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专题 20.2 数据的波动程度
1.掌握极差和方差、标准差的概念，会求一组数据的极差和方差、标准差；
2.理解极差和方差、标准差的差别，初步体会他们在不同情景中的应用。
3、掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点，能读取各种统计图中的信息，通过信息计算平均
数、中位数、众数、方差；
知识点01 极差和方差
【知识点】
1)极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
x ,x ,⋯,x , x
2)方差： 在一组数据 1 2 n 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
s2 n 1 2 n
差。通常用“ ”表示，即
结论：若数据a ，a ，……a 的方差是s2，则数据a +b，a +b，……a +b的方差仍然是s2，数据ka +b，
1 2 n 1 2 n 1
ka +b，……ka +b的方差是k2s2.
2 n
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3)标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
√1
s= √s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
4)极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
【知识拓展1】极差、方差(标准差)的基本计算
例1．(2022·安徽·合肥二模)某班抽取 名同学参加体能测试，成绩如下： ， ， ， ， ， 下
列表述错误的是( )
A．平均数是 B．极差是 C．中位数是 D．标准差是【答案】D
【分析】根据平均数，中位数，方差，极差的概念逐项分析．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，
位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；利用方差公式计算方差，利用平均数和极差的定义可分
别求出．
【详解】A. 由平均数公式求得： ，故此选项正确，不符合题意；
B. 极差是 ，故此选项正确，不符合题意；
C. 把数据按大小排列，中间两个数为 ， ，所以中位数是 ，故此选项正确，不符合题意；
D. ，故标准差为： ，
故此选项错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了统计学中的平均数，方差，中位数与极差的定义，解答这类题学生常常对中位数的计
算方法掌握不好而错选．
【即学即练】
1．(2022·成都市·八年级单元测试)九班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：
4，8，8，12，16.这组数据的极差是( )
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据极差的公式：极差 最大值 最小值，即可得出答案．
【详解】解： 九班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，8，8，12，
16，
最大数是16，最小数是4， 极差是： ．故选：C．
【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的
最大值减去最小值．
2．(2022·广东·八年级单元测试)数据1，2，3，4，5的标准差是( )
A．10 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先求出数据的平均数，根据样本方差的算术平方根表示样本的标准差计算即可．
【详解】解： ，
则 ，故选：D．【点睛】本题考查了标准差与方差的计算，标准差是方差的算术平方根，方差是各数据离差的平方和的平
均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．
3．(2022·辽宁·八年级阶段练习)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是( )
A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8
【答案】C
【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可．
【详解】 一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，
，解得 ， 这组数据为：5，8，8，9，10，
极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意；
众数是8，故B选项正确，不符合题意； 中位数是8，故C选项错误，符合题意；
方差= ， D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极
差的概念是解题的关键．
【知识拓展2】统计量的选择
例2．(2022·浙江·永嘉县八年级期中)如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生近10次英语词汇成绩的数据信息，
要选择一名成绩好又发挥稳定的学生参加年级英语词汇比赛，应该选择的是( )
甲 乙 丙 丁
平均数 (分) 90 93 93 92
方差 ( ) 1.5 8.5 1.5 5.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】成绩好，需要考查平均分；发挥稳定，需要考查方差．
【详解】∵乙和丙的平均数最高，乙和丙的方差分别为8.5和1.5
∴丙的成绩好又发挥稳定.故答案为：C．
【点睛】本题考查平均数和方差，需要注意，方差越小，则这组数据越稳定，理解方差衡量数据的稳定性
时，方差越小，越稳定是解题的关键．
【即学即练】
1．(2022·福建·福州九年级阶段练习)八年级一班的平均年龄是12.5岁，方差是40，过一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是( )
A．平均年龄不变 B．年龄的方差不变 C．年龄的众数不变 D．年龄的中位数不变
【答案】B
【分析】根据题意求出一年后该班学生的平均年龄和方差，结合选项得到答案．
【详解】解：过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是13.5岁，方差是40，年龄的众数，年龄的中位数
都比原来多1，故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数、方差的知识，掌握当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即
数据的波动情况不变是解题的关键．
2．(2022·广西贺州·八年级期末)为考察甲、乙两块地里香芋的长势，分别从中抽取了5个香芋，称得重量
如下(单位：kg)：甲：1.3，1.6，1.5，1.6，1.5；乙：1.2，1.6，1.7，1.4，1.6．则香芋长得比较整齐的地块
是( )．
A．甲 B．乙 C．一样整齐 D．无法判断
【答案】A
【分析】先计算出平均数及方差，再根据方差的意义判断．
【详解】解： (1.3+1.6+1.5+1.6+1.5) 5=1.5(kg)，
÷
(1.2+1.6+1.7+1.4+1.6)÷5=1.5(kg)，
