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专题 21.3 实际问题与一元二次方程
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的应用--传播问题】................................................................................................1
【考点二 一元二次方程的应用--增长率问题】............................................................................................3
【考点三 一元二次方程的应用--与图形有关的问题】................................................................................5
【考点四 一元二次方程的应用--数字问题】................................................................................................7
【考点五 一元二次方程的应用--营销问题】................................................................................................9
【考点六 一元二次方程的应用--动态几何问题】......................................................................................11
【考点七 一元二次方程的应用--工程问题】..............................................................................................15
【考点八 一元二次方程的应用--行程问题】..............................................................................................16
【考点九 一元二次方程的应用--图表信息问题】......................................................................................18
【过关检测】...................................................................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的应用--传播问题】
【例题1】（2023·陕西西安·统考三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某
办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有 人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，
平均一人会传染给几个人？
【答案】在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人
【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人，则第一轮传染中有 人被传染，第二轮传染中
有 人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论．
【详解】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人，则第一轮传染中有 人被传染，第二轮传
染中有 人被传染，根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， 不符合题意，舍去 ．
答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所
有人共握手10次，有多少人参加活动？设有 人参加活动，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设有 人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为 次，并且每个人与其他人握手均重复
一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为 次，并且每个人与其他人握手均重
复一次，由此可得：
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒 人感染后，
经过两轮传播，共有 人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 ，这样第三轮传播后感染的人数只
是第二轮传播后感染人数的 倍，求 的值．
【答案】(1) 人
(2)
【分析】（1）设平均每人每轮感染 人，开始是 个人，则第一轮感染 人，第二轮感染 人，根据
经过两轮传播，共有 人感染，得出关于 的方程，解方程即可得出结果；
（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的 可知，第三轮的传染人数为 ，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的 倍列出关于 的方程求解即可．
【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染 人，
根据题意得， ，
解得 ， （舍去），
答：平均每人每轮感染 人；
（2）依题意得： ，
解得 ，
答： 的值为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键．
【考点二 一元二次方程的应用--增长率问题】
【例题2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）某公司5月份的营业额为 万，7月份的营业额
为 万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
【答案】
【分析】设平均每月的增长率为 ，根据5月份的营业额为 万元，7月份的营业额为 万元，表示出7
月的营业额，即可列出方程解答．
【详解】解：设平均每月的增长率为 ，
由题意得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于 的一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2023·湖南长沙·校考二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读
凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为 万元，2022
年数字阅读市场规模为 万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【答案】(1)(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是 万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为 ，利用2022年该市数字阅
读市场规模 年该市数字阅读市场规模
，即可得出关于 的一元二次方程，解之取
其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模 年该市数字阅读市场规模
，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
根据题意得：
解得： ， （不符合题意，舍去）
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
（2） （万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是 万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【变式2-2】（2023·全国·九年级假期作业）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村
优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售 袋，八、九月该商品十分畅销，销售
量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到 袋．
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 元，销售量可增加 袋，当农产品每袋降价
多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价 元，原售价为每袋 元）
【答案】(1)八、九这两个月的月平均增长率为
(2)当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元
【分析】（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量 九月的销量进而求出答案；
（2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润 销量 总利润列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x，由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：八、九这两个月的月平均增长率为 ．
（2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，
根据题意可得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．
【考点三 一元二次方程的应用--与图形有关的问题】
【例题3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方
形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），
剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为____米．
【答案】1
【分析】设小道的宽为 米，则剩下部分可合成长为 米，宽为 米的长方形，根据“剩下部分
种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即
可得出结论．
【详解】解：设小道的宽为 米，则剩下部分可合成长为 米，宽为 米的长方形，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
小道的宽为1米．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．
该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场 ，其中 和 两边借助墙体且不超出墙体，其余部
分用 总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在 和 边上各留1米宽的门．设 长x米．
(1)求 的长度(用含x的代数式表示)．
(2)若饲养场 的面积为180平方米，求x的值．
【答案】(1) 米
(2) 米．
【分析】（1）由 得 ，再由
即可得出答案；
（2）根据矩形的面积等于长×宽建立方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：如图，
∴
∴ 即 长度为 米．
（2）解：由题意知，
解得，
又∵ ，且
∴ ，
∴ 米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的求解及一元一次不等组的求解；根据实际情
境确定变量的取值范围，对方程解作合理取舍是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ，墙可利用的
最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求 的长；
(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求 的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)BC的长为4米
(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析
【分析】（1）设 的长度为x米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．
【详解】（1）解：设 的长度为x米，则 的长度为 米，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
∵ ，
∴ 舍去．
答： 的长为4米．
（2）不能围成，理由如下：
当 时，
整理得，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为75平方米的花圃．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【考点四 一元二次方程的应用--数字问题】
【例题4】（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大
3，则这个两位数是（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．64
【答案】C
【分析】设十位数字为 ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为 ，则个位数字为 ．
依题意得： ，
解得: .
