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九年级上学期期末【基础 100 题考点专练】
一、单选题
1．（2022·江苏·涟水县东胡集中学九年级期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根
【答案】A
【分析】先求出 的值，再比较出其与 的大小即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴一元二次方程 没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．（2022·广东韶关·九年级期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：整理后，如果方程只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次
数是2，像这样的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，当 时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，化简得 ，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的概念，特别注意二次项
系数不为零．
3．（2022·陕西·西安市第四十六中学九年级期末）方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分
别为（ ）
A．6，2，5 B．2， ，5 C．2， ， D． ，6，5
【答案】C
【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行解答即可．
【详解】将 化为一般式为 ，
∴二次项系数为：2；一次项系数为：-6；常数项为：-5；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的各个项系数的辨别，将方程化为一般式是解题的关键．
4．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x+2 B． C． D．y＝
【答案】C
【分析】根据形如 （a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
【详解】解：A．y=4x+2，是一次函数，故A不符合题意；
B． ，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；
C． ，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝ ，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
5．（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）二次函数 （a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x … ﹣2
﹣
0 1 2 …1
﹣ ﹣
y … 0 ﹣6 ﹣4 …
4 6
则该二次函数图象的对称轴为（ ）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1D．
直线x＝
【答案】B
【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
【详解】解：由图表可知：
x=0时，y=-6，
x=1时，y=-6，
∴二次函数的对称轴为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
6．（2022·山西吕梁·九年级期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的顶点式，直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标是(3,4)，
故选：B．
【点睛】本题考查根据抛物线解析式，确定顶点坐标，熟练掌握y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解题的关
键．
7．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，
所得抛物线是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】解：抛物线y=－2x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（－1，－3），
∴平移后的抛物线的解析式为y=－2（x+1）2－3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根
据规律利用顶点的变化确定函数解析式．
8．（2022·河北沧州·九年级期末）抛物线 与y轴的交点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令x=0代入求得y，即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当x=0时，y=-3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将 绕
点A顺时针旋转 得到 ，若 ， ， ，则四边形 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由题意得 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明 ，根据
即可解决问题．
【详解】如图，连接 ，
绕点A顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握
旋转的性质，对应边相等，对应角相等．
10．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）下面图形中是轴对称图形不是中心对称图形的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义分辨每一项即可．
【详解】A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B．既是轴对称图形也是中心对称图形；
C．是轴对称图形不是中心对称图形；
D．不是轴对称图形是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的定义及判别，熟练判别图形对称性质是解题关键．
11．（2022·河北廊坊·九年级期末）下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆
心角）是解此题的关键．
12．（2022·云南昭通·九年级期末）若 的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与 的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与O的位置关系为相交．
【详解】解：∵ 的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，且4＞3，
∴直线l与 的位置关系是相交．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握若dr，则直线与圆相离，其中圆心到直线的距离为d，半径为r是解题的关键．
13．（2022·河北沧州·九年级期末）如图， 是 的直径， ，点 在直径 上方的 上，连
接 ， ，则 的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
【详解】解： ，
,
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（2022·河南信阳·九年级期末）若 的半径是4，点A在 内，则OA的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】 的半径为4，点A在 内，
∴OA<4；
∵2 4；
<∴2符合；
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离OP= d，则有：点P在圆
外台d> r；点P在圆上台d= r；点P在圆内分d< r．
15．（2022·湖北宜昌·九年级期末）已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可
判断点P在⊙O外．
【详解】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
则点P在 O外．
故选：C．⊙
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外
d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d⊙＜r．
⇔16．（2022·辽宁大连⇔·九年级期末）如图，⇔点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是(
)
A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17．（2022·辽宁大连·九年级期末）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．6π D．12π
【答案】B
【分析】根据弧长的公式l 进行解答即可．
【详解】解：根据弧长的公式l ，
得到：l 4 ．
π
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题，属于容易题．
18．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）打开新华字典，恰好找到汉字“数”，这个事件
