文档内容
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
自主学习
一、知识链接
用长为60 m的篱笆围一个矩形的菜园，宽AD为x m. 用含x的代数式填空：
（1）如图①，AB=_________m，S =___________；
矩形ABCD
（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m，S =___________；
矩形ABCD
（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB=_________m，S
矩形
=______.
ABCD
图① 图② 图③
2.假如有一幅画长 60 cm，宽 40 cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到
3500 cm2，设木框宽度 x cm，你能列出等式吗？
课堂探究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
引例 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比
例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等
宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)
方法点拨：在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积
公式列出方程.
典例精析
例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的
部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？
在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下
【变式题1】
的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题2】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下
的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题3】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下
的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题4】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的四条道路，余下的部
分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，
则道路的宽为多少（保留两位小数）？
方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路
移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修
路).例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成总面积为200 m2的三个
大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？
【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600
m2的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？
【变式题2】如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为12 m的住房墙，另外
三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m的门，
所围矩形鸡场的长、宽分别为多少时，鸡场面积为80 m2？
方法点拨： 围墙问题一般先设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最
后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
三、课堂小结
几何图形 运用常见几何图形面积公式构建等量关系
几何图形问
课本封面问题
常采用图形平移聚零为整，方
题与一元二
便列方程
次方程 类型 彩条/小路宽度问题
动点面积问题
当堂检测
1. 在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，
如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的
方程是（ ）
A．x2+130x－1400=0
B．x2+65x－350=0
C．x2－130x－1400=0
D．x2－65x－350=0
2.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四
边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
3.如图，要设计一个宽20 cm，长为30 cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每
个彩条的宽度？
4.如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6 cm，BC=8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1
cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9
cm²？
参考答案
自主学习
知识链接
1.(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x)
2.(60 + 2x)(40 + 2x) = 3500
课堂探究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
引例： 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：
设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-
14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面
积的四分之三.
于是可列出方程
整理得16x2-48x+9=0，解方程得 （不合题意，舍去）.
故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为
典例精析
例1 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x=2，x=50.
1 2
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x=2，x=50.当x=50时，
1 2
32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x=2，x=50
1 2
（不合题意，舍去）.∴x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x=18- ，
1
x=18+ ≈34.55（不合题意，舍去）.
2
答：道路的宽为 (18- ) m.
【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x=1，x=25
1 2
（不合题意，舍去）.∴x=1.
答：道路的宽为1米.
【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为 3x、 2x， 于是可列方程(32-4x)(20-6x)=
解得 x= ，x= （不合题意，舍去）.∴x≈0.62.则
1 2
3x≈1.86,2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别约为1.86米、1.24米.
例 2 解：设 AB 的长是 x m.依题意得 (58-2x)x=200，即 x2-29x+100=0，解得 x=25，
1
x=4.x=25时，58-2x=8，x=4时，58-2x=50.
2
答：羊圈的边AB和BC的长各是25 m，8 m或4 m，50 m.
【变式题】 解：设AB的长是x m.依题意得(80-2x)x=600，即x2-40x+300=0，解得x=10，
1
x=30. x=10时，80-2x=60>25，舍去；x=30时，80-2x=20<25.
2
答：羊圈的边AB和BC的长各是30 m，20 m.
【变式题】解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长(25-
2x+1)m.由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得x=5，x=8.当x=5时，26-
1 2
2x=16>12 (舍去），当x=8时，26-2x=10<12，故所围矩形鸡场的长为10 m，宽为8 m.
当堂检测
1.B
2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x-10)(x-10)=3000，即x2-15x-250=0.
解得 x=25，x=-10(舍去）.所以 2x=50.
1 2
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3. 解：设横向彩条的宽度 2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得 (20-6x)(30-4x)=400，即
6x2-65x+50=0.解得 （舍去）. .
答：横向彩条的宽度 cm ,竖彩条的宽度 cm.
能力提升
解：若设出发 x s 后可使△PCQ 的面积为 9cm² ,根据题意得 AP= xcm，PC=(6-x)cm，
CQ=2xcm.
依题意得 ，整理，得x2-6x+9=0，解得x= x=3.
1 2
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
