文档内容
专题 21.1 一元二次方程【八大题型】
【人教版】
【题型1 识别一元二次方程】..................................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】.....................................................................................................3
【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】.........................................................................................4
【题型4 一元二次方程的一般形式】......................................................................................................................6
【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】.........................................................................................................8
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................................................................9
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】...................................................................................11
【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】...............................................................................................13
【知识点1 一元二次方程的定义】
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级校考期中）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②
1
3(x-9) 2-(x+1) 2=1；③x+3= ；④(a2+1)x2-a=0；其中一元二次方程的个数是（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0不是关于x的一元二次方程，不符合题意，
② 是关于 的一元二次方程，符合题意；
3(x-9) 2-(x+1) 2=1 x
1
③x+3= 是分式方程，不符合题意；
x
④∵a2+1≠0，
是关于 的一元二次方程，符合题意；
∴(a2+1)x2-a=0 x
所以②④是关于x的一元二次方程，共有2个，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知
识点．
【变式1-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期末）下列是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+1=0 B．x2+ y=1 C．x2+2x+1=0 D．x2+ =1
x
【答案】C
【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据
此逐项判断即可．
【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；
B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
C中方程是一元二次方程，符合题意；
D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键．
【变式1-2】（2023春·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为
（ ）
3
A．ax2+bx+c=0 B．x2-2=(x+3) 2 C．x2+ -5=0 D．x2-1=0
x
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的
知识点．
【变式1-3】（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②1
x2+x-1=0；③x2+ =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2(x+1) 2中，是一元二次方程的个数为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为
0．据此逐项判定即可．
【详解】解： ax2+3x2+2=0，当a=-3，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；
x2+x-1=0满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；
1
x2+ =0分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；
x
x2-2x3+3=0未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；
化简后为 ，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；
2x2-1=2(x+1) 2 4x+3=0
所以正确的只有②共1个，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）√mx|m-2|+3x-7=0是一元二次方程，则
m=___________．
【答案】4
【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则|m-2|=2，然
后选出合适的值即可．
【详解】解：√mx|m-2|+3x-7=0是一元二次方程，
∴|m-2|=2，√m≠0，
∴m=4或0，m≠0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
【变式2-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）若方程xm+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则
m=______．
【答案】1【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程xm+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+1=2，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注
意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于
0”；“整式方程”．
【变式2-2】（2023春·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程(k-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，
则k的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程(k-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，
∴k-1≠0
解得：k≠1，
∴k的值可以是0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，
只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【变式2-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）若(m-1)x|m+1|-3x+5=0是关于x的一元二次方程，
则m=__________．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵(m-1)x|m+1|-3x+5=0是关于x的一元二次方程，
∴¿，
∴m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）
的方程叫做一元二次方程．
【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】
【例3】（2023春·福建龙岩·九年级统考期中）已知关于x的方程(a-3)x2+√a-1x=3为一元二次方程，则a的取值范围是__________．
【答案】a≥1且a≠3．
【分析】直接利用一元二次方程的定义与二次根式有意义条件分析即可．
【详解】解：∵关于x的方程(a-3)x2+√a-1x=3是一元二次方程，
∴a-3≠0，且a-1≥0，
解得：a≥1 且a≠3．
故答案为：a≥1且a≠3．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义与二次根式有意义条件是解
题关键．
