围.
【答案】(I) 0， ；(II)
【详解】（Ⅰ）由题意知， 的定义域为R，
由 ，
令 ，解得 ；
令 ，解得 或 ，
所以当 时， 0；
当 时， ；
（Ⅱ）设切点为 ，
则 ，即 或 ，
的方程为y=f' (t)(x−t)+f(t)，
f (t) f (t) t
令 ，
x=t−
则 在x轴上截距
m(t)=t− =t+
f' (t) f' (t) t−2
2
则m(t)=t−2+ +3，
t−2
令 ，则 或 ，故
当 时， ，当且仅当 ，即 时，取等号
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14当 时， 在 单调递增，所以
所以函数 的值域为
则 在x轴上截距的取值范围为
本题第（Ⅰ）问，要求函数 的极值，先求函数 的定义域、导数、判断导数的正负，可以得出结果;
第（Ⅱ）问,先由导数小于0，解得 的取值范围，然后结合直线的截距式方程写出直线，即可求出．对第
（Ⅰ）问，一部分同学们容易忽视定义域的求解；第（Ⅱ）问,一部分同学找不思路，所以在日常复习中，
要加强导数基本题型的训练.
【考点定位】本小题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式等知识，综合性较强，考
查函数与方程、分类讨论等数学思想，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知
识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
题型五、利用导数证明不等式
1．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
【答案】（Ⅰ）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出零点个
数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设 在 的唯一零点为 ，根据 的正负，即可判定函数的图像与性质，
求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 ，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， .
当 时, ， 没有零点；
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,当b满足
且 时， ,故当 时， 存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;
当 时， .
故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15由于 ，所以 .
故当 时， .
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；
运算求解能力.
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数
.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明 .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先求函数导数 ，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当
时， ，则 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调
递减.
（2）证明 ，即证 ，而 ，所以需证 ，
设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得 ，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+ ）， .
若a≥0，则当x∈（0，+ ）时， ，故f（x）在（0，+ ）单调递增.
若a＜0，则当 时， 时；当x∈ 时， .
故f（x）在 单调递增，在 单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在 取得最大值，最大值为 .
所以 等价于 ，即 .
设g（x）=lnx-x+1，则 .
当x∈（0,1）时， ；当x∈（1，+ ）时， .所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+
）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0
时， ，即 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数 .根据差函数导
函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、
等量代换将多元函数转化为一元函数.
3．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1）切线方程是 ；（2）证明见解析．
【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
（2）方法一：当 时， ，令 ，只需证明 即
可．
【详解】（1） ， ．
因此曲线 在点 处的切线方程是 ．
（2）［方法一］：【最优解】放缩
当 时， ．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以
．因此 ．
［方法二］：【通性通法】导数的应用
函数 的定义域为R， ．
当 时，令 ，得 ，或 ，其中 ．则函数 的单调递减区间为 ，
，单调递增区间为 ．又 ，当 时， 恒成立，故
，故当 时， ．
［方法三］：等价变形＋含参讨论
不等式 等价于 ．
令 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17当 时， （导数法证明过程参考方法二）．
当 时，易知 在R上单调递增且 ．
所以存在唯一实数 使得 ，即 ．函数 在区间 内单调递
减，在区间 内单调递增．故 ．
记 ，则 的图像为开口向上，对称轴 的抛物线，故函数
在区间 内单调递减，故 ．
综上所述，当 时， ．
［方法四］：【最优解】利用切线不等式放缩
不等式 等价于 ．因为 ，所以
．当 时， ，即
结论得证．
【整体点评】（2）方法一：利用不等式性质放缩，转化为求具体函数的最值，方法简单易操作，是该题
的最优解；
方法二：直接研究函数的单调性求最小值，即可解出，是该类型题的通性通法；
方法三：将不等式等价变形，然后再含参讨论新函数的单调性，求出最小值，此法也是常规手段，但是对
于解决该题，显得有些繁琐；
方法四：将不等式等价变形，然后利用切线不等式，不等式的性质放缩，再结合二次函数的性质解出，也
可以认为是本题的最优解．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析.
【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等
式 即可求出单调区间；
（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当 时， ，之后构造新函数
，利用导数研究函数的单调性，从而求得 ，利用不等式的传递性，证得结
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18果.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，则 ，解得： ，故
．易知 在区间 内单调递增，且 ，
由 解得： ；由 解得： ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当 时， .设 ，则 .