∴ 这个两位数为25或36．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可
得方程________．
【答案】 或
【分析】已知设其中的一个奇数为 ，且设其中的一个奇数为 ，分两种情况讨论：若 为较小的奇数，
则另一个奇数为 ，即可列出方程 ；若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，即可
列出方程 ，即可正确解答．
【详解】①若 为较小的奇数，则另一个奇数为 ，
∵两个连续奇数的积为323，
∴ ；
②若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，
∴ ；
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题
的关键．
【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数
字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为 ，根据“个位数字与十位数字的乘积
等于72，”列出方程，即可求解．
【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
∴ ．
故答案为：98
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
【考点五 一元二次方程的应用--营销问题】
【例题5】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5
元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减
少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】每千克水果应涨价5元
【分析】设每千克应涨价 元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，
求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价 元，由题意列方程得：
，
解得： 或 ，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
答：每千克水果应涨价5元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式5-1】（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40
元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价 元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少
元？
【答案】(1)
(2)2元
【分析】（1）设每次降价的百分率为 ，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每件商品应降价 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为 ，由题意，得
，
（不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，两次下降的百分率为 ；
（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 元，由题意，得
，
解得： ．
答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽
车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽
车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款
汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划
下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为
(2)下调后每辆汽车的售价为21万元
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程
，进而问题可求解；（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为 辆，然后可得方程为
，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能
源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 ．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：
解得： ，
∵尽量让利于顾客，
∴ ；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【考点六 一元二次方程的应用--动态几何问题】
【例题6】（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在 中，
，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为
/秒，点N的速度为 /秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，
的面积为 ？
【答案】2秒【分析】设经过x秒钟后， 的面积为 ，则 ，据此
利用三角形面积公式建立方程求解即可.
