文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.3 实际问题与一元二次方程第3课时，内容包括：利用一元二次方程解决销售问题、图表问题和
动点问题。
2.内容解析
本节课学习如何利用一元二次方程解决销售问题、图表问题和动点问题。与销售问题有关的题目中通
常会出现“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，
注意两个“每次”。销售问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利
润。该类问题的等量关系式一般是：单件利润×销售量=总利润。销售问题中要注意题设中“在顾客得实
惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息。图表信息问题是近几年中考的热
点题型，解决图表信息题的关键是：准确理解图表所提供的信息。以图表形式给出条件，列一元二次方程
解决现实生活中的相关问题是此类考题的一个重要方面。想要解决动点问题，首先要搞清楚图形的变化过
程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求
某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中
的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的
能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2）通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的
过程，提高数学应用意识。
2.目标解析
达成目标1)的标志是：通过审题，根据“销售问题”中每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，
定价的变化又影响单件利润从而根据等量关系构建一元二次方程。根据“图表问题”中图表所提供的信息
构建一元二次方程。根据“动点问题”中图形的变化过程构建一元二次方程。找等量关系，正确列出方程
并求解，从而解决实际问题。
达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。
三、教学问题诊断分析
九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般
步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“销售问题”的困难是：根据每次涨（降）价，会引起定
价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润从而根据等量关系构建一元二次方程，再结合题设中“在顾
客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句选择合适的答案。学生解决“图表问题”的困难是：准确理
解图表所提供的信息。学生解决“动点问题”的困难是：搞清楚图形的变化过程。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?
师生活动：教师提问，学生回答。
【设计意图】先回顾列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决销售
问题、图表问题、动点问题做好铺垫。
（二）探究新知
【问题】九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。
1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他每卖1斤黄瓜可
以赚到 元；
2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是 元。
3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得_____________元。
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。
【提问】根据上述问题，你能售价、进价、利润、支出之间存在的关系吗?
1）单件售价-单件进价=单件利润
2）单件利润×销量=总利润
3）总利润-支出=实际利润（或：销售总额-成本总额-支出=实际利润)
师：你们知道与销售问题有关的其它等量关系吗？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师负责引导与补充，最后给出其它等量关系：
商品利润
4）利润率= ×100%
商品进价
折扣数
5）商品售价=标价×
10
6）商品售价=商品进价×(1+利润率)【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系，以及与销售问题
有关的其它等量关系，为接下来学习利用一元二次方程解决销售问题打好基础。
【问题】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，
尽快减小库存，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出
2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问1】如果设衬衫单价应降x元，根据题目信息补充表格
答案：
【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示降价后衬衫的单件利润和销量。因此在此设问，以帮
助学生理解。
【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
等量关系: 单件利润（降价后）×销量（降价后）=总利润
设衬衫单价应降x元
由题意得(40-x)(20+2x)=1200
解方程得x=20，x=10（舍去）
1 2
答：衬衫的单价降了20元
【提问3】站在商家角度你觉得如何降价合适？
为了尽快减小库存，所以降价幅度越大越好，因此x=20
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再
提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问1】如果设应按每件 x 元出售，根据题目信息补充表格答案：
【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示提价后 服装的单件利润和销量。因此在此设问，以帮
助学生理解。
【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
等量关系: 单件利润（提价后）×销量（提价后）=总利润
设应按每件 x 元出售
由题意得（x-50）[ 800-20（x-60）]=12000
解方程得x=70，x=80
1 2
当x=70时，50 ×（800-20 ×10）=30000>24000 舍去
当x=80时，50 ×（800-20 ×20）=20000<24000
答：应按每件 80 元出售，进货数量400件
【易错点】忽略了题干中给出的 进货成本不超过 2400 0 元 的条件。
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：
【提问3】如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
师生活动：学生独立思考，给出答案。
设提价x元
由题意得(10+x)(800-20x)=12000
解方程得x=10，x=20
1 2
当x=10时，50 ×（800-20 ×10）=30000>24000 舍去
当x=20时，50 ×（800-20 ×20）=20000<24000
当x=20时,60+x=60+20=80 元答：应按每件 80 元出售，进货数量400件
【设计意图】通过换一种设未知数的方法，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的
能力。
（三）典例分析
例1 某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可
生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加 2元，每天的产量将减少4件．设该
产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；
2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值。
【解析】解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，
每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，
整理得：-8x2+128x+640=1080，
解得：x=5，x=11，
1 2
∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5，
答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
1．李华网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20副，每个盈利40元，若每副降价1元，则
每天可多销售5副.如果每天要盈利1700元，每副应降价______元(要求每个降价幅度不超过15元)
【详解】解：设每副羽毛球拍降价x元，
由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，
整理得：x2-36x+180=0，
解方程得：x=6，x=30，
1 2
因为 每副降价幅度不超过15元，
所以 x=6符合题意，故答案是：6．
2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要
想平均每天获利2240元，请回答：
1）每千克核桃应降价多少元？
2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【详解】解：1）设每千克核桃应降价x元
x
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
2
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x=4，x=6.