是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
【答案】B
【分析】根据在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件判断即可．
【详解】解：打开新华字典，恰好找到汉字“数”，这个事件是随机事件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查随机事件的知识，解题的关键是熟练掌握随机事件的定义．
19．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中九年级期末）下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，前5次都是反面，第6次是正面
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是10点
C．春天小草变绿
D．用长度分别是3cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可．
【详解】A.抛一枚硬币，前5次都是反面，第6次是正面，此事件是随机发生的，即不确定事件；
B.投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是10点，是属于不可能事件；
C.春天小草变绿，是必然事件；
D.用长度分别是3cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形，是不可能事件；
故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随件事件的概念；必然事件是指在一定条件下，一定发生
的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件
下，可能发生也可能不发生的事件．
20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学九年级期末）在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相
同的4个球，其中2个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球
B．摸出的是2个黑球
C．摸出的是1个白球、1个黑球
D．摸出的是1个黑球、1个黄球
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、有可能2个都是白球，是随机事件，故A不符合题意；
B、有可能2个都是黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、有可能摸出的是1个白球、1个黑球，是随机事件，故C不符合题意；
D、不可能摸出黄球，是不可能事件，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必
然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事
件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学九年级期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（
）
A．一岁一枯荣 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈
【答案】D
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【详解】解： A．是必然事件，故选项错误，不符合题意；
B．是必然事件，故选项错误，不符合题意；
C．是随机事件，故选项错误，不符合题意；
D．是不可能事件，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方
法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
22．（2022·湖北荆州·九年级期末）已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而减小
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质， ，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反
比例函数的图象是中心对称图形解答．
【详解】解： A、把点 代入反比例函数 ，得 成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵ ，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故说法错误，符合题意；
C、∵ ，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当 时， ，故当 时， ，故说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 ，（1） ，反比例函数图象在一、
三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2） ，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一
个象限内，y随x的增大而增大．
23．（2022·河北唐山·九年级期末）反比例函数y＝﹣ 的图象所在象限为（ ）
A．一 B．二 C．一、三 D．二、四
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：∵k=-1＜0，
∴其图象所在的象限为第二、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足函数解析式是本题的关键．
也考查了反比例函数的图象与性质，当k＜0时，反比例函数y＝﹣ 的图象位于第二、四象限．
24．（2022·河南信阳·九年级期末）港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥
通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（ ）A． B． C．v=29．6t D．
【答案】D
【分析】先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【详解】解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度
v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
25．（2022·浙江舟山·九年级期末）已知 ，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴只有D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
26．（2022·河南南阳·九年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把原式变形为 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为 是解题的关键．
27．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）点M为等边三角形ABC一边AB上的一点（与A、B不重合），过
M作直线截等边三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似，符合条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先根据等边三角形的性质可得 ，再根据相似三角形的判定即可得．
【详解】解： 是等边三角形，
，
符合条件的直线是过点 分别平行于 的两条直线，如图所示：
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
28．（2022·河北保定·九年级期末）一个四边形 各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
最长边为15，则 的最短边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
A B C D
1 1 1 1
【分析】设四边形 最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．A B C D
1 1 1 1
【详解】设四边形 最短边长为x，
A B C D
1 1 1 1
∵四边形 相似四边形 ，
∴2：x=5：15，
解得x=6，
故选：C．
【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．
29．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ．下列说法
错误的是( )
A． B．
C． D．直线 经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ，
∴ ， ，直线 经过点 ， ，
∴ ，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
30．（2022·安徽合肥·九年级期末）已知线段a、b、c满足 ，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为
( )
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
【答案】D
【分析】将a，b的值代入计算即可求出c的长度．【详解】解：∵ ，a＝4cm，b＝12cm，
∴ ，
∴c＝36cm，
