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专题 21.1 一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 识别一元二次方程】..................................................................................................................................2
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................4
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】.................................................................................................5
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】.........................................................................................6
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】.........................................................................................................8
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】.........................................................................................................9
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】........................................................................................................11
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】...........................................................................................13
知识点 1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫
做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、 未知数的最高次数是 2.
1
例如： +x=2，x2+1，x2+ y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
x2
知识点 2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是 b ， c 可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可
以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点 3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x ，x 是一
1 2
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参
数： ( )， ( ).
ax 2+bx +c=0 a≠0 ax 2+bx +c=0 a≠0
1 1 2 2
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；
④ =1中，不是一元二次方程的是（ ）
❑√x2−2x+1
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①x2﹣9=0是一元二次方程；
②（2x+1）（2x﹣1）=0是一元二次方程；
③x2=0是一元二次方程；
④ =1不是一元二次方程；
❑√x2−2x+1
故选D．
【变式1-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是
（ ）
1
A．x2+ =0 B．ax2+bx+c=0
x2
C．x2+x−2=0 D．3x−2xy+5 y2=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；
B．a=0时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故该选项符合题意；
D．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+1=0 B．x−2y−3=0 C．2x2=0 D．y2−3 y+4=0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．2x2+1=0是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．x−2y−3=0是二元一次方程，故选项符合题意；
C．2x2=0是一元二次方程，故选项不符合题意；
D．y2−3 y+4=0是一元二次方程，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二
次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ）
1
①3x2−x=0；②ax2+bx+c=0；③3x+ =0；④2x2−1=(x−1)(x−2)；⑤(5x−2)(3x−7)=15x2
x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即
可解答．
【详解】解：①3x2−x=0是一元二次方程；
②ax2+bx+c=0，当a=0,b≠0时是一元一次方程，不是一元二次方程；
1
③3x+ =0是分式方程，不是一元二次方程；
x
④ ，整理得： 是一元二次方程；
2x2−1=(x−1)(x−2) x2+3x−3=0
⑤ ，整理得： 是一元一次方程，不是一元二次方程；
(5x−2)(3x−7)=15x2 −41x+14=0
则共有2个，
故选：B．
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0是一元二次方程，则m= ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且|4m)−2=2，再求出
答案即可．
【详解】解：∵关于x的方程(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0是一元二次方程，
∴m+1≠0且|4m)−2=2，
解得：m=1，
故答案为：1．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值
范围为（ ）
A．a≠0 B．a>3 C．a=0 D．a≥0
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二
次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一
般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
【详解】解：方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
故选：A．
【变式2-2】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方程，则
(a+1)x3a2−1=0 x
a= ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得3a2−1=2且a+1≠0，解之即可求解，掌握一元二次
方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
(a+1)x3a2−1=0 x
∴3a2−1=2且a+1≠0，
∴a=1，
故答案为：1．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−1=0有
一个解是0，则m=【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为
0；
把x=0代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意m−1≠0.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−1=0有一个解是0，
∴m2−1=0且m−1≠0，
解得：m=−1；
故答案为：−1.
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【例3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程(3x+1)(x−1)=5整理成一元二次方程的一般形式后，它
的二次项系数与一次项系数的比值是 ．
3
【答案】−
2
【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系
数解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由(3x+1)(x−1)=5，
得3x2−2x−6=0，
∴二次项系数为3，一次项系数为−2，
3
二次项系数与一次项系数的比值是− ．
2
3
故答案为：− ．
2
【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，
一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3,−5,−2 B．3,−5x,2 C．3,5x,−2 D．3,−5,2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关
键．
根据一元二次方程的概念及一般式“ax2+bx+c=0(a≠0)”判定即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为3,−5,2，
故选：D ．【变式3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程x2+4x−1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数
项分别为（ ）
A．1和3 B．1和−6 C．3和−6 D．3和4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据ax2+bx+c=0(a≠0)进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意，x2+4x−1=x+5移项整理得，x2+3x−6=0，
∴一次项系数和常数项分别为3和−6．
故选：C ．
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项
为−4的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【答案】x2−3x−4=0