∵ ，
，
∴ ，∴香芋长得比较整齐的地块是甲，故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【知识拓展3】方差的含参问题
例3．(2021·山东烟台·八年级期中)若一组数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方
差大，则x的值可能是( )
A．12 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的
值计算出前一组数据的方差求解．【详解】数据3，4，5，6，7，每2个数相差1；数据13，14，15，16，x的前四个数据也相差1，若x=17
或x=12，两组数据方差相等，
而数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，
则x的值可能是18，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．
【即学即练】
1.(2022·浙江杭州八年级期中)小明用S2＝ [(x﹣2)2＋(x﹣2)2＋…＋(x ﹣2)2]计算一组数据的方差，那么x
1 2 10 1
＋x＋x＋…＋x ＝__________________．
2 3 10
【答案】20
【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【详解】解：由方差计算公式S2＝ [(x﹣2)2＋(x﹣2)2＋…＋(x ﹣2)2]可知，这组数据的平均数是2，一共
1 2 10
有10个数据，x＋x＋x＋…＋x ＝2×10=20．故答案为：20．
1 2 3 10
【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
2．(2022·北京·九年级专题练习)已知 a，b，c 为非负整数， a≥b≥c，a+b+c=100，则当 a，b，c 方差最小
时， a=_____________；当 a，b，c 方差最大时， a=______________
【答案】 35 99
【分析】根据方差的意义得出a=35，b=33，c=32时，方差最小；a=99，b=1，c=0时，方差最大，进而得
出答案．
【详解】解：方差最小时，数据最为集中；而方差最大时，数据最为分散，即两级分化严重；
∵非负整数a，b，c满足 a≥b≥c，a+b+c=100，
∴当数据a，b，c的方差的最小时，a=35，b=33，c=32；
∴当数据a，b，c的方差的最大时，a=99，b=1，c=0；故答案为：35；99．
【点睛】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．
【知识拓展4】方差的综合运用
例1.(2022·河北唐山·八年级期末)已知一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是2，方差是3，那么另一组数
1 2 3 4 5
据3x，3x，3x，3x，3x 的平均数和方差分别是( )
1 2 3 4 5
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x，3x，3x，3x，3x 的平均数和方差分别是数据x，
1 2 3 4 5 1x，x，x，x 的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可.
2 3 4 5
【详解】∵数据x，x，x，x，x 的平均数是2，方差是3，
1 2 3 4 5
∴数据3x，3x，3x，3x，3x 的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27．故选：C
1 2 3 4 5
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为 ，方差为S²，
则数据ax，ax，ax， …axn的平均数为 ，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键．
1 2 3
【即学即练】
1．(2022·福建·厦门实验中学二模)设数据x，x，x，…，x 的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正
1 2 3 n
确的是( )
A．x=0 B．x+x+x+…+x=0 C．x=x=x=…=x=0 D．x=x=x=…=x=x
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n
【答案】D
【分析】根据方差的定义，即可得出结论．
【详解】解：∵数据x，x，x，…，xn的平均数为x，方差S2=0，
1 2 3
∴x=x=x=…=x=x．故选：D
1 2 3 n
【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解本题的关键．方差是各个数据与平均数之差的平方的
和的平均数，因此方差一定是大于等于0．
2．(2022·山东烟台·二模)两年前，某校七(1)班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今
年升为九(1)班的学生年龄中( )
A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变
【答案】B
【分析】由全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，且学生的年龄波动幅度没有变化
可得答案．
【详解】解：由题意知七年级(1)班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，
∴今年升为九(1)班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，
又∵学生的年龄波动幅度没有变化，
∴今年升为九(1)班的学生年龄的方差不变，仍然为4，故选：B．
【点睛】题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
知识点02 从统计图中获取信息(数据的集中趋势)
【知识点】从折线统计图中读取 从条形统计图中读取 从扇形统计图中读取
众数 同一水平线上出现次 最高的直条所对的横轴 所占比例最大部分对应数就
数最多的数据 是众数
上的数就是众数
中位数 从左到右处于中间点 从左到右处于中间点所 按从小到大顺序计算所占百
所对应的数 分比之和，找到 50%和 51%
对应的数
对应部分的平均数就是中位
数
平均数 从统计图中读出各类 从统计图中读出各类数 从统计图中读出各类数据，
数据，按平均数的计 按平均数的计算公式计算即
据，按平均数的计算公
算公式计算即可 可
式计算即可
【知识拓展1】从扇形统计图中获取信息
例1．(2022·重庆南开中学八年级期末)2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规
定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该
校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得
数据分为5个组别(A组： ；B组： ；C组： ；D组： ；E组：
)，将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，
80，80，80，80．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组 A B C D E
频数 14 b 27 13 6