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段，正确计算是解题的关键．
31．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则tanB的值为（
） △
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】直接根据正切的定义求出结果．
【详解】解：∵在 ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
△
∴tanB= ．
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；
正切等于对边比邻边．
32．（2022·河北沧州·九年级期末）已知在 中， ， ，则 的度数为( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用 求得∠A的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解： 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
33．（2022·河北保定·九年级期末）在 中， ， ， ，则 的值为( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】解： ．
故选：C
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边比
值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键．
34．（2022·湖南株洲·九年级期末）下列三角函数的值是 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、 ＝ ，符合题意；
B、 ＝ ，不符合题意；
C、 ＝ ，不符合题意；
D、 ＝ ，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
35．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的
顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求出 的边长，判断出 为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．
【详解】如图，根据网格可得，
， ， ，
则有 ，
故 为直角三角形；
在 中， ．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是利用勾股定理得到直角三角形．
36．（2022·广东梅州·九年级期末）2sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：2sin60°＝2× ，
故选：D．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．
37．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）如图，是几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球体
【答案】D
【分析】根据一个空间几何体的三视图都是圆形即可判断是球．
【详解】解：由已知的三视图都是圆形可得出几何体是球，故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．
38．（2022·江西吉安·九年级期末）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从左边看到的视图是左视图，即可求解．
【详解】解：从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看
到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到
的棱应用虚线表示．
39．（2022·黑龙江·依安县中心镇民乐村中学九年级期末）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和
俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（ ）
A．14 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】根据俯视图可知第一层有6个小立方块，根据主视图判断出第二层和第三层小立方块的最少个数
即可得解．
【详解】解：根据俯视图可知第一层有6个小立方块，根据主视图可知第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，即最少需要9个小立方块，
故选：B．
【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
40．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）如图是某个几何体的展开图，则把该几何体平放
在平面上时，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据几何体的展开图，判断所围成的几何体的形状，然后利用三视图的概念求解．
【详解】解：因为几何体的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体以及三视图问题，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．
41．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，
主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据题意分别画出各选项的几何体的三视图即可判断．
【详解】各选项的几何体的主视图、左视图、俯视图如下∶
A． ，不满足题意；B． ，不满足题意；
C． ，不满足题意；
D． ，满足题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，关键在于牢记三视图的画法．
42．（2022·新疆师范大学附属中学九年级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝
，则正六边形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【分析】连接OA、OB，由正六边形的性质和正切函数的性质可以得到△OAB的面积，然后可以得解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，由正六边形的性质可得：∠OAH=60°，AH=HB，
∵tan∠OAH= ,
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查正六边形的应用，熟练掌握正六边形的性质和正切函数的定义是解题关键．
43．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，∠ACB＝
90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（ ） △
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将求sinB的值转化为求sin∠ACD的值，然后根据角的正弦值与三角形边的关系，求角的正弦值．
【详解】解：∵CD是Rt ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，∠A△CD+∠BCD＝90°
∴∠B＝∠ACD．
∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．
故选：A．【点睛】本题利用了锐角三角函数的概念和在直角三角形中，同角的余角相等而求解．
44．（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若 ， ， 与 交于点 ，
且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图（见解析）所示，延长 到 ，使 ，连结 ，则 ，根据等腰三角形的性
质和三角形外角性质，可得 ，由于 ，则 ，于是可证明
，然后利用相似三角形的相似比即可算出 的值．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连结
又∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
即
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是构建 与相似．
45．（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图， 与 位似，点O为位似中心．已知
，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的面积比为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题
的关键．
46．（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的
比值相等，即 ，则 为成比例线段．
【详解】A、∵ ，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵ ，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵ ，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵ ，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．二、填空题
