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第 03 讲 等式与不等式的性质
目录考点要求 考题统计 考情分析
高考对不等式的性质的考查比较稳
定，考查内容、频率、题型难度均变
1．掌握等式性质． 化不大，单独考查的题目虽然不多，
2．会比较两个数的大小． 但不等式的性质几乎可以渗透到高考
2022年II卷第12题，5分
3．理解不等式的性质，并能 的每一个考点，是进行不等式变形、
简单应用． 证明以及解不等式的依据，所以它不
仅是数学中的不 可或缺的工具，也是
高考考查的一个重点内容．
1、比较大小基本方法
方法
关系
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b 或b
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a<b a−b=0 a a
<1(a，b>0) >1(a，b<0)
b 或b2、不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a
传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c
可加性 a>b⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc
同向 a>c，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性
可乘方性
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 或 ，
当 时， ，A不成立， ， ，
由 ，故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，故等号不成立，故 ；
当 时， ， ，
不妨设 ，则 ，故此时C不成立，
由 ，故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，故等号不成立，故 ；
综上：BD一定成立.
故选：BD
例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数 满足 ，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A， ， ， ，A错误；
对于B， ， ， ， ， ， ，
，即 ，B正确；
对于C， ， ， ，即 ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：BC.
例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【解析】∵ ，则 ， ，∴ ，即 ，A正确；
例如 ， ， ， ， ， 显然 ，B错误；
由 得 ， ，∴ ，即 ，C正确；
易知 ， ， ，
，
∴ ，D正确；
故选：ACD．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若 ，则 ； ； ；
若 ，则 ； ； ．
例4．（2023·全国·高三专题练习）若 ,则将 从小到大排列为______.
【答案】
【解析】 ，不妨令 ，
则有 ，
有 ，
即 .故答案为： .
例5．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除
④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于
，故 .故⑥正确.所以一定成立
的是②⑥.
例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ；
（2）设x， ，比较 与 的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得 .
又a＞b＞0，所以 .
（2）因为
，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时， ；
当 时， .
例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较 与 的大小；
（2）已知 ， ，求证： ．
【解析】（1）由题意，
，
所以 ．
（2）证明：因为 ，所以 ，即 ，而 ，所以 ，则 ．得证．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，
故A正确；
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，则 ，故D
正确.
故选：ABD.
例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知1≤a−b≤3， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，所以 ，
则 ，又1≤a−b≤3，
所以 ， ，由不等式的性质得： ，
则 的取值范围为 .
故选：D.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，由 ，得 .
故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当 时， 且 ，则 的
取值范围是____________．
【答案】
【解析】当 时满足： 且 ，
，即 ，进而 ，解得 ．
所以 或 ，
，
令 ，
，
由于
所以 在 单调递增，在 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以
故答案为： ．
题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 ， ，且满足
， ．则 的取值可以为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
故 ，
当 ， 且 ，而 时 ，即等号不能同时成立，
所以 ，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 得 ， ，由于 ，所以 ，
所以 ，因此 且 ，故A正确，
，当 时， ，由于 ，当且仅当 时，等号成立，故
，当 时， ，所以 ，故B正确，
，当且仅当
时取等号，故 ，所以C错误，
，当且仅当 取等号，又 ，所以
或者 等号成立，
故选：ABD
例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为1【答案】BC
【解析】由 可知 ， ，由不等式的性质可知 ，则 ．
选项A：因为对数函数 为减函数， ，所以 ，故A错误；
选项B：由函数 的单调性可知 ，故B正确；
选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
选项D： ，
当且仅当 ，即 时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．
【答案】
【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，
∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，
∴
∴b、c是方程：x2+ax+a2 0的两个实数根，
∴
∴
即
∴
即a的最大值为
故答案为： ．
题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
b+m b a+m a
> <
糖水不等式：若a>b>0，m>0，则一定有a+m a，或者b+m b．
例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知 糖水中含有 糖( )，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（
）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，正确；
对于C， 即 ，错误；
对于D， ，正确.
故选：ABD
例17．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可
表示为： ，其中 ，且a，b， ．据此可以判断两个分数的大小关系，比如
_________ （填“＞”“＜”）．
【答案】>
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
根据题设知： .
故答案为：>
例18．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个
质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出
不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
___________ (用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】 ；【解析】空1：因为 ，所以可得：
；
空2：由空1可得： ，即 .
故答案为： ；
1．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 （ R），由 可变形为， ，
解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B
正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除
B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所
以 ，故选C．
3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，且 ，所以
设 ，则 ，所以 单调递增，
所以 ，所以选B.