【变式3-1】（2023春·福建莆田·九年级统考期末）若方程kx2-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则k的
取值范围是（ ）
A．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k为实数
【答案】B
【分析】一元二次方程是指未知数只有一次且未知数最高次数为2次的方程，根据这一点判断即可．
【详解】根据一元二次方程的定义
未知数最高次数为2次
故x2这一项必须存在
故k≠0
故选B
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，理解这个定义是关键．
【变式3-2】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，
则a的取值范围是（ ）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知
数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．【变式3-3】（2023春·河南漯河·九年级统考期中）若关于x的方程ax2=(x+1)(x-1)是一元二次方程，则
a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠-1 D．a≠±1
【答案】B
【分析】由ax2=(x+1)(x-1)，得到(a-1)x2+1=0，根据方程的定义，即可得到结果
【详解】∵关于x的方程ax2=(x+1)(x-1)是一元二次方程，
∴(a-1)x2+1=0，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键
【知识点2 一元二次方程的一般形式】
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是
一次项系数；c就是常数项。
【题型4 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，
一次项系数是-7，常数项是2的方程是（ ）
A．4x2+2=7x B．4x2-2=7x C．4x2+7x=2 D．-4x2-7x=2
【答案】A
【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案．
【详解】解：A、4x2+2=7x化为一般式为4x2-7x+2=0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项
是2，符合题意；
B、4x2-2=7x化为一般式为4x2-7x-2=0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题
意；
C、4x2+7x=2化为一般式为4x2+7x-2=0，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题
意；
D、-4x2-7x=2化为一般式为4x2+7x+2=0，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合
题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一
般形式是解题的关键：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
【变式4-1】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与
常数项的和等于______．
【答案】2
【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数
且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx
叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：x2+2x=1的一般形式为x2+2x-1=0，
∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1,2,-1
∴1+2-1=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·云南楚雄·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次项的系
数是2，常数项是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】把原方程移项化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：2x2+x=3，
移项得，2x2+x-3=0，
则二次项系数、常数项分别为：2、-3，
故选D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式
中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握
上述知识点是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期中）若关于x一元二次方程
不含一次项，则 ______．
(2a-4)x2+(3a+9)x+a-8=0 a=
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的一次项系数为0和二次项系数不为0，列出方程和不等式求解即可．
【详解】解：由题意得：¿，
解得a=-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和有关概念，准确理解题意是解题关键．
【知识点3 一元二次方程的解】
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程
的解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】
【例5】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2，
则a的值为__________．
【答案】±√3
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这
个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】解：把x=2代入方程2x2-3x-a2+1=0，
得8-6-a2+1=0，
解得a=±√3．
故答案为：±√3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次
方程的根．
【变式5-1】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）已知关于x的方程4x2-7x+m=0的一个根是2，则m
的值是______．
【答案】-2
【分析】由题意知，4×22-7×2+m=0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，4×22-7×2+m=0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算．
【变式5-2】（2023春·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0的一个根是1，
则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】A
【分析】把x=1代入方程可得到关于k的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0的一个根为1，∴k×12+2×1-3=0，解得：k=1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右
两边成立的未知数的值是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知关于x的一元二次方程
x2-2√2x+m-1=0，若方程有一个根是x=√2+1，则m为______．
【答案】2
【分析】将x=√2+1代入方程，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2√2x+m-1=0有一个根是x=√2+1，
∴ ，
(√2+1) 2-2√2×(√2+1)+m-1=0
解得：m=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例6】（2023春·山东德州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=-1，
则2020-a+b的值是( )
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【答案】C
【分析】直接把x=-1代入方程ax2+bx+2=0中得到b-a=2，再把b-a=2整体代入所求式子中进行求解
即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=-1，
∴a-b+2=0，
∴a-b=-2，即b-a=2，
∴2020-a+b=2020+(b-a)=2020+2=2022，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等
的未知数的值是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·山西朔州·九年级统考期末）已知t为一元二次方程x2-1011x+2023=0的一个解，
则2t2-2022t值为（ ）