47．（2022·重庆市武隆区江口中学校九年级期末）一元二次方程 的一般形式是___________．
【答案】
【分析】一元二次方程的一般形式是： ， ， 是常数且 ．
【详解】解： ，
去括号，得 ，
移项得 ，
原方程的一般形式是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏
乘，移项时要注意变号．
48．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）若 是关于x的一元二次方程，
则m的值是___________．
【答案】2
【分析】利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次方程的定义及二次根式的非负性，能够根据定义及性质列式是解题关键．
49．（2022·湖北荆门·九年级期末）若 是方程 的两个根，则多项式 的值为
_____．
【答案】-1
【分析】根据根与系数的关系得到 把 变形得到 然后利用整体
代入的方法计算．【详解】解：根据题意得 ，
则 ，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 ，则
， ．掌握这一定理是解题的关键．
50．（2022·河北保定·九年级期末）已知两条抛物线 和 ，请至少写出两条它们
的共同特点： ________________．
【答案】①开口都向上，②与y轴的交点都是（0，-3）
【分析】根据二次系数的符号相同得到它们的开口都向上；根据c相同得到它们与y轴的交点都是（0，-
3）等．
【详解】解：抛物线y=x2+2x-3，开口向上，当x=0时，y=02+2×0-3=-3，
∴它与y轴的交点都是（0，-3）；
抛物线y=2x2+x-3，开口向上，点x=0时，y=2×02+0-3=-3，
∴它与y轴的交点都是（0，-3）；
∴两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3，它们的共同特点：①开口都向上，②与y轴的交点都是（0，-3）．
故答案为：①开口都向上，②与y轴的交点都是（0，-3）答案不唯一．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
51．（2022·黑龙江鹤岗·九年级期末）如图，将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，若
，则 等于______．
【答案】 ## 度
【分析】根据旋转的概念可知 ，再求出 的度数即可．【详解】解：∵ 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转角的概念，正确找到旋转角 是解答本题的关键．
52．（2022·新疆生产建设兵团第十二师高级中学九年级期末）在平面直角坐标系中，点 （2，1）关于原
点对称的点是__________．
【答案】（ ， ）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解： 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
点A（2，1）关于原点对称的点为（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对
称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
53．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学九年级期末）布袋中装有1个红球和3个白球，它们除颜色外
其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是__________．
【答案】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵布袋中装有1个红球和3个白球，
∴所摸到的球恰好为红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
54．（2022·河南平顶山·九年级期末）如图，O是坐标原点，点A在函数 的图象上， 轴
于B点， 的面积为4，则k的值为____________．【答案】﹣8
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到 |k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴ ＝ |k|，即 |k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为﹣8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．
55．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）已知点A为反比例函数y＝ 图象上的点，过点A分别作x轴，y
轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为8，则k的值为_____．
【答案】-8或8
【分析】根据反比例函数中k的几何意义： ，可知k的值．
【详解】解：根据k的几何意义可知：
k的值为-8或8．
故答案为：-8或8．
【点睛】本题考查了反比例函数中的k值的几何意义，对于几何意义的掌握是解决本题的关键．
56．（2022·天津北辰·九年级期末）在函数 的图象上有三点 、 、 ，比较函数
值 、 、 的大小，并用“<”号连接__________．
【答案】【分析】分别将三点坐标代入求值，再比较即可．
【详解】分别将 、 、 代入 ，
得： ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解
题关键．
57．（2022·江苏淮安·九年级期末）若 ，则 ＝_____．
【答案】
【分析】根据比例设x=2k，y=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴设x=2k，y=5k（k≠0），
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
58．（2022·广东梅州·九年级期末）比较大小：tan50° ____tan60°．
【答案】＜
【分析】根据角的正切值随着角度的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵50°＜60°，
∴tan50°＜tan60°．
故答案为：＜.
【点睛】本题主要考查了比较正切值的大小，熟练掌握角的正切值随着角度的增大而增大是解题的关键．
59．（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于
点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得 ，BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点E．下列四个结论中正确的结论序号为__________．
（1） ；
（2）PE＝2BF；
（3）在点P运动的过程中，当GB＝GP时， ；
（4）当P为BC的中点时， ．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)过点G作GH⊥AB于点H，作 ，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点
N，由正方形的性质得出OG = GH，由等腰直角三角形的性质可得出(1)正确；(2)证明 ≌
(ASA)，由全等三角形的性质得出BF= FM，证明 (AAS)，由 全等三角形的性质得出PE=
BM，则可得出(2)正确；(3)证明 为等腰直角三角形， ， 得出 ，可得
出(3)正确；(4)在BF上截取TF= EF，则 为等腰直角三角形，设EF= FT= a，由等腰直角三 角形的
性质得出BF= ( + 1)EF，由三角形的面积可得出 ，证明 ∽ ，由相似三
角形的性质得出 ，则可得出(4)错误．
【详解】(1)如图，作 ，PM交BD于点K，过点M作MN⊥PG于点N，∵正方形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故(1)正确；
∵
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故(2)正确
(3)∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故(3)正确在BF上截取TF= EF，则 为等腰直角三角形，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 故(4)错误．
故答案为(1)(2)(3)．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握各性质并准确识图是解题的关键．
60．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，已知矩形 与矩形 是位似图形， 是位似中心，若
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点P的坐标为____________．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质得 ，则 ，然后写出 点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，
∴ ，
∵矩形 与矩形 是位似图形，P是位似中心，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；
对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
61．（2022·浙江舟山·九年级期末）若线段 ， ，则线段a，b的比例中项为____________.