【详解】解：设经过x秒钟后， 的面积为 ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ 舍去，即 ．
答：经过2秒， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题
的关键．
【变式6-1】（2023春·上海·八年级专题练习）等腰 中， ，动点 从点 出发，
沿 向点 移动，通过点 引平行于 、 的直线与 、 分别交于点 、 ，问： 等于多少
厘米时，平行四边形 的面积等于 ．
【答案】
【分析】设 ，则 ，由题意可知 和 均为等腰直角三角形，利用平行四
边形面积公式求解出 的值即可．
【详解】设 ，则 ，由题意可知 和 均为等腰直角三角形， 的面
积等于 ，
依题意可得 ，解得： ，即 长为 ．
故 长为 时，平行四边形 的面积等于 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出 是解
答本题的关键．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）等边 ，边长为 ，点P从点C出发以 向点B运动，
同时点Q以 向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ，
(1)求当 为直角三角形时的时间 ；
(2) 的面积能否为 ，若存在求时间 ，若不存在请说明理由．
【答案】(1) 或者
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意有 ， ，即 ，即可得 ，分当 为直角
三角形,且 时和当 为直角三角形,且 时，两种情况讨论，根据含 角的直角
三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）过Q点作 于点M，先求出 ，即有 ，进而有
，即 ，令
，可得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意有 ， ，即 ，∵ ，
∴ ，
当 为直角三角形,且 时，如图，
∵等边 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 为直角三角形,且 时，如图，
∵等边 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；即t的值为 或者 ；
（2）存在，理由如下：
过Q点作 于点M，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，或者 ，
∵ ，
∴ ，
即t的值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次
方程的应用等知识，明确题意，根据含 角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．
【考点七 一元二次方程的应用--工程问题】【例题7】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行
施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1) 型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2) 的值为10
【分析】（1）设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“ 型设备铺设的路面长度 型设备铺设的路面长度 ”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，
根据题意得，
，
解得： ，
则 ，
答： 型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得， ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产
口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1） ；（2）12或36
【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是： 个/天
故答案为： ；
（2）根据题意，得：
或
∴即该工厂引进了12或36条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完
成求解．
【考点八 一元二次方程的应用--行程问题】
【例题8】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行
率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地
点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股定理
即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入 中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，
依题意得： ，
整理得： ，解得： （不合题意，舍去），
∴ ．
故乙走的步数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【变式8-1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地
点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
【答案】
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股定理
即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 值，将其正值代入 中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，则
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，即甲走的步数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【变式8-2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、
走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长
跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两
人同时从 地出发，匀速跑向距离 处的 地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明
比小齐早5分钟到达 地．根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从 地到达 地后，小明以跑步形式继续前进到 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从 地到 地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解也符合题意，
则 ，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小明从 地到 地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【考点九 一元二次方程的应用--图表信息问题】
【例题9】（2023春·浙江·八年级专题练习）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有 人，由 可得出 ，根据总价 单价 人数，即可
得出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x=40，x=70．
1 2
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向
的数．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） 或
【分析】（1）根据题意可得： ，然后求解一元二次方程即可；
（2）根据题中计算图可得： ， 由 ，代入化简可得： ，求解方
程，然后代入 即可得．
【详解】解：（1）由题意可得： ，
，
则 或 ，
解得 或 ；
（2）由题意得： ，，
，
整理得： ，
，
∴
则 或 ，
解得 或 ，
或 ．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出 与 之间关系是解题关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·全国·九年级假期作业）目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市 年底有 用
户 万户，计划到 年底全市 用户数达到 万户．设全市 用户数年平均增长率为 ，则可列方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据增长率的计算方法，列方程即可求解．
【详解】解： 年底有 用户 万户， 年底全市 用户数达到 万户，
∴时间是 （年），
设全市 用户数年平均增长率为 ，
∴列方程为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的应用，掌握增长率的计算方法，一元二次方程的实际运用
