文档内容
分课时教学设计
第六课时《实际问题与一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次
方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继
续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模
型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究
体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
学习者分析 大量事实表明学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一
元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系
要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的
能力较弱，这就构成了本节课的难点。
教学目标 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转
化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程.
教学难点 发现实际问题的等量关系
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本 学生思考，回答问题
步骤?
1）审：分清已知未知，明确数量关系；
2）设：设未知数；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
活动意图说明：
先回顾解一元二次方程及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决
问题做好铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
【问题】有一个人患了流感，经过两轮传 学生独立思考，尝试给出答案
染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均
一个人传染了几个人？
【提问1】本题要解决什么问题？（传播
问题）
【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？
（设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解 第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人，
决这个问题吗?
第二轮传染源人数为（x+1）人，被传染人数为
x（x+1）人）
学生独立思考，给出答案。
等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+
第二轮被传染人数=两轮后传染总人数
解设每轮传染中平均一个人传染了x个人
【问题】如果按照这样的传播速度，第三
列方程 1+x+x(1+x) = 121
轮传染过后，总共有多少人得流感？
解方程得x=10，x=-12 （不合题意，舍去）
1 2
答：平均一个人传染了 10 个人
学生独立思考，尝试给出答案。
活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解
的难点就是如何表示每一轮的传染源人数和被传染人数。因此在此设问，以帮助学生理解，让学生
经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
环节三：新知探究
教师活动3： 学生活动3：
【提问】若某人感染流感，假设每轮传染 学生独立思考，回答，教师引导与纠正
中平均一个人传染了x个人，填空：
活动意图说明：通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法。
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
例、某种流感病毒，若有一人患了这种流感， 学生板演，然后师生共同纠错
则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后
患病的人数（用含x的代数式表示）； (1) 解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时
(1+x)人，
隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有
(2)解：设在每轮传染中一人将平均传给x人，
21人吗？
根据题意得：x-1+x(x-1)=21，
整理得：x2-1=21，
解得：x =√22，x =-√22，
1 2∵x ，x 都不是正整数，
1 2
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
活动意图说明：让学生加深对“传播问题”的掌握。
环节五：新知讲解
教师活动5： 学生活动5：
【提问1】什么是下降额？下降率如何计 先由学生回答，最后给出答案
算？
下降额=下降前的量-下降后的量
下降额
下 降 率 = =
下降前的量
下降前的量-下降后的量
下降前的量
【提问2】什么是增长额？增长率如何计
算？
增长额=增长后的量-增长前的量
增长额
增 长 率 = = 学生独立思考，尝试给出答案
增长前的量
增长后的量-增长前的量
增长前的量 甲种药品成本的年平均下降额为
问题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000 （5000-3000）÷2=1000（元），
元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着
乙种药品成本的年平均下降额为
生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成
本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600 （6000-3600）÷2=1200（元）．
元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但是年
平均下降额（元）不等同于年平均下降率
（百分数）。
一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是
多少元？如何表示？
设甲种药品成本的年平均下降率为 x，一
年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年
后甲种药品成本为5000(1-x) 2元．
设乙种药品成本的年平均下降率为 y，一
年后乙种药品成本为6000（1-y）元，两年
学生独立思考，给出答案
后乙种药品成本为6000(1-x) 2元．
等量关系:平均变化率为a，
【提问】本题中的等量关系是什么？你能 变化前的数量×(1+a) 2=变化后的数量
解决这个问题吗?
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x
列方程得5000(1-x) 2=3000
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y
列方程得6000(1-x) 2 =3600
解方程得 x≈0.225，x≈1.775（舍去）．
1 2
答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5%
学生独立思考，给出答案。
【问题】经过计算，你能得出什么结论？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
下降率一定也大吗？
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率 表示
【问题】应怎样全面地比较几个对象的变
化状况？ 相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解
的难点就是如何表示“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系。
因此在此设问，以帮助学生理解。
环节六：新知讲解
教师活动6： 学生活动6：
学生独立思考，尝试给出答案
【问题】要设计一本书的封面，封面长
27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面
长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边
衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边
衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周
边衬的宽度？
上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多
少？如何表示？
封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比
也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm
和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之
1 1
本题中的等量关系是什么？你能解决这个 比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7）
2 2
问题吗?
设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽
均为7y cm，
3
由题意得 (27-18y)(21-14y)= ×27×21
4
6+3√3 6-3√3
解方程得y= ≈0.2，y2= ≈2.8（不
1 4 4
合题
意，舍去）
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的
宽度为1.4cm活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解
的难点就是探究上、下边衬与左、右边衬的宽度比。因此在此设问，以帮助学生理解，通过找
等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力
环节七：典例精析
教师活动7： 学生活动7：
出示问题： 学生思考，给出答案
例、如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的
矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠
解：设水渠的宽应挖 x m .
把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，
水渠应挖多宽？ ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x=105(舍去），x=1
1 2
答：水渠应挖1米宽
活动意图说明：通过列式，提高学生分析和解决问题的能力。
板书设计 列一元二次方程解应用题的步骤：
①审题，明确已知量和未知量，找出等量关系式；
②设未知数，比较不同的未知量，找到最合适的未知量；
③列方程，合理排布等量关系式；
④解方程，利用合适的方法解方程；
⑤检验并写出答案，务必进行验根，并进行回答。
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛
共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至
2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是
（ ）
A．2.7(1+x) 2=2.36 B．2.36(1+x) 2=2.7
C．2.7(1-x) 2=2.36 D．2.36(1-x) 2=2.7
3.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且
与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽
度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．4．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了
301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平
均增长率为x，根据题意，请列出方程________ ．
选做题：
5. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，
另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【综合拓展类作业】
6． “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现
水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到 1200公
斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.电影《长津湖》票房最终突破了57亿元．第一天票房约4.1亿元，三天后票房
累计总收入达14.22亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增
长率设为x．则可列方程为（ ）
A．4.1(1+x)＝14.22 B．4.1(1+x)²＝14.22
C．4.1+4.1(1+x)²＝14.22 D．4.1+4.1(1+x)+4.1(1+x)²＝14.22
2.如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长
相等的小正方形，使它的侧面积为272cm²，则截去的正方形的边长是（ ）A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm
选做题：
1
3.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的 又生长出同
3
样多的小支根，而其余支根生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数
是109个，这种植物的主根长出多少个支根？
【综合拓展类作业】
4.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每
天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售
可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
1）每千克核桃应降价多少元？
2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原
售价的几折出售？
教学反思 本节课抓住了培养方程模型思想的关键问题，通过设置恰当的问题，循序渐进
地培养学生的审题能力和审题习惯，再由学生独立完成同类题，最后小组讨论.通
过辨析研讨、总结提升等手段和途径，进一步激发学生的学习热情，培养他们动脑
和思辨习惯。
本节课还重在使学生经历和体会用各种不同的方法寻找数量关系，突出建立方
程模型的一般方法，强调了问题中的基本数量关系和相等关系。因此，本节课在培
养学生分析问题的能力方面做得非常到位。
我们生活在一个丰富多彩的世界，其中大量问题涉及数量关系的分析，方程是
刻画实际问题中数量关系的一种重要的数学模型.因此，我们的教学要让学生通过
探究活动，经历从实际问题抽象岀方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界中数
量关系的一种有效的数学模型。