当 时， ；当 时， .所以 是 的最小值点.
故当 时， .因此，当 时， .
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为 ，所以 在区间 内单调递增．设 ，当 时， ，当
时， ，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且
，所以 ．
设 ，则 ．
所以 在区间 内单调递减，故 ，即 成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证 时 ，即 ，则证 成立．
令 ，则 ．
令 ，则 ，由 知 在区间 内单调递减，从而 在
内单调递增，在区间 内单调递减．
所以 ，而 ，所以 恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合 与 的图像，可知 有唯一实数解，不妨设 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19．易知 在区间 内是减函数，在区间 内是增函数．
所以 ．
由 ，得 ．
．
当且仅当 ，即 时， ，所以 ．
［方法五］：异构
要证明 ，即证 ，
即证明 ，再证明 即可．
令 ， ．
设 ，则 ．
若 时， 在 上恒成立，所以 ；
若 时，当 时 ；当 时， ．
所以 为 的极小值点，则 ．
因为 ，所以 ，所以 ．令 ．
当 时， ；当 时， ，所以 为 的极小值点．
则 ，所以 ，即 ．
所以 ．
［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数
．
令 ，则 ．
令 ．显然 为定义域 上的增函数．又 ，故当 时， ，得
；当 时， ，得 ．即 在区间 上为减函数， 在区间 上为增
函数，故 ．即 恒成立，而 恒成立．
【整体点评】（2）方法一：利用 的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；
方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；
方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不
一样；
方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；
方法六：基本类似于方法三．
alnx b
5．（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数 f (x)= + ，曲线
x+1 x
y=f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0，
a,b
（1）求 的值
（2）证明：当x>0,x≠1时，
【答案】分析：（1）利用导数的几何意义列式求待定系数的值；（2）构造新函数求其导数，利利用单调
性和极值证明．
(x+1 )
a −lnx { f (1)=1 { b=1
解：（Ⅰ） ∵f' (x)= x − b ，由题意知： f'(1)=− 1 ⇒ a −b=− 1
(x+1) 2 x2 2 2 2
a=b=1
lnx 1 lnx 1 ( x2 −1)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x)= + ，所以f (x)− = 2lnx−
x+1 x x−1 1−x2 x
x2 −1 (x−1) 2
设h(x)=2lnx− (x>0)则h' (x)=− (x>0)
x x2
当x≠1时，h' (x)<0 ，而h(1)=0
lnx 1
故当 时， ，当 时， ，得： f (x)− = h(x)>0
x∈(0,1) h(x)>0 x∈(1，+∞) h(x)<0 x−1 1−x2
lnx
从而f (x)>
x−1
题型六、利用导数研究恒成立问题
1．已知函数f (x)=ex(ex −a)−a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
【答案】(1) f(x)在 上单调递减，在区间 上单调递增.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21（2）
【分析】(1)求f(x)的导函数为f' (x)=(2ex +a)(ex −a)，通过讨论a，求函数的单调区间即可. (2)因为
f(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a
的范围.
【详解】(1)函数f(x)的定义域为R，且a≤0.
f' (x)=2e2x −aex −a2 =(2ex +a)(ex −a).
①若a＝0，则f (x)=e2x ，在R上单调递增.
②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln .
当x∈ 时，f′(x)<0；当x∈ 时，f′(x)>0.
故f(x)在 上单调递减，在区间 上单调递增.
(2)①当a＝0时，f (x)=e2x >0恒成立.
②若a<0，则由(1)得，当x＝ln 时，f(x)取得最小值，最小值为f ＝ ，
a2
故当且仅当 ≥0，即0>a≥ 时，f(x)≥0.
a2
综上a的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学
生的计算能力，属于中档题.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
【分析】（1）[方法三]不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的
最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，
判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
【详解】（1）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22[方法一]【最优解】：
等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，
当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
所以c的取值范围为 ．
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以
单调递减，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数
学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是
使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】（I）函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
（II） .
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对
分类讨论，当a≥1时， ，满足条件；当 时，取
，当0＜a＜1时，取 ，
.