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中
二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，进行作答即可．
【详解】解：由题意，可得方程为：x2−3x−4=0；
故答案为：x2−3x−4=0．
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
【例4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，
则此方程的解为 ．
【答案】x =2,x =−2
1 2
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根
据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，
即mx2+(m−3)x=12不含x的一次项，
∴m−3=0，
∴m=3，
∴原方程为3x2=12，
解得：x =2,x =−2，
1 2
故答案为：x =2,x =−2．
1 2
【变式4-1】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−1=0的常
数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．±1【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的
定义判断即可．
【详解】解：由题意得：{m2−1=0) ，
m−1≠0
解得m=−1，
故选：B．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于 的一元二次方程 化成一般形
x 3x2+x−2=ax(x−2)
式后，其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得
(3−a)x2+(1+2a)x−2=0，然后根据题意可得3−a=1，从而可得：a=2，再把a的值代入1+2a中，进
行计算即可解答．
【详解】解： ，
3x2+x−2=ax(x−2)
3x2+x−2=ax2−2ax，
3x2−ax2+x+2ax−2=0，
(3−a)x2+(1+2a)x−2=0，
由题意得：3−a=1，
解得：a=2，
∴该方程中的一次项系数=1+2a=1+2×2=5，
故答案为：5．
【变式4-3】（24-25九年级上·四川广元·期中）若关于的一元二次方程2x2−(m+1)x=x(x+1)化成一般形
式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元
二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：2x2−(m+1)x=x(x+1)，
2x2−(m+1)x−x(x+1)=0，
2x2−(m+1)x−x2−x=0，x2−(m+2)x=0，
∵化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，
∴−(m+2)=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
【例5】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，则2025−8a+2b的
值为 ．
【答案】2021
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知
数的值，把x=4代入ax2−bx=8得到8a−2b=4，再整体代入求值．
【详解】解：∵x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，
∴16a−4b=8，
∴8a−2b=4，
∴2025−8a+2b=2025−(8a−2b)=2025−4=2021，
故答案为：2021．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则
(a+4)(a−1)的值为（ ）
A．1 B．3 C．−3 D．−5
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据a是方程
x2+3x−1=0的一个根，可得出a2+3a=1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵a是方程x2+3x−1=0的一个根，
∴a2+3a=1
∴(a+4)(a−1)=a2+4a−a−4=a2+3a−4=1−4=−3
故选：C．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2−3x−1=0的一个根，则−2m2+6m+19的
值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关
键．根据一元二次方程根的定义可得m2−3m−1=0，即m2−3m=1，整体代入代数式即可求解．
【详解】解：∵m是方程x2−3x−1=0的一个根，
∴m2−3m−1=0，即m2−3m=1，
∴−2m2+6m+19
=−2(m2−3m)+19
=−2+19=17．
故答案为：17．
【变式5-3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知m是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式
的值为 ．
(m+1) 2+(m+1)(m−1)
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的根、完全平方和公式、平方差公式等知识，先由一元
二次方程根的定义得到 ，再由整式混合运算化简代数式得到 ，将 代入求值即
m2+m=1 2(m2+m) m2+m=1
可得到答案，熟练掌握整式化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：∵ m是方程x2+x−1=0的一个根，
∴ m2+m−1=0，则m2+m=1，
∴(m+1) 2+(m+1)(m−1)
=m2+2m+1+m2−1
=2m2+2m
=2(m2+m)
=2，
故答案为：2．
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
【例6】（2025·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为
．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入
方程得m2+m=3，再将m2+m=3代入m2(m+2)−2(m−3)变形后的式子进行化简求值即可．【详解】解：根据题意得：m2+m=3，
∵ m3+2m2−2m+6
=m3+m2+m2−2m+6
=m(m2+m)+m2−2m+6
=3m+m2−2m+6
=m2+m+6
=3+6
=9．
故答案为：9．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果a是一元二次方程x2=3x−2的根，则代数式
a2−3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得a2=3a−2，从而可得a2−3a=−2，然后代入式子中进行计算，即可解
答．
【详解】解：∵a是一元二次方程x2=3x−2的根，
∴a2=3a−2，
∴a2−3a=−2，
∴a2−3a+2024=−2+2024=2022，
故选：B．
【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程x2+x−4=0的一个根，则a3+2a2−3a+7的值为
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把x=a代入方程得到
a2+a−4=0，然后根据等式的性质易得a2+a=4，代入原式即可解答．
【详解】解：∵a是方程x2+x−4=0的一个根，
∴a2+a−4=0，
∴a2+a=4，
∴a3+2a2−3a+7
=a(a2+a)+a2−3a+7=4a+a2−3a+7
=a2+a+7
=4+7
=11，
故答案为：11．
【变式6-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个
根，则 a2−11 的值等于 ．
2a3−3a2+11
1
【答案】
21
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数
的值得到 ，进而得到 ，再把所求式子转化为 a ，
a2−a−11=0 a2−a=11，a2−11=a
2a(a2−a)−(a2−11)
据此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，
∴a2−a−11=0，
∴a2−a=11，a2−11=a，
∴ a2−11
2a3−3a2+11
a
=
(2a3−2a2)−(a2−11)
a
=
2a(a2−a)−(a2−11)
a
=
22a−a
1
= ，
21
1
故答案为： ．
21【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营
业额要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月
平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
200[1+(1+x)+(1+x) 2)=950 200(1＋x) 2=950
C． D．
200[(1+x)+(1+x) 2)=950 950(1+x) 2=200
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，则二
月份公司的营业额为 万元，三月份公司的营业额为 万元，根据第一季度的总营业额
200(1+x) 200(1+x) 2
包括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程 ．
200[1+(1+x)+(1+x) 2)=950
【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，
则二月份公司的营业额为200(1+x)万元，
三月份公司的营业额为 万元，
200(1+x) 2
∵第一季度的总营业额要达到950万元，
，
∴200+200(1+x)+200(1+x) 2=950
即 ．
200[1+(1+x)+(1+x) 2)=950
故选：A．
【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有
互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ．
【答案】x(x−1)=870
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出(x−1)件
礼物，根据共送礼物870件可列出方程．
【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出(x−1)件礼物，
由题意得，x(x−1)=870．
故答案为：x(x−1)=870．【变式7-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为
40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是
3
整个矩形空地面积的 ，则此时通道的宽为 ．
8
【答案】5m
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
3
先设通道的宽为xm，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的(1− )列出方程，求出解即可.