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c， ，根据比例中项原则： ，
∴ ，
∴ ．
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
62．（2022·山东菏泽·九年级期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝ ，x＝2
1 2
(2)：x＝﹣3，x＝2
1 2
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
（1）
解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝ ，x＝2；
1 2
（2）
解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，x＝2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
63．（2022·福建泉州·九年级期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】把方程化为 ，然后用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：
原方程可化为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的步骤是解题的关键．
64．（2022·四川乐山·九年级期末）解方程： ．
【答案】
【分析】将方程整理，再直接开平方即可．
【详解】解：
整理得：
∴ ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
65．（2022·四川成都·九年级期末）某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的
市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千
克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；
(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售
量为多少？
【答案】(1)
(2)6元，110千克
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之
间的关系式即可求出相应的日销售量．
【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为 ，
观察图象，将 ， 代入 得，
解得 ，
故y与x之间的关系式为 ；
（2）解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为 元，日销量为 千克，
则 ，
整理得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）
当 时， ，
故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解
析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．
66．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，某学校打算把一块长 、宽 的长方形空地修建成一个学
校校史馆，面向全体师生校友和社会大众，展示学校建校的发展历程，若三面修成宽度相等的花砖路，中
间空地的面积是 ，请计算花砖路面的宽度．
【答案】1m
【分析】根据题意可知中间空地的长 m，宽 ，列方程即可．
【详解】解：设花砖路面的宽度为 m，则中间空地的长 m，宽 m，则
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）
答：花砖路面的宽度为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意表示出中间空地的长和宽．
67．（2022·宁夏吴忠·九年级期末）已知二次函数 的图象经过 ， 两点．求
这个二次函数的解析式；
【答案】 ．
【分析】把A 、 的坐标代入函数解析式，转化为方程组求解，即可确定函数解析式．
【详解】解：把A 、 的坐标代入函数解析式可得：，
解得： ，
所以二次函数的解析式为： ．
【点睛】本题考查考了用待定系数法求二次函数解析式及解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题
的关键是．
68．（2022·宁夏石嘴山·九年级期末）求二次函数 图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】顶点坐标为：（1，-4），对称轴为x=1.
【分析】把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴．
【详解】解：∵ ，
把二次函数化为顶点式为： ；
∴顶点坐标为：（1，-4），
∴对称轴为x=1.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练把二次函数的一般式化为顶点式．
69．（2022·安徽·六安市轻工中学九年级期末）抛物线 过点（0，-5）和（2，1）.
（1）求b,c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
【答案】（1）b, c的值分别为5, -5；（2）当 时 有最大值
【分析】（1）把点代入 求解即可得到b,c的值；
（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.
【详解】解：（1）∵抛物线 过点（0，-5）和（2，1），
∴ ,解得 ,
∴b, c的值分别为5, -5.
（2）a= -1 ，b=5,
∴当x= 时y有最大值.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.
70．（2022·青海海东·九年级期末）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，把Rt ABC绕点B逆时针旋转，得到
Rt DBE，点E在AB上，若BC=8，AC=6，求D△E及BD的长． △
△
【答案】DE的长为6，BD的长为10．
【分析】根据勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可得DE=AC=6，BD=AB．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵把Rt ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt DBE，
∴DE=A△C=6，BD=AB=10． △
∴DE的长为6，BD的长为10．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
71．（2022·甘肃定西·九年级期末）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三
个顶点都在格点上，点A的坐标为（4，4），作出△ABC关于原点对称的△ABC ，并分别写出A、B、
1 1 1 1 1
C 的坐标．
1【答案】图见解析，A（-4，-4），B（-1，-1），C （-3，-1）．
1 1 1
【分析】根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点对称的△ABC ，进而写出A、B、C 的坐标．
1 1 1 1 1 1
【详解】解：如图，△ABC 即为所求；
1 1 1
A（-4，-4），B（-1，-1），C （-3，-1）．
1 1 1
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解此题的关键是能正确作出旋转后的图形．
72．（2022·福建南平·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊿ABC的三个顶点都在格点上，
（1）画出⊿ABC关于x轴对称的⊿AB C
1 1 1.
