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专题 21.3 实际问题与一元二次方程
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的应用--传播问题】................................................................................................1
【考点二 一元二次方程的应用--增长率问题】............................................................................................3
【考点三 一元二次方程的应用--与图形有关的问题】................................................................................5
【考点四 一元二次方程的应用--数字问题】................................................................................................7
【考点五 一元二次方程的应用--营销问题】................................................................................................9
【考点六 一元二次方程的应用--动态几何问题】......................................................................................11
【考点七 一元二次方程的应用--工程问题】..............................................................................................15
【考点八 一元二次方程的应用--行程问题】..............................................................................................16
【考点九 一元二次方程的应用--图表信息问题】......................................................................................18
【过关检测】...................................................................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的应用--传播问题】
【例题1】（2023·陕西西安·统考三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某
办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有 人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，
平均一人会传染给几个人？
【变式1-1】（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所
有人共握手10次，有多少人参加活动？设有 人参加活动，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒 人感染后，经过两轮传播，共有 人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 ，这样第三轮传播后感染的人数只
是第二轮传播后感染人数的 倍，求 的值．
【考点二 一元二次方程的应用--增长率问题】
【例题2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）某公司5月份的营业额为 万，7月份的营业额
为 万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
【变式2-1】（2023·湖南长沙·校考二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读
凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为 万元，2022
年数字阅读市场规模为 万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【变式2-2】（2023·全国·九年级假期作业）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村
优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售 袋，八、九月该商品十分畅销，销售
量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到 袋．
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 元，销售量可增加 袋，当农产品每袋降价
多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价 元，原售价为每袋 元）
【考点三 一元二次方程的应用--与图形有关的问题】
【例题3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方
形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），
剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为____米．【变式3-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．
该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场 ，其中 和 两边借助墙体且不超出墙体，其余部
分用 总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在 和 边上各留1米宽的门．设 长x米．
(1)求 的长度(用含x的代数式表示)．
(2)若饲养场 的面积为180平方米，求x的值．
【变式3-2】（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ，墙可利用的
最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求 的长；
(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求 的长；如果不能，请说明理由．
【考点四 一元二次方程的应用--数字问题】
【例题4】（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大
3，则这个两位数是（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．64
【变式4-1】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得方程________．
【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数
字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【考点五 一元二次方程的应用--营销问题】
【例题5】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5
元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减
少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【变式5-1】（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40
元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价 元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少
元？
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽
车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽
车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款
汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划
下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【考点六 一元二次方程的应用--动态几何问题】
【例题6】（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在 中，
，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为 /秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，
的面积为 ？
【变式6-1】（2023春·上海·八年级专题练习）等腰 中， ，动点 从点 出发，
沿 向点 移动，通过点 引平行于 、 的直线与 、 分别交于点 、 ，问： 等于多少
厘米时，平行四边形 的面积等于 ．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）等边 ，边长为 ，点P从点C出发以 向点B运动，
同时点Q以 向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ，
(1)求当 为直角三角形时的时间 ；
(2) 的面积能否为 ，若存在求时间 ，若不存在请说明理由．【考点七 一元二次方程的应用--工程问题】
【例题7】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行
施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产
口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线
减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【考点八 一元二次方程的应用--行程问题】
【例题8】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行
率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地
点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【变式8-1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地
点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．【变式8-2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、
走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长
跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两
人同时从 地出发，匀速跑向距离 处的 地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明
比小齐早5分钟到达 地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从 地到达 地后，小明以跑步形式继续前进到 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从 地到 地锻炼共用多少分
钟．
【考点九 一元二次方程的应用--图表信息问题】
【例题9】（2023春·浙江·八年级专题练习）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向
的数．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）当 时，求 的值．【过关检测】
一、选择题
1．（2023·全国·九年级假期作业）目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市 年底有 用
户 万户，计划到 年底全市 用户数达到 万户．设全市 用户数年平均增长率为 ，则可列方
程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级假期作业）某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，
设有 支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·九年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了 ，这个正方形的
边长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
4．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
5．（2023·全国·九年级假期作业）如图，在一块长 ，宽 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相
等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为 ，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023·江苏·九年级假期作业）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为 ___．
7．（2023·全国·九年级假期作业）用一条长为 的铁丝围成一个斜边长为 的直角三角形，则这个
直角三角形的面积为____ ．
8．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以 的速度竖直上抛，
那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为 ．根据上述规律，则物体经过_____秒落回地面．
9．（2023·湖南常德·统考三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经
过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低______元时，
该商店销售这种商品每天的利润为800元．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿
以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 以每秒2个单位长度的速度向点C
运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当 秒时，线段 __．
（2）当 __秒时， 的面积是24．三、解答题
11．（2023春·上海·八年级专题练习）有一块长x米，宽120米 的长方形，投资方计划将它分成甲
乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200平方米，
求x的值．
12．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增
加到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
13．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠
墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，请说明理由．14．（2023·广东阳江·统考一模）自 年 月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区
有 位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有 人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过 人患了甲流？
15．（2023·广东深圳·统考二模）买入奉节脐橙、赣南脐橙， 奉节脐橙买入价比 赣南脐橙买入价低
4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)上周以14元 卖出奉节脐橙 、24元 卖出赣南脐橙 ；本周以上周相同的价买入这两种
脐橙，奉节脐橙卖出价降低 元，结果奉节脐橙比上周多卖出 ，赣南脐橙比上周少卖出 ，
全部售完后共获利2280元，求m的值．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3
元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40
万元．
(1)求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
(2)粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预
计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ，由于粮食品质的提升，水稻的售价每
千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了 ，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收人将
比去年增加 ，求 的值．17．（2023春·浙江·八年级阶段练习）去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10
月份共卖出400套，12月份共卖出576套．
(1)求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
(2)若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月
份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不
变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以
多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
18．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）凌云文具店从工厂购进 、 两款冰墩墩钥匙扣，进货
价和销售价如表：（注：利润 销售价 进货价）
类别
款钥匙扣 款钥匙扣
价格
进货价（元/件）
销售价（元/件）
(1)该文具店第一次用 元购进 、 两款钥匙扣共 件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进 、 两款冰墩墩钥匙扣共 件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于 元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)文具店打算把 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售 件．经调查发现，每降价 元，
平均每天可多售 件，将销售价定为每件多少元时，才能使 款钥匙扣平均每天销售利润为 元？