8
【详解】解：设通道的宽为xm，根据题意，得
3
(60−2x)(40−2x)=60×40×(1− )，
8
解得x =5,x =45（舍去），
1 2
所以通道的宽为5m.
故答案为：5m.
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火
轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日
可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方
程为（ ）
( x ) ( x )
A．(50−x) 80+ ×10 =4000 B．(50−x−30) 80+ ×10 =4000
2 2
C．(50−x−30)(80+10x)=4000 D．(50−2x−30)(80+10x)=4000
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价x灵石，则每个迷你风火轮的利润为
( x )
(50−x−30)元，销售量为 80+ ×10 个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可．
2
( x )
【详解】解：由题意得，(50−x−30) 80+ ×10 =4000，
2
故选：B．【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例8】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)有一根为
x=2024，则关于y的一元二次方程c y2+by+a=0(ac≠0)必有一根为（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
因为x=2024满足方程ax2+bx+c=0，所以20242a+2024b+c=0，两边同时除以20242即可确定所求方
程的一个根．
【详解】解：把x=2024代入一元二次方程ax2+bx+c=0，得20242a+2024b+c=0，
1 1
两边除以20242，得a+ b+ c=0，
2024 20242
1 1
∴ c+ b+a=0，
20242 2024
1
∴ 是一元二次方程c y2+by+a=0(ac≠0)的一根，
2024
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程 （h，k均为常数）的解
(x+ ℎ) 2+k=0
是 ， ，则关于x的方程 的解是 ．
x
1
=−3 x
2
=2 (x+ ℎ−3) 2+k=0
【答案】x=0或x=5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程 中的 看做一个整体，根据方程
(x+ ℎ−3) 2+k=0 x−3
的解的情况建立方程求解即可．
(x+ ℎ) 2+k=0
【详解】解：∵关于x的方程 （h，k均为常数）的解是 ， ，
(x+ ℎ) 2+k=0 x
1
=−3 x
2
=2
∴关于x的方程 的解满足 或 ，
(x+ ℎ−3) 2+k=0 x−3=−3 x−3=2
解得x=0或x=5，
故答案为：x=0或x=5．
【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为，则一元二次方程 必有根为（ ）．
x=2022 a(x+1) 2+bx+b=−2
A．2023 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】把 整理为 ，即可进行解答．
a(x+1) 2+bx+b=−2 a(x+1) 2+b(x+1)+2=0
【详解】解：把 整理为 ，
a(x+1) 2+bx+b=−2 a(x+1) 2+b(x+1)+2=0
令x+1=A，
则aA2+bA+2=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2022，
∴A=2022，
∴x+1=2022，解得：x=2021，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数
的值是一元二次方程的解．
【变式8-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程 有一根为
ax2+bx+2=0(a≠0)
，则一元二次方程 必有一根为（ ）
x=2025 a(x−1) 2+bx+2=b
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．由于关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2025，则把方程
看作关于 的一元二次方程时有 ，解得 ，于是可判断一
a(x−1) 2+b(x−1)+2=0 (x−1) x−1=2025 x=2026
元二次方程 必有一根为 ．
a(x−1) 2+b(x−1)+2=0 x=2026
【详解】解：∵ ，
a(x−1) 2+bx+2=b
∴ ；
a(x−1) 2+b(x−1)+2=0∵ 是 的一个根，
x=2025 ax2+bx+2=0(a≠0)
∴ 也是 的一个根，
x−1=2025 a(x−1) 2+b(x−1)+2=0
即x=2025+1=2026，
故选：C．