（2）画出⊿ABC绕原点O旋转180°后的⊿AB C
2 2 2.【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对称点A、B 、C 的坐标，然后描点
1 1 1
即可得到△AB C ；
1 1 1
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对称点A、B 、C 的坐标，然后描点即可得到
2 2 2
△AB C ．
2 2 2
【详解】解：（1）如图，△AB C 为所作；
1 1 1
（2）如图，△AB C 为所作．
2 2 2
【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了对称轴变换．
73．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若
∠B=25°，求∠BAC的度数．
【答案】65°．
【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即
可求解．
【详解】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
74．（2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末）如图， 是 的外接圆⊙O的直径，若
∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
【答案】40°
【分析】连接BD，可得∠ABD=90°，再由∠D=∠C=50°，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关
键．
75．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，
连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 ，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
= ．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，解得：
∴⊙O的半径是 ．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理
证明和计算．
76．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点
E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长．
【答案】
【分析】连接AO，根据半径和CE的长度求出OE的长度，然后在△AEO中根据勾股定理求出AE的长度，
然后在△AED中根据勾股定理即可求出AD的长度．
【详解】解：如图所示，连接AO，
∵⊙O的半径是5，
∴OC=OD=5，
∴ ，
∴ ，
∵直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，
∴ ，∴在△AEO中， ，
∴在△AED中， ．
∴AD的长度为 ．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理和勾股
定理．
77．（2022·浙江杭州·九年级期末）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字
外三个小球无其他差别．
(1)从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．
(2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两
次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解；
（2）利用树状图列举法即可求解；
【详解】（1）根据题意，上面的数字恰好是“3”的概率为： ，
即所求概率为 ；
（2）利用树状图列举法：
如图两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为： ．
【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识，掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键．
78．（2022·山东日照·九年级期末）中国共产党第十九届中央委员会第六次全体会议于2021年11月8日至
11日在北京胜利召开．为加强学生对时事政治的学习了解，某校开展了全校学生学习时事政治活动并进行
了知识竞赛初赛，最终选出八年级2人，九年级3人共5名同学参加决赛，评出一等奖两名，求这两名同
学来自同一年级的概率．
【答案】
【分析】根据列表法列出所有等可能的结果，再根据概率公式，即可求出这两名同学来自同一年级的概率．
【详解】解：设八年级2个学生为a，b，九年级3个学生为A，B，C，列表如下：
a b A B C
a (a，b) (a，A) (a，B) (a，C)
b (b，a) (b，A) (b，B) (b，C)
A (A，a) (A，b) (A，B) (A，C)
B (B，a) (B，b) (B，A) (B，C)
C (C，a) (C，b) (C，A) (C，B)
共有20种等可能的结果，其中，这两名同学来自同一年级的结果有8种，
这两名同学来自同一年级的概率= ．
【点睛】本题主要考查了用列表法求等可能事件的概率．
79．（2022·广西河池·九年级期末）箱子里有4瓶牛奶，其中有两瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回
地任意抽取2瓶．请用画树状图法求抽出的2瓶牛奶恰好都是过期牛奶的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图求解即可
【详解】解：设这四瓶牛奶分别记为 、 、 、 ，其中过期牛奶为 ， ，
画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到都是过期牛奶的有2种结果．
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到都是过期牛奶的概率为 ．
【点睛】本题考查用树状图求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
80．（2022·四川广元·九年级期末）举世瞩目白鹤滩水电站位于四川省凉山州宁南县和云南省昭通市巧家
县境内，是金沙江下游干流河段梯级开发的第二个梯级电站，电站2013年主体工程正式开工，2021年6
月28日首批机组发电．现已开放的 、 、 、 4个闸口均可随机选择开闸发电．
(1)若只开放一个闸口开闸发电时，选择 闸口的概率是______．
(2)用树状图或列表法求只开放两个闸口开闸发电时，选择两不同闸口发电的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）有4种等可能结果，选择一个即可；
（2）通过列表发现一共16种等可能事件，满足条件的有12种，即可求解．
(1)
解：共有A、B、C、D四个闸口
选择A闸口的概率为
故答案为： ；
(2)
解：列表如下：
A B C D
A A A A
A
A B C D
B B B B BA B C D
C C C C
C
A B C D
D D D D
D
A B C D
由表可知，共有16种等可能结果，
其中选择两个不同闸口发电的有12种结果，
所以选择两个不同闸口发电的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法或者画树状图法求随机事件发生的概率，掌握列表法和画树状图法是解题的关
键．
81．（2022·江西景德镇·九年级期末）双曲线 过矩形ABCD的A、C两个顶点， 轴，已知B
点的坐标为 ，求点D的坐标．
【答案】D的坐标为（8，6）
【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可．
【详解】解：∵双曲线 过矩形ABCD的A、C两个顶点， 轴，
当 时， ，
∴A（2，6）．
∵ 轴，
当 时， ， ，
∴C（8，1.5）．
