文档内容
22.2二次函数与一元二次方程
教学目标：1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的
联系，灵活运用相关概念解题．
教学重难点：灵活掌握二次函数图像和数形结合思维应用。
知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系
例题：已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b（a＜b），则
1 2
二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜bD．x＜a或x＞b
2．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为 ．
3．函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣3=0 的根的情况是
．
知识点二：用图像法估算一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
例题：二次函数 y=﹣x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程﹣
x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
2．已知二次函数 y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程 ax2+bx+c=0
的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，
直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x 的取值范围是2＜x ＜3，则
1 1
它的另一个根x 的取值范围是 ．
2
拓展点一：求抛物线与坐标轴的公共点坐标
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的
一元二次方程即可求得交点横坐标．
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即y=c，即可求得交点纵坐
标．
例题：已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
2．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正
确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
3．若二次函数y=﹣x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m﹣6，0），该函数图象向下平
移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．36
拓展点二：抛物线与x轴公共点个数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
例题：若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x =1，x =2，那么抛物线
1 2
y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x=1B．x=2 C．x= D．x=﹣
2．二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判
别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）A．b＜0，c＜0，△＞0 B．b＞0，c＞0，△＞0 C．b＞0，c＜0，△＞0 D．b＜0，c＞0，△
＜0
拓展点三：利用二次函数的图像解决问题
例题：如图，关于x的二次函数y=2x2﹣4x+c的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的
正半轴于C点，如果x=a时，y＜0，那么关于x的一次函数y=（2﹣a）x﹣c的图象可能是（
）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若连接该函数与坐标轴的交点所得到的
三角形面积为20，则该函数的最大值为（ ）A． B． C．5 D．
3．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x2+4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
拓展点四：表格信息题
例题：已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
2．下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3．如表是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量 x与函数值 y的对应关系，一元二次方程
ax2+bx+c= （a≠0）的一个解x的取值范围是 ．
x 6.1 6.2 6.3 6.4
y=ax2+b ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4
x+c
拓展点五：综合探究题
例题：已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x
轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m
与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
2．四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙
发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已
知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）
和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点：根据二次函数的图像解题时易忽略题目中的隐含信息
例题：如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且
OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．b＜2a C．a+b=﹣1D．a﹣b=﹣1
变式 1：如图，二次函数 y=ax2+2x﹣3 的图象与 x 轴有一个交点在 0 和 1 之间（不含 0 和
1），则a的取值范围是（ ）A．a＞1 B．0＜a＜1C．a＞ D．a＞﹣ 且a≠0
变式2：二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1
y ﹣2 ﹣2 0
下面四个说法正确的有（ ）
①抛物线的开口向上 ②当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
③二次函数的最小值是﹣2 ④﹣4是方程ax2+bx+c=0的一个根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
