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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率问题与一元二次方程
学习目标：1.学会建立数学模型以解决增长率与降低率问题.
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.
难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
自主学习
一、知识链接
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 75分，第二次月考增长了
20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生
产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600元.
哪种药品成本的年平均下降率较大？
注意：下降率不可为负，且不大于1.
典例精析
例1某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价
的百分率.（精确到0.1%）
例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开
学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生 20万人次，第
三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，
求这个增长率.
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
问题 你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？
方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”).
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业
额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
探究点2：营销问题与一元二次方程
合作探究
填空：假设某种商品每件的成本为2元，售价为3元时，可卖100件.
(1)此时的利润w= 元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为 元，同时少卖了10件，销售量为 件，利润w=
元；
(3)若售价涨了2元，每件利润为 元，同时少卖了20件，销售量为 件，利润w=
元；
(4)若售价涨了3元，每件利润为 元，同时少卖了30件，销售量为 件，利润w=
元；
(5)若售价涨了x元，每件利润为 元，同时少卖了 件，销售量为 件，利润w=
元.
想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？
变式训练
假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖
了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖
应涨价多少元？
注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.
例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每
件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫
应降价多少元？
变式训练
增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若
商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
方法归纳： 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤
1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；
3.解方程；
4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.
5.作答.
三、课堂小结
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为
增长率问题
增长次数，b为增长后的量.
平均变化率问题
a(1－x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2
降低率问题 为降低次数，b为降低后的量.注意降低率不可为
负，且不大于1.
营销问题 总利润=单件利润×销量=（售价－进价）×销量
当堂检测
1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方
程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元．若设该校
今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是 x，则可列方程为 .
3.某村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求该村这两年
水稻每公顷产量的年平均增长率.
4.某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，
其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？
5.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大
种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千
克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优
惠？请说明理由.
能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台
设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量 y（台）和销售单价x（万
元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的
月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
参考答案
自主学习
知识链接
75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：平均变化率问题与一元二次方程
探究 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，
两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，
解方程，得x≈0.225， x≈1.775.
1 2
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种
药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，
解方程，得y≈0.225， y≈1.775.
1 2
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同.
典例精析
例1 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 解这个方
程，得 （舍去），
答：每次降价的百分率约为29.3%.
例 2 解：设增长率为 x，根据题意，得 20（1+x）2=24.2.解得 x=-2.1（舍去），
1
x=0.1=10%．
2
答：增长率为10%.
例3 解：设这个增长率为 x.根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整理方程，得
4x2+12x-7=0，这个方程得x=-3.5（舍去），x=0.5=50%．
1 2
答：这个增长率为50%.
探究点2：营销问题与一元二次方程
合作探究 （1）100 （2）2 90 180 （3）3 80 240
（4）4 70 280 （5）(1+x) 10x (100-10x) (1+x)(100-10x)
想一想 解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x=4，x=5.
1 2即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
变式训练
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x=4，x=12.∵售价不高于成本价
1 2
的2.5倍，即x+12≤2.5×8. ∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价4元.
例4 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200， 整理得x2-30x+200=0.
解方程得x=10，x=20.
1 2
答：每件衬衫应降价10元或20元.
变式训练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0. 解方
程得x=10，x=20. 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
1 2
答：每件衬衫应降价20元.
当堂检测
1.B 2.2(1+x)+2(1+x)2=8
3.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得7200(1+x)2=8712，系数化为1得
(1+x)2=1.21.直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则x=0.1= 10%，x=-2.1(舍去).
1 2
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
4.解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000，整理得 x2－40x+300=0， 解得x=10，x=30都符合题意.
1 2
当x=10时，50+x =60，500－10x=400；当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚8000元，售价应定为60元/个，进货400个；或售价定为80元/个，进货200
个.
5.解：（1）设平均每次下调的百分率为 x， 由题意，得5(1－x)2=3.2，解得 x=20%，
1
x=1.8 （舍去）∴平均每次下调的百分率为20%.
2
（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：
3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜
15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
能力提升
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意得 解得
所以y与x的函数关系式为y= -5x+200．
（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得 x2-65x+1026=0．解得 x=27，
1
x=38．
2
∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x=38（舍），所以x=27．
2
答：该设备的销售单价应是27 万元．