∴点D的坐标为（8，6）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是利用反比例函数解析式求出点的坐标．
82．（2022·福建省福州延安中学九年级期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)函数的解析式为I= ；
(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I= ，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求
出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I= ，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8= ，
解得k=1.8×20=36，
∴I= ；
（2）解：∵I≤3，I= ，
∴ ≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
83．（2022·湖南永州·九年级期末）如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y= 的图象交于A(-2，1)、
B(1，a)两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
【答案】（1） ， ；（2） 或 ．
【分析】（1）先根据点 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点 的坐标，再
利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）结合点 的横坐标，根据函数的图象即可得．
【详解】解：（1）将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 得： ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为 ；
（2）当反比例函数值大于一次函数值时， 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
84．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数 的图象交于点
A、B，与x轴交于点 ，若OC＝AC，且 ＝10（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax＋b＞ 的解集．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式；
（2）根据一次函数和反比例函数图像结合已知不等式，数形结合直接可得．
【详解】（1）过点A作 轴于点D
，OC＝AC， ＝10
代入 ，把 ， 代入y＝ax＋b，得：
，解得
（2）联立
解得：
或 （A点坐标）
ax＋b＞ 的解集，即图像中一次函数的值大于反比例函数的值．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，解一
元二次方程，反比例函数与不等式，数形结合是本题的解题关键．
85．（2022·山东菏泽·九年级期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于
1
A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足kx+b＞ 的x的取值范围．
1【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝﹣ ，一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（2）0＜x＜4或x＜﹣1
【分析】（1）由点 ，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，再利用反比例函数的表达式可
求出点B的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的表达式；
（2）根据一次函数的图象、反比例函数的图象即可得．
【详解】（1）把点 代入反比例函数 得 ，解得
则反比例函数的解析式为
将点 代入 得
∴
将 ， 代入 得
解得
则一次函数的解析式为 ；
（2） 表示的是：一次函数 的图象位于反比例函数 的上方
则由 ， 可得：当 或 时，
故所求的x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、一次函数和反比例函数的图象，
掌握一次函数和反比例函数的图象特征是解题关键．
86．（2022·福建省福州延安中学九年级期末）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)AC的长为 ．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．
（1）
证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）
解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴AC= (负值已舍)．
∴AC的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形
相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
87．（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图，已知 ，点E、F在线段BD上， ，
，求证：【答案】见解析
【分析】由 ，可得 ，又由 ， ，由此即可判定 ；
【详解】证明：∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键．
88．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，
且AD＝1，BD＝2，AC＝ ．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出 ，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：∵ ， ，，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．89．（2022·山东济南·九年级期末）计算：4cos30°－(2－ )＋2tan45°
【答案】3
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：4cos30°﹣（2﹣ ）+2tan45°．
＝4× ﹣2+ +2×1
＝2 ﹣2+ +2
＝3 ．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函
数值是解题的关键．
90．（2022·安徽滁州·九年级期末）计算：
【答案】
【分析】先求特殊角三角函数值、0指数和绝对值，再计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数和绝对值，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练求0
指数和绝对值，准确进行计算．
91．（2022·广东梅州·九年级期末）计算： ．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质进行化简．负数的偶次方是正
数，所以-1的平方是1，负数的绝对值是它的相反数，所以 ＝－（ ）， ＝ ，再把它们代入原式计算即可．
【详解】原式
【点睛】此题考查了实数的运算，解题的关键是正确化简各数．
92．（2022·福建泉州·九年级期末）计算：
【答案】
【分析】分别计算二次根式的除法与乘法，锐角三角函数的计算，再合并即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的二次根式的除法，二次根式的乘法，锐角三角函数的应用，掌握“二次根式的运算”
是解本题的关键.
