文档内容
第 54 讲 空间角与距离的计算（1）
1. 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为
直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l∥l
1 2
l⊥l
1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,
l∥α,n⊥m⇔
l⊥α,n∥m⇔
平面α，β的法向量分别为n，m,
α∥β,n∥m⇔n＝
α⊥β,n⊥m⇔
3. 异面直线所成的角
3.设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则
1 2
a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
1 2
范围
a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
1 2
求法 cosβ＝ cosθ＝|cos β|＝
4. 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝ | cos 〈 a ， n 〉 |
＝.
5. 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ 〈 AB ，
CD 〉
①
②
③
(2)如图②③，n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
1 2
|cos θ|＝ ，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角)．
1 21、【2021年新高考1卷】在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
2、【2018年新课标2卷理科】在长方体 中， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为
A． B． C． D．
3、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．4、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的
中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角
的正弦值．
5、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A B C 的体积为4，△A BC的面积为2√2．
1 1 1 1
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A−BD−C的正弦值．
1 1 1 1 16、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．
1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)
C. D.
2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交
3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
4、在直三棱柱ABC－ABC 中，∠BCA＝90°，M，N分别是AB，AC 的中点，BC＝CA＝CC ，则BM与
1 1 1 1 1 1 1 1
AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
考向一 运用向量研究异面直线所成的角例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，
AD＝2，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．
变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则
（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
变式2、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-ABC ，CA＝CC ＝2CB，则直线BC 与直线AB 所成
1 1 1 1 1 1
角的余弦值为________．
方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确
定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦
值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．考向二 运用向量研究直线与平面所成的角
例2、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，
， ， ， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
变式1、如图，在直棱柱ABCD-ABC D 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA＝3.
1 1 1 1 1
(1) 求证：AC⊥BD；
1
(2) 求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值．
1 1 1
变式2、（山东省临沂市高三上期末）如图，在四棱锥P-ABCD中， 平面PCD， ，
， ，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.（1）证明： 平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求
两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹
的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
考向三 运用向量研究二面角
例3、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形，
点 为棱 的中点， 为边 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）若侧面 底面 ，且 ， ，求平面 与平面
的夹角的余弦值.
变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥 中， 为直角梯形， ，
，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，， 为 上一点，且 .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
变式2、（山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为 的三棱柱 中，平面 平面
， ， 为 与 的交点．（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
方法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平
面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的
大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向
量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC
＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝ ，E为PD中点，AF⊥PC，
垂足为F．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与CE所成的角；
（3）求证：PD⊥EF．
2、 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ,
于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.3、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平
行四边形，E为CD的中点， .（1）证明： ；
（2）若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 ，求直线EF与平面PAE所
成角的正弦值.
4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形，
， ， 平面 ，
（1）求 与 所成的角
（2）平面 与平面 所成的锐二面角余弦值
