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第 14 章 整式的乘法与因式分解 章节整合练习（22 个知识点
+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
知识点2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
知识点3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
知识点4．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
知识点5．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
知识点6．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
知识点7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．知识点8．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
知识点9．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则
称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，
就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的 2倍中间放，符号随
中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数放在两数的乘方的
中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，
后边的符号都用+）”
知识点10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．知识点11．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．
知识点12．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式
里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
知识点13．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是
两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．知识点14．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
知识点15．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商
即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点16．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点17．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
知识点18．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
知识点19．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，
1 2 1 2
把常数项c分解成两个因数c ，c 的积c •c ，并使a c +a c 正好是一
1 2 1 2 1 2 2 1
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
知识点20．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）
知识点21．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
知识点22．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
章节题型整合练习
一．同底数幂的乘法
1．（2024秋•雁峰区校级月考）已知 ， ， ，则下列给出 ， ， 之间的数量关系式
中，错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件式得到 ， ，进而推出 ， ，则 ，
，据此逐一判断即可．
【解答】解：由题可知，， ，
， ，
， ，
， ，
，
四个选项中只有 选项的关系式错误，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2024春•定海区期末）已知 ， ，则 ．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解： ，
故答案为：18．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．
二．幂的乘方与积的乘方
3．（2024秋•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同
底数幂相乘的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【解答】解： 、 和 不是同类项，不能直接相加，故该项不正确，不符合题意；
、 ，故该项不正确，不符合题意；
、 ，故该项正确，符合题意；、 ，故该项不正确，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2024秋•肇源县校级月考）比较 与 的大小．
解：因为 ， ，
因为 ，
所以 ．
请根据上述解答过程接解答．
（1）比较 ， ， 的大小；
（2） ， ， ，比较 ， ， 的大小．
【分析】（1）由题意可得 ， ， ，由 即可得到
答案；
（2）幂的乘方法则得到 ， ， ，比较指数大小即可得到答案．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
；
（2） ， ， ，
，
．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握该运算法则是关键．
三．同底数幂的除法
5．（2024秋•周口月考）计算 的结果是A． B． C． D．8
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的读取是对相应的运算法则的掌握．
6．（2023秋•澄迈县期末）若 ， ，则 ．
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解： ，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，利用了同底数幂的除法底数不变指数相减．
四．单项式乘单项式
7．（2024秋•海门区校级月考）计算 的结果是 ．
【分析】利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，进而得出答案．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了单项式乘单项式．熟练运用单项式乘法法则是解题的关键．
8．（2024秋•双阳区校级月考）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先计算乘方、化简绝对值和二次根式，再算加减即可；
（2）先根据同底数幂的乘法运算法则计算，再算减法即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，实数的运算，科学记数法 表示较大的数，掌握相应的运算法则是
关键．
五．单项式乘多项式
9．（2024春•裕安区校级期末）若 ，则代数式 的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】将 变为 ，再代入计算即可．
【解答】解： ，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
10．（2024秋•翼城县月考）（1）计算：
（2）下面是小康同学进行整式乘法运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
计算：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据 法则进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 ．
任务二：请直接写出本题的正确结果．
【分析】（1）首先计算算术平方根，立方根，计算二次根式，然后计算加减；
（2）任务一：①根据多项式乘单项式及单项式乘单项式求解即可；
②合并同类项分析求解即可；
任务二：根据整式的混合运算求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据单项式乘单项式及单项式乘多项式法则进行变形的，
故答案为：单项式乘单项式及单项式乘多项式；