93．（2022·云南·南华县龙川初级中学九年级期末）如图，晚上，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站
在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子BC；
(2)如果灯杆高PO=11.6m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离OB=10m，请求出小亮影子的长度．
【答案】(1)见解析
(2)小亮影子的长度为1.6m
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
（1）
连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子，（2）
在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴ ，
∴
∴BC＝1.6m，
∴小亮影子的长度为1.6m．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影
的特点可知在这两个三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
94．（2022·福建三明·九年级期末）如图是两根木杆及其影子的图形．
(1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ．
(2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB．
【答案】(1)中心投影
(2)图见详解
【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影；
（2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB．
【详解】（1）解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O，∴这个图形反映的是中心投影；
（2）解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A，
线段AB即小树影长．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键．
95．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图是一个几何体的三视图．
(1)这个几何体的名称是______；
(2)根据图中的数据，求该几何体的表面积（结果保留 ）
【答案】(1)圆柱
(2)
【分析】（1）根据该几何体的主视图与俯视图是矩形，左视图是圆，由此可以确定该几何体的名称；
（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的表面积即可．
（1）
解：该几何体是圆柱．
故答案为：圆柱．
（2）∵从正面看的高为2，从左面看的圆的直径为2，
∴该圆柱的底面圆的直径为2，半径为1，高为3，
∴该几何体的侧面积为： ，
∴该几何体的表面积为： ．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是理解和掌握圆柱的表面积的
计算方法．
96．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F
是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=0.25．
(1)求tan∠ACE；
(2)设AF=x，GH=y，试探究y与ⅹ的函数关系式（写出x的取值范围）；
(3)当∠ADF=∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
【答案】(1)tan∠ACE= ；
(2) (0＜x≤1)；
(3)当∠ADF=∠ACE时，EG⊥AC，理由见解析
【分析】（1）过点E作EM⊥AC于点M，由正方形的性质求出AE=0.75，由直角三角形的性质求出EM和
CM的长，则可得出答案；
（2）证明 DHG∽△DAF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案；
△
（3）由锐角三角函数的定义得出 ，求出x= ，y= ，证明 EHG和 AHG都是等腰直角三角
△ △
形，则可得出答案．
（1）
解：过点E作EM⊥AC于点M，∴∠AME=∠EMC=90°，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，DE=0.25，
∴∠CAD=45°，AE=AD-DE=1-0.25=0.75= ，
∴EM=AM=AE•sin∠CAD= ，AC= ，
∴CM=AC-AM= ，
∴tan∠ACE ；
（2）
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠CAD=45°，
∵GH⊥AD，
∴ AHG是等腰直角三角形，
∴△AH=GH=y，
∵GH⊥AD，AB⊥AD，
∴GH AB，
∴△DHG∽△DAF，
∴ ，
∴ ，
∴y=x-xy，∴ (0＜x≤1)；
（3）
解：当∠ADF=∠ACE时，EG⊥AC，
理由如下∶
∵tan∠ADF=tan∠ACE= ，
∴ ，
∴x= ，y= ，
∴HA=GH= ，
∴EH=AD-DE-AH= ，
∴ EHG是等腰直角三角形，
∴△∠HGE=45°，
∵ AHG是等腰直角三角形，
∵△∠AGH=45°，
∴∠AGE=∠AGH+∠HGE=90°，
∴EG⊥AC．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，
勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
97．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行
数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏
东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2) 米
【分析】（1）过点A作 交 于点 ，根据 且 ，可得 ，
利用外角的性质根据 可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有 ，可得 ， ，
，可求得 ，再根据 可得结果．
（1）
如图示，过点A作 交 于点 ，
∵ 且
∴
∵ 且
∴ ；
（2）
过点B作BG⊥AD于G．∵
∴
在 中， ，
在 中，
∵
∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关
系是解题的关键．
98．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬
在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1
米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．【答案】此气球有9.7米高
【分析】由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程
即可解答．
【详解】解：设AP=h，
∵ PFB=45°，
∴BF=PB= h+1，
∴EA= h+6，
在Rt PEA中，PA=AE tan30°，
∴h=(h+6)tan30°，
∴ ，
∴h= ≈8.2米，
∴气球的高度为PA+AB+FD=9.7米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．
99．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）已知 四点在 上，弦 与直径 相交于点
E， ，点P为射线 上一点，使得 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ， ，求 ．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】（1）由圆周角定理可得 ，由余角的性质可证 ，可得结论；
（2）先求出 的长，通过证明 ∽ ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵AC为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 为 的半径，
∴ 为 的切线．
（2）解：如图所示，过点A作 于点G．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
设 ，则 ．
∵ ∽ ，
∴ ．
∴ ，
解得： （负值已舍去）．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角的性质，切线的判定等知识，添加恰当的辅助线构
造相似三角形是解题的关键．
100．（2022·山东聊城·九年级期末）如图，在平行四边形 中，E为 边上一点，连接 ，F为线
段 上一点，且 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出 ，即可进行证明；（2）根据平行四边形对边相等，相似三角形对应边成比例，即可进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角
形的判定方法以及相似三角形对应边成比例．