是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有 支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有 支球队参加比赛，每支球队都要和其他 支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能
算作一场，由此列出不等式即可．
【详解】解：设有 支球队参加比赛，
由题意得， ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了 ，这个正方形的
边长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【分析】设这个正方形原来的边长为x，根据题意，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：设这个正方形原来的边长为x，则
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【答案】A
【分析】根据题意设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，根据每日的总利润 每件商品的
利润 每日的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合 即可确定
的值．【详解】解：设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级假期作业）如图，在一块长 ，宽 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相
等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为 ，那么水渠应挖
多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为 即可列出
方程．
【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为 ，宽为 ，
6个矩形小块的面积和为 ，．
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成
的大矩形的长和宽．
二、填空题
6．（2023·江苏·九年级假期作业）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为 ___．
【答案】6或-5
【分析】设这个数为x，根据题意，列出一元二次方程，进而即可求解．
【详解】解：设这个数为x，
根据题意得：x2-30=x，
解得：x=6或x=-5，
故答案是：6或-5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据题意，列出方程是解题的关键．
7．（2023·全国·九年级假期作业）用一条长为 的铁丝围成一个斜边长为 的直角三角形，则这个
直角三角形的面积为____ ．
【答案】
【分析】设一条直角边长为 ，则另一条直角边长为 ，根据勾股定理可列出关于x的等
式，解出x的值，再根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设一条直角边长为 ，则另一条直角边长为 ，
根据勾股定理得： ，
解得： ， ，
两直角边长分别为 和 ，
直角三角形的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理．根据勾股定理列出一元二次方程是解题关键．
8．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以 的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为 ．根据上述规律，则物体经过_____秒落回地面．
【答案】 /
【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说 为0，建立方程求得答案即可．
【详解】解： ，
落回地面时 ，
∴ ，
解得： 或 ，
因为时间为零时未扔出，所以舍去．
答：物体经过 秒回落地面．
故答案为： ．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
9．（2023·湖南常德·统考三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经
过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低______元时，
该商店销售这种商品每天的利润为800元．
【答案】10
【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润 单件利润 销
售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
由题意得， ，
整理得： ，
解得 ，
∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿
以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 以每秒2个单位长度的速度向点C
运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．（1）当 秒时，线段 __．
（2）当 __秒时， 的面积是24．
【答案】 20 2或3/3或2
【分析】（1）当 秒时，根据题意可得， ，再根据勾股定理即可求解．
（2）设运动时间为 秒，则 ， ，根据 的面积是24列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵当 秒时， ，
根据勾股定理得 ．
故答案为：20．
（2）设运动时间为 秒，
此时， ， ，
∵ 的面积是24，
∴ ，
整理得， ，
解得： ，
∴当 秒或3秒时， 的面积是24．
故答案为：2或3．
【点睛】本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方程是
解题关键．
三、解答题11．（2023春·上海·八年级专题练习）有一块长x米，宽120米 的长方形，投资方计划将它分成甲
乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200平方米，
求x的值．
【答案】160或200
【分析】根据题意列一元二次方程，求解即可得到答案．
【详解】解：依题意得，丙地的长为 米，宽为 米，
，
整理得 ，
解得： ， ，
的值为160或200．
【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意表示出丙地的长和宽，正确列方程是解题关键．
12．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增
加到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
【答案】(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%
(2)按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得 ，解方程；（2）基
期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．
【详解】（1）解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：，
解得 （舍去）， ．
答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%．
（2） （万人）．
答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．
13．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠
墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15米
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）设边 的长为 米，则 米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求
解即可获得答案；
（2）由（1）可得 ，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【详解】（1）解：设边 的长为 米，则 米，
根据题意可得 ，
解得 ， ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当 时， （米），不合题意，
∴ 米．
答：边 的长为15米；（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 ，
整理，得 ，
∵ ，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
14．（2023·广东阳江·统考一模）自 年 月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区
有 位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有 人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过 人患了甲流？
【答案】(1) 人
(2)不超过
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染 人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染 人，进而得到三轮后患病总人数为 即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染 人．