试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
当x∈（-∞，-1- ）时，f’(x)<0；当x∈（-1- ，-1+ ）时，f’(x)>0；当x∈（-1+ ，+∞）时，
f’(x)<0
所以f(x)在（-∞，-1- ），（-1+ ，+∞）单调递减，在（-1- ，-1+ ）单调递增
(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而
g(0)=0，故ex≥x+1
当0＜x＜1， ， ，取
则
当
综上，a的取值范围[1，+∞）
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函
数的最值问题.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为
f（x）的导数．
（1）证明： 在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时， ，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，当
时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结
论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出 ，
；分别在 ， ， 和 的情况下根据导函数的
符号判断 单调性，从而确定 恒成立时 的取值范围.
【详解】（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值
恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，
进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26题型七、利用导数研究根的问题
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））已知函数 ，
曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 .
（1）求 ；
（2）证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点.
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【详解】试题分析：（1） ，由导数的几何意义得 ，故切线方程为
，将点 代入求 ；（2）曲线 与直线 只有一个交点转化为函数
有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值
点，从而判断函数大致图象，再说明与 轴只有一个交点．本题首先入手点为 ，当 时， ，
且 ， ，所以 在 有唯一实根．只需说明当 时无根即可，因为
，故只需说明 ，进而转化为求函数 的最小值问题处理．
（1） ， ．曲线 在点 处的切线方程为 ．由题设得，
，所以 ．
（2）由（1）得， ．设 ．由题设得 ．
当 时， ， 单调递增， ， ，所以 在
有唯一实根．当 时，令 ，则 ．
， 在 单调递减；在 单调递增．所以 ．所以 在
没有实根，综上， 在 上有唯一实根，即曲线 与直线 只有一个交点．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）先对函数 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一 ，使得 ，进而可得判
断函数 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；
（2）先由（1）的结果，得到 ， ，得到 在 内存在唯一
实根，记作 ，再求出 ，即可结合题意，说明结论成立.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27【详解】（1）由题意可得， 的定义域为 ，
由 ，
得 ，
显然 单调递增；
又 ， ，
故存在唯一 ，使得 ；
又当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
因此， 存在唯一的极值点；
（2）
[方法一]【利用对称性转化为研究两个函数根的问题】
的根的情况问题可转化为函数 与 的图像在区间
内的交点情况． ．
当 时， 在区间 内单调递增；又因为 ，所以当 时，
，则 时， 单调递减；当 时， ，则当
时， 单调递增．又 ，所以函数 与 的图像，如
图所示，只有两个交点，横坐标分别为 和 ，且 ，即 和 为
的两个实根．
又因为 ，当 时， ，由于
，所以 ，即 ，所以两个实根互为倒数．
[方法二]【分类讨论】
由（1）知， ．又 ，所以 有且仅有两
个实根 ，可令 ．
下面证明 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28由 ，得 ，显然有 ， ．
（*）
（1）当 时， ，（*）式不成立；
（2）当 时， ，（*）式不成立；
（3）当 时， ，（*）式成立．
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[方法三]【利用函数的单调性结合零点存在定理】
的定义域为 ，显然 不是方程 的根，
所以 有两个实根等价于 有两个零点，且 定义域为 ．
而 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递增．
当 时， ， ，
所以 在区间 内有唯一零点 ，即 ，
所以 ．
结合单调性知 在区间 内有唯一零点 ，所以 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，
即 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【整体点评】(2)方法一：对称性是函数的重要性质，利用函数的对称性研究函数体现了整体思想；
方法二：分类讨论是最常规的思想，是处理导数问题最常规的手段；
方法三：函数的单调性和零点存在定理的综合运用使得问题简单化.
3．（2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（黑卷）试题）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 在 上有且仅有两个零点.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【分析】（1）求得 ，分 、 、 三种情况讨论，分析导数的符号变
化，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（2）由 可得出 ，由 结合判别式可判断出方程 的根的个数，
由此可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， .
当 时，则 ，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，由 可得 或 .
①当 时， ，由 可得 或 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
②当 时， ，由 可得 ，由 可得 或 ，
此时函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 .
