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专题 10 导数解答题分类练
一、曲线的切线问题
1. （2023届河南省开封市通许县高三冲刺卷）已知函数 ．
(1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
2．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)试讨论函数 的单调性.
3．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考）已知函数 .
(1)设 ，经过点 作函数 图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数 有极大值，无最大值，求实数 的取值范围.
4.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数 的极小值为 ，其导
函数 的图象经过 ， 两点.
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围.
5.（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）设函数 的定义域为开区间 ，
若存在 ，使得 在 处的切线 与 的图象只有唯一的公共点，则称切线 是
的一条“ 切线”.(1)判断函数 是否存在“ 切线”，若存在，请写出一条“ 切线”的方程，若不存在，请说明理由；
(2)设 ，若对任意正实数 ，函数 都存在“ 切线”，求实数 的取值
范围；
(3)已知实数 ，函数 ，求证：函数 存在无穷多条“ 切线”，且至
少一条“ 切线”的切点的横坐标不超过 .
二、含参函数的单调性问题
6. （2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
7.（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， ，使得 .
8.（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期9月月考）已知a为实常数，函数 （其中
为自然对数的底数）
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
9.（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研测试）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求证：当 时， ．10.（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
三、函数零点与方程实根个数问题
11. （2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)若函数 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围．
12.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若函数 至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.
13.（2024届北京市陈经纶中学高三上学期9月阶段性诊断）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，判断 在 零点的个数，并说明理由．
14.（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 ．
(1)求证：曲线 仅有一条过原点的切线；
(2)若 时，关于 的方程 有唯一解，求实数 的取值范围．
四、不等式恒成立问题
15. （2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数 .(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
16.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）已知函数 （ ）．
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围：
(2)设 ， ， 为函数 的两个零点，证明： ．
17.（2024届上海市育才中学高三上学期第一次调研检测）已知函数 ， 为
的导数．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 存在唯一零点；
(3)若 时， ，求a的取值范围．
18.（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)若实数 满足 且 ，证明： .
19.（2024届辽宁省朝阳高三上学期9月联考）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.五、不等式证明
20. （2024届云南省大理高三区域性规模化统一检测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．
21.（2023届陕西省西安市第八十三中学等校高三二轮复习联考）已知函数 ， ．
(1)求 的极值；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
22.（2024届湖南省长沙市高三上学期第二次阶段性测试）函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ，已知方程 有两个不同的实根 ， ，证明： .（其中
是自然对数的底数）
23.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真测试）已知函数 ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知 ，证明： ．
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