根据题意得 ，
解得 ，或 ，
∵ ，
∴ ，
答：每轮感染中平均一个人传染 人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为 ，
∵ ，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过 人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
15．（2023·广东深圳·统考二模）买入奉节脐橙、赣南脐橙， 奉节脐橙买入价比 赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)上周以14元 卖出奉节脐橙 、24元 卖出赣南脐橙 ；本周以上周相同的价买入这两种
脐橙，奉节脐橙卖出价降低 元，结果奉节脐橙比上周多卖出 ，赣南脐橙比上周少卖出 ，
全部售完后共获利2280元，求m的值．
【答案】(1)奉节脐橙的买入价为8元，赣南脐橙的买入价为12元
(2)10
【分析】（1）设奉节脐橙的买入价为 元，则赣南脐橙的买入价为 元，由题意：用240元买入奉节
脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）利用总利润 每千克的利润 销售数量，结合该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，列
出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设奉节脐橙的买入价为 元，则赣南脐橙的买入价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：奉节脐橙的买入价为8元，赣南脐橙的买入价为12元；
（2）由题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
答： 的值为10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3
元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40万元．
(1)求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
(2)粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预
计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ，由于粮食品质的提升，水稻的售价每
千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了 ，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收人将
比去年增加 ，求 的值．
【答案】(1)该村去年水稻平均亩产量为500千克，玉米的平均亩产量为400千克
(2)
【分析】（1）设该村去年水稻平均亩产量为x千克，则玉米的平均亩产量为 千克，然后根据题意
可列方程进行求解；
（2）根据题意可得水稻、玉米的平均亩产量分别为 、 ，水稻和玉米的售价分别
为 元、 元，然后可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设该村去年水稻平均亩产量为x千克，则玉米的平均亩产量为 千克，由题意得：
，
解得： ，
∴ ，
答：该村去年水稻平均亩产量为500千克，玉米的平均亩产量为400千克
（2）解：由题意得：
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）；
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的等量关系．
17．（2023春·浙江·八年级阶段练习）去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10
月份共卖出400套，12月份共卖出576套．(1)求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
(2)若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月
份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不
变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以
多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据增长率问题的数量关系列一元二次方程求解即可；
（2）①用含有 的代数式分别表示甲，乙，丙品牌的收入，再相加即可；②根据总收入为 元列方
程求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为
解得： （舍去）
∵
答：该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率为 ．
（2）①解：甲品牌收入： 元
乙品牌收入： 元
丙品牌收入： 元
∴该服饰公司1月份的总收入为：
元
②解：由题意得：解得： （舍去）
答：将丙品牌内衣价格下降10元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元
【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题以及收入问题，熟练掌握增长率问题和收入问题的数量
关系是解决本题的关键．
18．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）凌云文具店从工厂购进 、 两款冰墩墩钥匙扣，进货
价和销售价如表：（注：利润 销售价 进货价）
类别
款钥匙扣 款钥匙扣
价格
进货价（元/件）
销售价（元/件）
(1)该文具店第一次用 元购进 、 两款钥匙扣共 件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进 、 两款冰墩墩钥匙扣共 件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于 元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)文具店打算把 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售 件．经调查发现，每降价 元，
平均每天可多售 件，将销售价定为每件多少元时，才能使 款钥匙扣平均每天销售利润为 元？
【答案】(1)购进 款钥匙扣 件， 款钥匙扣 件
(2)当购进 件 款钥匙扣， 件 款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 元．
(3)将销售价定为每件 元或 元时，才能使 款钥匙扣平均每天销售利润为 元
【分析】（1）设购进 款钥匙扣 件， 款钥匙扣 件，利用总价 单价 数量，结合该网店第一次用
元购进 、 两款钥匙扣共 件，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进 件 款钥匙扣，则购进 件 款钥匙扣，利用总价 单价 数量，结合总价不超过
元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，设再次购进的 、 两款冰墩
墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 元，利用总利润 每件的销售利润 销售数量，即可得出 关于
的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设 款钥匙扣的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，平均每天可售出 件，利用
平均每天销售 款钥匙扣获得的总利润 每件的销售利润 平均每天的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设购进 款钥匙扣 件， 款钥匙扣 件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进 款钥匙扣 件， 款钥匙扣 件．
（2）设购进 件 款钥匙扣，则购进 件 款钥匙扣，
依题意得： ，
解得： ．
设再次购进的 、 两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 元，则
．
，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值 ，此时 ．
答：当购进 件 款钥匙扣， 件 款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 元．
（3）设 款钥匙扣的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，平均每天可售出
件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：将销售价定为每件 元或 元时，才能使 款钥匙扣平均每天销售利润为 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数
的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，
找出 关于 的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