②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是 与 不是同类项，不能合并，
故答案为：四， 与 不是同类项，不能合并；
任务二：
，
本题的正确结果为 ．
【点评】此题考查了实数的运算，单项式乘多项式，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键．
六．多项式乘多项式
11．（2024秋•双阳区校级月考）计算 等于
A． B． C． D．【分析】直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：
，
故选： ．
【点评】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键．
12．（2024秋•农安县期中）若 ， ，则 的值是 ．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式
，
将 ， 代入，
原式
，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
七．完全平方公式
13．（2023秋•大连期末）已知 ， ，则
A．25 B．22 C．19 D．13
【分析】根据完全平方式，将 与 的值代入即可求出答案．
【解答】解： ，
，
故选： ．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想．
14．（2023秋•科尔沁区期末）如果 ， ，那么 ，
【分析】根据完全平方公式将 转化为 ，再整体代入计算即可．【解答】解： ， ，
．
故答案为：20．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
八．完全平方公式的几何背景
15．（2024春•西平县期末）如图，在边长为 的大正方形内放入三个边长都为 的小正方
形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是 ，则 的值为 ．
【分析】分两次来看被盖住的面积，第一个两个小正方形都在下面，则没有被盖住的面积为 ，又
盖了一个小正方形，被盖住的面积是 ，作差即可．
【解答】解：没有被盖住的面积为： ．
故答案为：4．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，能够在图上标注长度是关键．
16．（2024秋•永春县校级月考）图1是一个长为 ，宽为 的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成
4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含 、 式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法 方法 ；
（3）观察图2，尝试写出 、 、 三个式子之间的等量关系式是： ．【分析】（1）根据图示中图形的边长的关系即可求解；
（2）根据几何图形面积的计算方法即可求解；
（3）分别算出 ， ，即可求解．
【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长等于 ，
故答案为： ．
（2）两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法 ，
方法 ，
故答案为： ； ；
（3） ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
九．完全平方式
17．（2024秋•肇源县校级月考）已知 是完全平方式，则 的值是
A．6 B． C．12 D．
【分析】注意：完全平方式有 和 两个．根据完全平方公式求解即可．
【解答】解： ，
．故选： ．
【点评】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．
18．（2024秋•内乡县校级月考）已知二次三项式 的常数项与 的常数项相同，而它
的一次项与 的一次项相同．
（1）分别求出 ， 的值；
（2） 是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出 和 的结果即可得到答
案；
（2）根据（1）所求可得 ，据此可得结论．
【解答】解：（1） ，
，
二次三项式 的常数项与 的常数项相同，而它的一次项与 的一次项相
同，
， ；
（2）由（1）可知， ，
是完全平方式．
【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式 ，如果
存在另一个实系数整式 ，使 ，则称 是完全平方式．
一十．平方差公式
19．（2024春•龙湾区校级期中）下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是
A． B．C． D．
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解： ．原式 ，能利用完全平方公式进行计算，因此选项 不符合题意；
． 可以利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，因此选项 不符合题意；
． ，能利用平方差公式进行计算，因此选项 符合题意；
．原式 ，能利用完全平方公式进行计算，因此选项 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
20．（2024春•青龙县期末）若 ， ，则 ．
【分析】根据平方差公式 进行计算即可．
【解答】解： ， ， ，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式 是解题的关键．
一十一．平方差公式的几何背景
21．（2023•美兰区校级模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 ．
【分析】设大正方形和小正方形的边长各为 ， ，由题意可得 ，再运用三角形面积公式进行
求解．【解答】解：设大正方形和小正方形的边长各为 ， ，
由题意可得 ，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：15．
【点评】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知
识进行求解．
22．（2024春•高碑店市月考）如图，图1为边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形，图2是由
图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，则 ， （请用含 ，
的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是 ．
（3）运用（2）中得到的公式，计算： ．
【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长
方形面积公式表示即可；
（2）根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）在原式前面乘以 ，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．【解答】解：（1）由图形可知，图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
故答案为： ， ；
（2） 图1和图2中的阴影部分面积相等，
以上结果可以验证乘法公式为： ，
故答案为： ；
（3）
．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
一十二．整式的除法
23．（2023秋•磁县期末）计算： ．
【分析】首先根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别去除以单项式 ，接下来再结
合单项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是多项式除以单项式的知识，掌握运算法则是解题的关键．24．（2024•丰城市校级开学）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知 ，那
么再根据除法是乘法的逆运算可得 ，这就是多项式除以多项式．两个多项式相
除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进
行计算．例如 ，可仿照 用竖式计算（如图）
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
请用上述方法计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式进行计算即可得到答案
【解答】解（1）
；
（2） ．．
【点评】本题考查了多项式的除法，列竖式计算是关键．
一十三．因式分解的意义
25．（2024秋•绿园区校级月考）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判
断即可．
【解答】解： ．不是因式分解，故本选项错误；
．不符合因式分解的定义，故本选项错误；
． ，是因式分解，故本选项正确；
．等号左侧是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握该知识点是关键．
