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21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计
课题 21.3 实际问题与一元二次 单元 第21章 学科 数学 年级 九年级
方程
学习 1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；
目标 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数
学问题的过程，提高数学应用意识．
重点 能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
难点 将实际问题转化为数学问题.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：列方程解应用题的步骤有哪些呢？ 学生回忆、思 熟悉列方程解应
审：审清题目，明确已知量和未知量以及它们之 考并回答问题 用题的步骤.
间的关系；
设：设出未知数；
列：列出方程，根据已知量和未知量之间的等量
关系列出方程；
解：解方程，求出未知数的值；
验：检验方程的解是否具有实际意义；
答：写出答案.
讲授新课 环节一：探究问题 师生合作，完 掌握传播问题、
问题：若一人患新冠肺炎，每人每轮能传染5人， 成三个探究问 变化率问题、面
则第一轮过后共有6 人患了流感，第二轮过后共有 题. 积问题.
36 人患了流感.
探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121
人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这
个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后
共有x+1 个人患了流感；第二轮传染中，这些人
在老师的引导
中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二
下，学生探
轮后共有 (x+1) 2 个人患了流感.
究，讲传播问 将实际问题转化
列方程(x+1)2=121
题转化成数学 成数学问题，总
解方程，得x=10，x= -12(舍)
1 2 问题. 结传播问题的解
答：平均一个人传染了10个人.
决方法.
思考：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染
后共有多少个人患流感？
121×(1+10)=1331(人)
小结：传播问题：
如果一开始是a个人，每轮传染中平均一个人传染
x个人.n轮后，一共有 a(1+x)n个人被传染.
探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生
产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是
3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪
种药品成本的年平均下降率较大?
师生共同分
分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一
析，学生发现 引导学生发现用
年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药
一元二次方程 数学问题解决问
品成本为5000(1-x)2元.
在实际应用中 题，要结合生活
列方程5000(1-x)2=3000
所要注意的问 实际，掌握变化
解方程，得x≈0.225，x≈ 1.775
1 2
题. 率问题的解决方
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下
法.
降率约为22.5%.
思考：为什么选择22.5%作为答案？
注意：年平均下降额不等同于年平均下降率.
分析：设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一
年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后甲种药
品成本为6000(1-y)2元.
列方程6000(1-y)2=3600
解方程，得y≈0.225，y≈ 1.775
1 2
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下
降率约为22.5%.
答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样.
小结：变化率问题：
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
其中，增长率时：1+变化率；
下降率时：1- 变化率.
探究 3：要设计一本书的封面,封面长 27cm，宽
21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的
矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面
面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬
等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数
点后一位)?
分析：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩
形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽
分别是9a cm和7a cm，种由此得上、下边衬与
左、右边衬的宽度之比是设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均
为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x) cm，宽为
(21-14x) cm.
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的
四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四
分之三.
列方程(27-18x)(21-14x)= ×27×21
整理，得16x2-48x +9=0
解方程，得
学生自行探究
思考：方程的哪个根符合实际意义？为什么？
用其他方法解 培养学生发散思
决问题. 维能力，用多种
答 ： 上 、 下 边 衬 的 宽 均 为
方法解决同一问
题.
cm ， 左 、 右 边 衬 的 宽 均 为
cm.
如果换一种设未知数的方法，是否有更简单的方
法？请你试一试.
方法二：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的
矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和
宽分别是9x cm和7x cm，如果要使四周的彩色边
衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩
形的面积是封面面积的四分之三.
列方程9x·7x =
解得x=
上 、 下 边 衬 的 宽 度 是
cm
左 、 右 边 衬 的 宽 度 是cm
答：上、下边衬的宽均为 cm，左、右
边衬的宽均为 cm.
小结：面积问题：矩形面积=长×宽
学生练习，师
正方形面积=边长×边长
生互评订正.
三角形面积=低×高÷2
环节二：课堂练习
通过练习，使学
1. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用
生熟练掌握实际
微博转发的方式传播. 他设计了如下的传播规则：
问题与一元二次
将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转
方程的关系.
发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个
互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经
过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则
n=10.
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠
贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设
九年级一班共有x名学生，那么所列方程为( C )
A.x2=1980 B.x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980 D. x(x-1)=1980
3.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每
个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、
小分支的总数是 73，设每个枝干长出 x 个小分
支，根据题意可列方程为( B )
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2=73 D.(1+x)2=73
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都
进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有
6 个球队参加了这次比赛.
5.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总
产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
A
x B
6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地
上，修建一个面积为 640 的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为 80m的栅栏围成，若
设栅栏 AB 的长为 x m，则根据题意可列方程 x 2 -
80x+1280=0．
7.某如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要
修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，且
互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，
要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多
少米？
解：设道路宽为x米
由题意知：(32-2x)(20-x)=570
解得 x=1 ，x=35（舍）
1 2
答：道路宽为1米.
课堂小结 1．传播问题的规律： 师生共同梳理 强化本节课的知
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染 本节课的知识 识点.
x个人.第n轮，一共有 (1+x)n个人被传染. 点.2．变化率问题的求解：
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
3．面积问题的求解：矩形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=底×高÷2
板书 21.3 实际问题与一元二次方程 教师展示本节 展示本节课的内
探究1： 探究2： 探究3： 课的内容. 容.
