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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.
难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
自 主 学
习
一、知识链接
1.解一元二次方程的四种解法是什么？
2.列方程解应用题的一般步骤是什么？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
想一想 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?
典例精析
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总
数是133，每个支干长出多少小分支?
讨论1 在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？
讨论2 解决这类传播问题有什么经验和方法？
方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．
(2)“设”是指设未知数；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出
含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．
第 1 页 共 4 页例2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多
少个班级参赛？
练一练
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.
【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，
计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行
的场数等于总场数列等量关系.
例3 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.
三、课堂小结
列一元二次方程解应用题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是
的步骤 要检验根的合理性.
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每
次传播数量)
传播问题
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量
×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每
列一元二次方程解应用题
次传播数量)2.
的类型
关键要设数位上的数字，要准确地表示出
数字问题
原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，
握手问题
所以总数要除以2.
互赠照片问 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，
题
故总数不要除以2.
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当堂检
测
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级
一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A. x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D. x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总
数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ）
A. 1+x+x(1+x)=73 B. 1+x+x2=73 C. 1+x2=73 D. (1+x)2=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后
128人患上甲肝，则x的值为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书
发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友
转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益
菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与
原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
第 3 页 共 4 页参考答案
自主学习
知识链接
1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x=10, x=-12（不符
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合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.
想一想 第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.
第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
典例精析
例1 解：设每个支干长出x个小分支，则 1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x=11, x=-12（不合题意，舍去）.
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答：每个支干长出11个小分支.
讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
例2 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间
只比赛一场，故根据题意得 解得x=6, x=-5（舍去）. ∴x=6, 答：共有6个班级参赛．
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练一练 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故
根据题意得 解得x=5, x=-4（舍去）. ∴x=5.答：共有5个人参加聚会．
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【变式题】解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 解得x=9,
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x=-8（舍去）. ∴x=9.答：共有9个班级参赛．
2
例3 解：设这个两位数个位数字为x ，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x=5, x=6.∴x＝5
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时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.
当堂检测
1.D 2.B 3.D 4.10
5. 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得x2-x-12=0,解得x=4, x=-3（舍去）.
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答：初三有4个班.
6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x=19, x=-21（舍去）.∴每个有益
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菌一次分裂出19个有益菌.
（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.
7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，
解得x=2, x=3.当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.
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