（2）解：由 可得 ，因为 ，则 ，
即关于 的方程 有两个不等的实根，
所以，当 时， 在 上有且仅有两个零点.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为 ，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为 ，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两
根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
4．已知函数 ， 的导函数为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30(1)讨论 的极值点的个数；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）对 求导，分 和 ，讨论 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；
（2）当 时，方程 有两个不相等的实数根，化简为 ，
即 与 的图象有两个交点，令 ，对 求导，得出 的
单调性及最值即可得出答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在区间 上单调递增，所以 无极值点；
当 时，令 ，解得 ，
所以当x变化时， ， 的变化情况如下表所示．
x
＋ 0 －
单调递
极大值 单调递减
增
所以 有一个极大值点，无极小值点．
综上，当 时， 无极值点；当 时， 有一个极值点．
（2）当 时，方程 ，即 ，
则 ．
令 ， ，则 ．
令 ，解得 或 （舍去）．
当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31所以 ，又 趋近于0时 趋近正无穷； 趋近于正无穷时 趋近正无穷，
所以 ，即 ，故m的取值范围是 ．
题型八、利用导数研究函数的零点问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
【答案】（1）增区间是 ， ，减区间是 ；
（2）证明见解析.
【分析】（1）将 代入，求导得 ，令 求得增区间，令 求得减区间；
（2）令 ，即 ，则将问题转化为函数 只有
一个零点问题，研究函数 单调性可得.
【详解】（1）当a=3时， ， ．
令 解得x= 或x= ．
由 解得： ；
由 解得： ．
故函数的增区间是 ， ，减区间是 ．
（2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理
由于 ，所以 等价于 ．
设 ,则 ,仅当 时 ,所以 在
单调递增.故 至多有一个零点,从而 至多有一个零点.又
,故 有一个零点.综上, 只有一个零点.
［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32因为 ，所以 等价于 ，令 ，则 ．因
为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 在区间 内单调递增，
当 时， ；当 时， ．所以直线 与 的图像只有一个交点，即
只有一个零点．
［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理
．
①当 时， 单调递增， 只有一个零
点．
②当 与 时， ，再令 或 ，则有 ．当
与 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
因为 ，
，
所以 ．
极大值与极小值同正同负，故 只有一个零点．
［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理
由于 ，所以 ，等价于 ．
设 ，则 ，仅当 时， ，所以 在区间
内单调递增．故 至多有一个零点，从而 至多有一个零点．
结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取 ，则有 ，取
，则有 ，所以 在 内有一个零点，故
有一个零点．
综上， 只有一个零点．
【整体点评】（2）方法一：通过分离参数将原函数的零点问题转化为易求单调性的函数零点问题，该法
既是该类型题的通性通法，也是该题的最优解；
方法二：将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，是常见的解题思路，对于证明题，这
种方式显得不是特别严谨；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33方法三：直接对参数分类讨论，研究函数的单调性和最值，也是该类型问题的通性通法，但对于该题，显
得有些复杂；
方法四：该法同方法一，只是在零点存在性定理的运用过程中取点不一样．
2．已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求得 再根据1,0,2a的大小进行分类确定 的单调性；
（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为 .
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅰ）设 ，则当 时， ；当 时， .
所以f（x）在 单调递减，在 单调递增.
（Ⅱ）设 ，由 得x=1或x=ln（-2a）.
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则ln（-2a）＜1,故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
③若 ，则 ，故当 时， ，当 时，
，所以 在 单调递增，在 单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，取b满足b＜0且 ，
则 ，所以 有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则 ，所以 只有一个零点.
（iii）设a＜0，若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递增.
又当 时， ＜0，故 不存在两个零点；若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递
减，在 单调递增.又当 时 ＜0，故 不存在两个零点.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34综上，a的取值范围为 .
【考点】函数单调性，导数应用
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数
进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题
常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,
利用导数研究函数的单调性或极值破解.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2) .
【分析】（1） ，对 分 和 两种情况讨论即可；
（2） 有三个零点，由（1）知 ，且 ，解不等式组得到 的范围，再利用零点存在性
定理加以说明即可.
【详解】（1）由题， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，所以 在 上单调递减，在
， 上单调递增.
（2）由（1）知， 有三个零点，则 ，且
即 ，解得 ，
当 时， ，且 ，所以 在 上有唯一一个零点，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35同理 ， ，
所以 在 上有唯一一个零点，
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推
理能力、数学运算能力，是一道中档题.