A．-2023 B．-2022 C．-4046 D．-4044【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义可得t2-1011t+2023=0，求出t2-1011t=-2023，进而可得答案．
【详解】解：∵t为一元二次方程x2-1011x+2023=0的一个解，
∴t2-1011t+2023=0，
∴t2-1011t=-2023，
∴2t2-2022t=-4046，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）已知a是方程2x2-3x-7=0的一
个根，求代数式(a+1)(a-1)+3a(a-2)的值．
【答案】13
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 ，再把所求式子化简为 ，由此求解
2a2-3a=7 2(2a2-3a)-1
即可．
【详解】解：∵a是方程2x2-3x-7=0的一个根，
∴2a2-3a-7=0，
∴2a2-3a=7，
∴(a+1)(a-1)+3a(a-2)
=a2-1+3a2-6a
=4a2-6a-1
=2(2a2-3a)-1
=2×7-1
=13．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设α，β是方程x2+2022x-2=0的两个根，则
__________．
(α2+2022α-1)(β2+2022β+2)=
【答案】4
【分析】首先根据题意得到α2+2022α=2，β2+2022β=2，然后代入求解即可．
【详解】∵α，β是方程x2+2022x-2=0的两个根，
∴α2+2022α-2=0，β2+2022β-2=0∴α2+2022α=2，β2+2022β=2，
∴
(α2+2022α-1)(β2+2022β+2)=(2-1)×(2+2)=4
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】
【例7】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则m3+2m2+2023的值为
______．
【答案】2024
【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3+2m2+2023为m3+m2+m2+2023，然后整体代入得
结果．
【详解】解：∵m是方程x2+x-1=0的根，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2023
=m3+m2+m2+2023
=m(m2+m)+m2+2023
=m+m2+2023
=1+2023
=2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于
m的等式，变形m3+2m2+2023后整体代入．
【变式7-1】（2023春·湖南永州·九年级校考期末）若m(m≠0)是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式
1
m- 的值为（ ）
m
1 2
A．1 B． C． D．不能确定
2 5
【答案】A
1 1 m2-1
【分析】根据一元二次方程根的定义得出m2=m+1，再把代数式m- 变形为m- = ，然后代入
m m m
即可【详解】解：∵m(m≠0)是方程x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0
∴m2=m+1
1 m2-1 m+1-1
∴m- = = =1
m m m
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的
关键
【变式7-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知a为方程x2+3x-2023=0的根，那么
a3+2a2-2026a+2023的值为_________．
【答案】0
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a-2023=0，然后对原式进行化简，再将
a2+3a-2023=0整体代入即可．
【详解】解：∵x2+3x-2023=0，
∴a2+3a-2023=0，
∵a3+2a2-2026a+2023
=a(a2+2a-2026)+2023
，
=a[(a2+3a-2023)-a-3]+2023
=a(a2+3a-2023)-a2-3a+2023
=a(a2+3a-2023)-(a2+3a-2023)
将a2+3a-2023=0代入，则
原式=a×0-0
=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则2021
a3-2021a2- = ____．
a2+1
【答案】-2021
【分析】由方程根的定义可得a2-2021a+1=0，变形为a2+1=2021a．再将a2-2021a+1=0等号两边
2021
同时乘a并变形得a3-2021a2=-a，代入a3-2021a2-
逐步化简即可．
a2+1
【详解】∵a是方程x2-2021x+1=0的一个根．
∴a2-2021a+1=0，即a2+1=2021a．
将a2-2021a+1=0等号两边同时乘a得：
，即 ．
a(a2-2021a+1)=0 a3-2021a2=-a
∴ 2021 2021 1 a2+1 2021a ．
a3-2021a2- =-a- =-a- =- =- =-2021
a2+1 2021a a a a
故答案为：-2021．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】
【例8】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）若关于x的一元二次方程
a
ax2+2bx-2=0的一个根是x=2021，则一元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1必有一根为（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2019
【答案】D
【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可．
a
【详解】解：原式化简为： (x+2) 2+b(x+2)-1=0，则有a(x+2) 2+2b(x+2)-2=0，
2
∵一元二次方程ax2+2bx-2=0的一个根是x=2021，
∴x+2=2021，解得x=2019，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键．
【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为
2022，则方程 必有根为（ ）
a(x+1) 2+b(x+1)=-5A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【分析】设 ，即 可改写为 ，由题意关于x的一元二次方程
t=x+1 a(x+1) 2+b(x+1)=-5 at2+bt+5=0
ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，即at2+bt+5=0有一个根为t=2022，所以x+1=2022，
x=2021．
【详解】由 得到 ，
a(x+1) 2+b(x+1)=-5 a(x+1) 2+b(x+1)+5=0
对于一元二次方程 ，
a(x+1) 2+b(x+1)=-5
设t=x+1，
所以at2+bt+5=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，
所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，
则x+1=2022，
解得x=2021，
所以一元二次方程 有一根为 ．
a(x+1) 2+b(x+1)=-5 x=2021
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）关于 的方程
x (x+m) 2=n
的解是 ， （ 、 为常数），则方程 的解是_____．
x =-2 x =1 m n (x+m+3) 2=n
1 2
【答案】x =-5,x =-2
1 2
【分析】把后面一个方程中的x+3看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵ ，
(x+m+3) 2=n
∴ 2 ，
[(x+3)+m] =n
∵方程 的解是 ， （ 、 为常数），
(x+m) 2=n x =-2 x =1 m n
1 2
∴方程 [(x+3)+m] 2 =n 的解是 x +3=-2,x +3=1 ，
1 2∴x =-5,x =-2．
1 2
【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
【变式8-3】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x=5，
1
x=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________
2
【答案】x=3，x=-8
1 2
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，
解之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x=5，x=-6，
1 2
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x=3，x=-8，
1 2
故答案为：x=3，x=-8
1 2
【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行
简便计算．