1 2
答：每千克核桃应降价4元或6元.
2）由1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
54
此时，售价为：60﹣6=54（元）， ×100%=90%
60
答：该店应按原售价的九折出售．
【设计意图】检测“销售问题”的掌握情况。
（四）探究新知
【问题】某公司组织一批员工到龙湾风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的
人数吗？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可
提出如下提示性问题：
【提问1】公司支付给旅行社28000元，说明了什么？
参加这次旅游人数大于30人
【提问2】设参加旅游人数共有x人，你用含x的代数式表示人均收费吗？
[800-10（x-30）] 元
【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示人均消费。因此在此设问，以帮助学生理解。
【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?
师生活动：学生独立思考，给出答案。
等量关系: 参加旅游人数×人均消费=支付总额
解：设参加旅游人数共有x人，
∵800×30=24000<28000，∴参加人数x>30,
根据题意，得x× [800-10（x-30）]=28000.
整理，得x2−110x+2800=0
解得，x=40，x=70
1 2
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700>500当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400<500（不符合题意，舍去）
答：参加人数共有40人
【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
【问题】为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单
x
元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 元交费．
100
1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式
子表示）．
2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
根据上表数据，求该x吨是多少？
【详解】
x
解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费 （80-x）元；
100
（2）根据表格提供的数据，可以知道x≥50，根据9月份用水情况
x
可以列出方程：10+ （85-x）=25
100
解得，x=60，x=25因为x≥50，所以x=60
1 2
答：该水厂规定的x吨是60吨．师生活动：学生独立思考，给出答案。
师生活动：学生独立思考，给出答案。
（五）典例分析
例2 某市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车
打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?
【详解】
22 25
由题意，可列出方程N+(6−3)· +(11−6) =29.1
N N整理得N2—29.1N+191=0．
解方程得N=10，N=19.1（不合题意舍去）
1 2
答：起步价是10元．
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
某风景区的旅游信息如下：
【解析】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，
解得：x=40，x=70．
1 2
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【设计意图】检测“图表问题”的掌握情况。
（六）新知讲解
【问题】如图，在矩形 ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以
1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几
秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？
师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示
性问题：
【提问1】设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度如何用含x
的代数式表示？
AP、PB、BQ、QC的长度分别为x、6-x、2x、12-2x
【提问2】Rt △DAP 、 Rt △PBQ、 Rt △QCD的面积如何用含x的代数式表示。
1
设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则S = ×x×12 ，
△APD
21 1
S = ×2x×(6−x) S = ×6×(12−2x)
△PBQ ， △DCQ
2 2
【设计意图】学生解题的难点就是如何先用含未知数的式子表示AP、PB、BQ、QC的长度，再通过含未
知数的式子表示Rt △DAP 、 Rt △PBQ、 Rt △QCD的面积。因此在此设问，以帮助学生理解。
【提问3】你能解决这个问题吗？
设x s后△DPQ的面积等于28cm2，
1 1 1
根据题意得： ×x×12+ ×2x×(6−x)+ ×6×(12−2x)+28=72
2 2 2
解这个方程得，x2−6x+8=0
x=2，x=4
1 2
答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2
【设计意图】让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。
（七）典例分析
例3 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P
以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点
之间的距离是10cm？
【解析】设经过x s时间P、Q两点之间的距离是10cm。
由题意得
(16−5x) 2+62=102
解方程得x=1.6，x=4.8
1 2
答：1.6s或4.8s后P、Q距离是10cm
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以
3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。
1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？
2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
【解析】1）x=2时，由运动可知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ= ,
❑√PE2+EQ2=6❑√2
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6❑√2 cm；
2）x=4时，由运动知AP′＝3×4＝12 cm，CQ′＝2×4＝8 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴P′E＝AD＝6
P′B=CE=AB-AP′=16-12=4
∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，
根据勾股定理得P′Q′= ,
❑√P'E2+EQ'2=2❑√13
∴当x＝4 s时，P，Q两点的距离为2❑√13cm；
【设计意图】检测“动点问题”的掌握情况。
（八）直击中考
1．（2021·山东日照真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格
销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（
00）元，
则每千克的利润为：(38−22−x)元，销售量为：(160+40x)千克，
根据题意得(16−x)(160+40x)=3640
解方程得x=3或x=9，
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=9
即售价为38−9=29（元）
答：该水果的销售价为每千克29元．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考查内容，进一步了解考点。
（九）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？
2. 你知道解决“销售问题” 、“图表问题” 、“动点问题” 的关键步骤是什么？
（十）布置作业
1．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有1200个座位，如果票价定为
每张100元，那么门票可以全部售出如果票价每增加 1元，那么门票就减少 2张，要使得门票收入为
245000元，票价应该定为多少元？
2．某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱。经市场
调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿
泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
3.如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当
△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间．
五、教学反思
