文档内容
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
自主学
习
一、知识链接
用长为60m的篱笆围一个矩形的菜园.宽AD为xm.用含x的代数式填空：
（1）如图①，AB=_________m,S =___________;
矩形ABCD
（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S =___________;
矩形ABCD
（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S =______.
矩形ABCD
C
D
A B
图① 图② 图③
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果
要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬
的宽度？(精确到0.1cm)
方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系.
如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
典例精析
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？
【变式题1】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积
为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
第 1 页 共 5 页【变式题2】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积
为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题3】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积
为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题4】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽
度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方
程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊
圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈
的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建
筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪
舍面积为80平方米？
方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x表示出来，最后根据面积公
式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
三、课堂小结
几何图形与 几何图形 常见几何图形面积是等量关系
一元二次方
程问题 类型 课本封面问题 常采用图形平移能聚零为整方
第 2 页 共 5 页彩条/小路宽度问题
便列方程
动点面积问题
当堂检
测
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使
整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x－1400=0
B．x2+65x－350=0
C．x2－130x－1400=0
D．x2－65x－350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做
成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，
若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；
同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.
问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm²？
参考答案
自主学习
知识链接
(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x)
第 3 页 共 5 页课堂探究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：
设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的
矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形
的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程 整理得16x2-48x+9=0，
解方程得 （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为 左右边衬
的宽度为
典例精析
例1 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x=2，x=50.当x=50时，32-
1 2
x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x=2，x=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，
1 2
舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x=2，x=50（不合题意，舍去）.∴x=2.
1 2
答：道路的宽为2米.
【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x=18- ，x=18+
1 2
（不合题意，舍去）.∴x≈1.45.
答：道路的宽为1.45米.
【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x=1，x=25（不合题意，舍去）.
1 2
∴x=1.
答：道路的宽为1米.
【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程(32-4x)(20-6x)= 解得 x=
1
，x= （不合题意，舍去）.∴x≈0.62.则3x≈1.86,2x≈1.24.
2
答：横、竖小路的宽度分别为1.86米、1.24米.
例2 解：设AB长是x m.依题意得 (58-2x)x=200，即x2-29x+100=0，解得x=25，x=4.x=25时，58-2x=8，x=4时，
1 2
58-2x=50.
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
【变式题1】 解：设AB长是x m.依题意得(80-2x)x=600，即x2-40x+300=0，解得x=10，x=30.x=10时，80-
1 2
2x=60>25，(舍去)，x=30时，80-2x=20<25.
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
【变式题2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.由题意得
x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得x=5，x=8.当x=5时，26-2x=16>12 (舍去），当x=8时，26-
1 2
第 4 页 共 5 页2x=10<12，故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
当堂检测
1.B
2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x-10)(x-10)=3000，即x2-15x-250=0.
解得 x=25，x=-10(舍去）.所以 2x=50.
1 2
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3. 解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得 (20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得
（舍去）. .
答：横向彩条的宽度 cm ,竖彩条的宽度 cm.
能力提升
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² ,根据题意得AP= xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm.依题意得
，整理，得x2-6x+9=0，解得x= x=3.
1 2
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
第 5 页 共 5 页