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区
间和减区间；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根
据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线
有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
题型九、利用导数研究参数问题
分离参数法求参数的取值范围
1．已知函数 ．
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）依题意可得 对 恒成立，参变分离可得 对 恒成立，
令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参
数的取值范围；
(1)解：因为 ，所以 ，
所以 ， ，即切点为 ，切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ；
(2)解：因为 对 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ， ，
则
令 ， ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37所以 在 上单调递增，所以 ，
即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ；
2．设函数
（Ⅰ）若a= ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围
【答案】 在 ， 单调增加，在（-1，0）单调减少,
1 1
【分析】试题分析：（I）
a=
时，
f (x)=x(ex −1)− x2
2 2
（II）f (x)=x(ex −1−ax)，令g(x)=ex −1−ax ，则g' (x)=ex −a
若a≤1。则当x∈(0,+∞)时，g' (x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，
从而当x≥0时g(x)≥0⇒f (x)≥0
若a>1，则当x∈(0,lna)时，g' (x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0
从而当x∈(0,lna)时g(x)<0⇒f (x)<0
综合得a的取值范围为(−∞，1]
考点：本小题主要考查利用导数考查函数的单调性和单调性的应用.
点评：导数是研究函数性质是有力工具，利用导数研究函数单调性的前提是要注意函数的定义域，而且解
决此类问题一般离不开分类讨论，讨论时要做到不重不漏.
分类讨论法求参数的取值范围
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设函数
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值
【答案】(1)答案见解析；(2)2
【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 ，故应按照 的取值范围进
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.
(2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为 ，由此将转化为求 在给定区间的最
值问题.
【详解】（1）函数 的定义域是 ， ，当 时， ，所以函
数 在 上单调递增，
当 时， 时， ，当 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由于 ，所以 ，故当 ， ，
等价于 ，令 ，①
则 ，
由(1)可知，当 时，函数 在 上单调递增，
而 ，所以 在 存在唯一零点，
故 在存在唯一零点，设此零点为 ，则有 ，
当 时， ，当 时，g(x)>0，
所以 在 上的最小时为 ，又由 ，可得 ，
所以 ，由于①等价于 ，故整数 的最大值为2.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
题型十、利用导数研究函数性质
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数
，曲线 处的切线斜率为0
（1）求b;（2）若存在 使得 ，求a的取值范围．
【答案】（1） ;（2） .
【详解】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行
求导可得： ，利用上述关系不难求得 ，即可得 ;（2）由第（1）小题中
所求b，则函数 完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：
根据题意可得要对 与 的大小关系进行分类讨论，则可分以
下三类：（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增，所以，存在
，使得 的充要条件为 ，即 ，所以 .（ⅱ）若
，则 ，故当 时， ；当 时， ， 在 单
调递减，在 单调递增.所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，无解
则不合题意.（ⅲ）若 ，则 .综上，a的取值范围是 .
试题解析：（1） ，
由题设知 ，解得 .
（2） 的定义域为 ，由（1）知， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增，
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ，
所以 .
（ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增.
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
而 ，所以不合题意.
（ⅲ）若 ，则 .
综上，a的取值范围是 .
考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.
【答案】(1) 时 , 在 是单调递增； 时, 在 单调递增，在
单调递减.（2） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）由 ,可分 , 两种情况来讨论；（II）由（I）知当 时
在 无最大值,当 时 最大值为 因此 .令
,则 在 是增函数,当 时, ,当 时 ,因此a的取值范围是
.
试题解析：
（Ⅰ） 的定义域为 , ,若 ,则 , 在 是单调递增；
若 ,则当 时 ,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42当 时 ,所以 在 单调递增,在 单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时 在 无最大值,
当 时 在 取得最大值,最大值为
因此 .
令 ,则 在 是增函数, ,
于是当 时, ,当 时 ,
因此a的取值范围是 .
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））已知函数
（I）讨论 的单调性；
（II）设 有两个极值点 若过两点 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求
的值．
【答案】（I）见解析；（II） 或 或
【详解】（I） ，
当 时， ，当且仅当 时， ，
所以 是 上增函数；
当a<1时， 的两个根为 ，
， ，
，
综上所述，当 时， 单调递增区间是 ；
当a<1时， 单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
（II）由题设知， 是方程 的两个根，
故有a<1， ，
因此 ，
同理 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43因此直线 的方程为 ，
设直线 与 轴的交点为 ，得 ，
，
由题设知，点 在曲线 上，故 ，解得 或 或
所以 的值为 .
【点睛】本试题考查了导数在研究函数中的运用．第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间．另
外就是运用极值的概念，求解参数值的运用．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44