26．（2023秋•梁园区校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式 等于整式 与整式 之积，则称整式 和整式 为整式 的因式．
如：①因为 ，所以 和 是 的因式．
②若 是 的因式，则求常数 的值的过程如下：
解： 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ．当 时， ．
此时 ．
将 代入得， ，
解得 ．
（1） 是 的因式吗？ （填“是”或“不是” ；
（2）若 是 的因式，求常数 的值．
【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可作出判断；
（2）存在一个整式 ，使得 ，当 时， ，则
，代入求出即可．
【解答】解：（1） ．
故 不是 的因式；
故答案为：不是；
（2） 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
解得 ．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解一元一次方程，关键是因式分解定义的熟练应用．
一十四．公因式
27．（2024春•唐山期末）多项式 的公因式是
A．3 B． C． D．
【分析】找出多项式的公因式即可．【解答】解：多项式 的公因式是 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一
个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
28．（2023秋•临潼区期末）式子 与 的公因式是 ．
【分析】多项式中公共的因式为公因式，由此找出即可．
【解答】解：式子 与 的公因式是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
一十五．因式分解-提公因式法
29．（2024•南通）分解因式： ．
【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式 即可分解
因式．
【解答】解： ．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因
式的要先提取公因式．
30．（2023秋•淮阳区期末）（1）计算： ；
（2）分解因式： ．
【分析】（1）先求二次根式、负整数指数幂，然后计算加法；
（2）通过提取公因式 进行因式分解．
【解答】解：（1）
；（2） ．
【点评】本题主要考查了提公因式法进行因式分解和实数的运算．在进行实数运算时，和有理数运算一样，
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．
一十六．因式分解-运用公式法
31．（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是
A． B． C． D．
【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别将各式分解，即可作出判断．
【解答】解： ． ，故此选项不合题意；
． 无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；
． ，故此选项符合题意；
． 无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键．
32．（2023秋•东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解： ．
解：将“ ”看成整体，设 ，则原式 ．
再将 代入，得原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ．
【分析】（1）将 看成整体，令 代入原式即可求解；（2）将 看成整体，令 代入原式即可求解．
【解答】解：（1）设 ，
则原式 ，
，
把 代入得，
原式 ，
；
（2）设 ，
则原式 ，
，
，
把 代入得，
原式 ，
，
．
【点评】本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．
一十七．提公因式法与公式法的综合运用
33．（2023秋•商水县期末）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是
A． B．
C． D．【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断．
【解答】解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
34．（2024•明水县校级二模）把 因式分解的结果是 ．
【分析】根据因式分解的方法即可求出答案．
【解答】解：原式
故答案为：
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
一十八．因式分解-分组分解法
35．（2022秋•环翠区校级期中）把 分解因式结果为 ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了因式分解 运用公式法，正确运用平方差公式和完全平方公式是解题关键．
一十九．因式分解-十字相乘法等
36．（2024春•青山区校级期中）阅读材料：
①用配方法因式分解： ．解：原式 ．
②若 ，利用配方法求 的最小值．
解： ．
， ，
当 时， 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： ．
（2）用配方法因式分解： ．
（3）若 ，求 的最大值．
【分析】（1）根据完全平方公式配方；
（2）按照题干的①计算；
（3）按照题干的②计算．
【解答】解：（1） ，
故答案为：4；
（2）
；
（3）
，当 时， 有最大值3．
【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
二十．实数范围内分解因式
37．（2024春•邵阳期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，这个数 叫做虚数单位．那么形如 ， 为实数）
的数就叫做复数， 叫这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，
乘法运算类似．例如计算： ．
（1）填空： ， ；
（2）计算：① ； ② ；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知： ， ， 为实数），求 ， 的值．
（4）试一试：请你参照 这一知识点，将 为实数）因式分解成两个复数的积．
【分析】（1）根据 ，则 ， ，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现 ，化简为 计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得 ， 的值；
（4）利用平方差公式进行变形处理．
【解答】解：（1） ，
，
，
故答案为： ；2；
（2）① ；
② ；（3） ，
， ，
， ；
（4） ．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信
息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
二十一．因式分解的应用
38．（2024秋•船营区校级月考）已知 ， ， 是△ 的三边长．
（1）若 ， ， 满足 ，则△ 的形状为 ；
（2）若 ， ， 满足 ，试判断△ 的形状；
（3）化简： ．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出 ，进而得出结论；
（2）根据等式的性质，得出 或 或 ，进而得出结论；
（3）利用三角形的三边关系得到 ， ， ，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1） ，
且 ，
，
△ 为等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）△ 为等腰三角形或等边三角形；理由如下：
，
或 ，
或 或 ，
△ 为等腰三角形或等边三角形；
（3） ， ， 是△ 的三边长，， ， ，
．
【点评】此题考查因式分解的应用，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，多项式乘多项式，
三角形三边关系，熟练运用因式分解解决问题是解答本题的关键．
二十二．零指数幂
39．（2024春•遵化市期末）若 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直接利用零指数幂： ，进而得出答案．
【解答】解： 有意义，则 ，
解得： ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
40．（2022秋•龙胜县期中）计算： ．
【分析】由指数幂： ；求 个相同因数积的运算，叫做乘方；除以一个不等于0的数，等于乘
这个数的倒数，由此即可计算．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，关键是掌握混合运算的运算法则．
