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第3课时 几何图形与一元二次方程
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．
一、情境导入
如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的
图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决图形面积问题
【类型一】利用面积构造一元二次方程模型
用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长
为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出
方程得：x(5－x)＝6，故选择B.
方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系
列出方程．
现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小
正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．
解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，
再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．
解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是
(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)
(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x＝55，x＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．
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∴小正方形的边长为15cm.
方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解
题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．
1 ..【类型二】整体法构造一元二次方程模型
如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直
的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．
设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为
(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝
300.
解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.
方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系
建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求
解．
【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向
点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一
半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程
求解．
解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则
根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x＝2，x＝4.所以P、
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Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得(6－x)·2x
＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等
于△ABC面积一半的时刻．
三、板书设计
2 ..与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分
割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形
进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.
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