③七、八年级各100名学生上周劳动时间的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.3 79.5 82
八年级 81.3 c 83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：(1) ______， ______， ______；(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；(写出一条理由即可)。(3)已知七年级有800
名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上(含80分钟)的学生一共有多少
人？
【答案】(1)10，40，80.5；
(2)八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；(3)562．
【分析】(1)在扇形统计图中，先求出“ 组”所占的百分比，再求出“ 组”所占的百分比，确定 的值，
根据八年级的频数之和等于100可求出 的值，再根据中位数的定义求出 的值；
(2)从中位数、众数的大小比较得出答案；
(3)求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上(含80分钟)的学生数即可．
(1)解：根据扇形统计图可知，“ 组”所占的百分比为 ，
所以“ 组”所占的百分比为 ，
即 ； ；
八年级的中位数在 组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为
，即 ；故答案为：10，40，80.5；
(2)解：八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；
(3)解： (人 ，
答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上(含80分钟)的学生大约有562人．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，解题的关键是理
解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法．
【即学即练1】
1．(2022·重庆市杨家坪中学九年级阶段练习)2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会
背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现
从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析(成绩得分用 表
示，共分成四组： ． ， ． ， ． ， ． )，下面给出了部分
信息：甲校10名志愿者的成绩(分)为：65，92，87，84，97，87，96，79，95，88．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在 组中的数据为86，88，89．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
甲校 乙校平均数 87
中位数 87.5
方差 82.8 79.4
众数 95
乙校抽取的志愿者扇形统计图
(1)由上表填空： ______， ______， ______， ______；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
【答案】(1)20， ，87，87(2)乙校，理由见解析(3)约有80人
【分析】(1)求出乙校 组所占百分比，由此即可得 的值，根据中位数的定义可得 的值，根据众数的定
义可得 的值，根据平均数的公式计算可得 的值；
(2)从中位数和方差的意义进行分析即可得；
(3)利用甲校参加测试的志愿者的总人数乘以甲校成绩在90分及以上的志愿者人数百分比即可得．
(1)解：乙校 组所占百分比为 ，
则 ，即 ，
乙校10名志愿者的成绩中， ， ，
所以乙校10名志愿者的成绩按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数均在 组，
所以其中位数 ，在甲校10名志愿者的成绩中，87出现的次数最多，所以其众数 ，
平均数 ，故答案为：20， ，87，87．
(2)解：乙校的志愿者测试成绩的总体水平较好，理由如下：
甲校、乙校的志愿者测试成绩的平均数相同，但乙校的中位数大于甲校的中位数，且乙校的方差小于甲校
的方差，所以乙校的志愿者测试成绩的总体水平较好．(3)解： (人)，答：估计甲校成绩在90分及以上的约有80人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数与众数、平均数、方差、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查
的相关知识是解题关键．
【知识拓展2】从条形统计图中获取信息
例2．(2022·湖南·师大附中梅溪湖中学九年级阶段练习)近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此
次事件也让我们深切体会到，人民群众才有安全感，才会被世界“温柔”以待为此，并将他们的比赛成绩
统计如下(满分为10分)：
(1)这20名学生比赛成绩的众数是______分，并补全条形统计图；
(2)计算这20名学生比赛成绩的平均数；
(3)若该校共有100名学生参加了这次演讲比赛，请估计得满分的共有多少名学生？
【答案】(1)9，补全条形统计图见解析 (2)这20名学生比赛成绩的平均数是8.5分
(3)估计得满分的共有10名学生
【分析】(1)先算出得8分的人数，再根据不同分数的人数得出众数和补全条形统计图即可；
(2)根据加权平均数的计算公式计算即可；
(3)根据样本中满分的百分比计算这100名学生得满分的人数即可．
(1)
解：得8分的人数为 (人)，所以得9分的人数最多．故答案为：9；
补全条形统计图如下：(2) (分)，
答：这20名学生比赛成绩的平均数是8.5分；
(3)100× ＝10(名)，
答：估计得满分的共有10名学生．
【点睛】本题考查画条形统计图，计算某一组别的数目，计算加权平均数，用样本估计总体等知识，掌握
相关基础知识是解题的关键．
【即学即练2】
2．(2022·广东湛江·八年级期末)2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌
“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的
精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某随机抽取20名学生，进行“奥运知识知
多少”的测试，满分10分，并绘制如下统计图．
(1)这20名学生成绩的中位数是_______，众数是_______，平均数是________；
(2)若成绩在9分及以上为优秀，请估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？
【答案】(1)8，9，8.2 (2)54名
【分析】(1)根据条形统计图以及中位数、众数、平均数的定义即可求解；
(2)用9分和10分的人数之和的占比乘以120即可求解．
(1)解：第10和第11名学生的成绩为8，8，则中位数为 ，9分的人数最多，则众数为9；
这 名学生成绩的平均数为 故答案为：8，9， ；(2)估计该校 名学生中，成绩为优秀的学生人数为： (名)．
答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名
【点睛】本题考查了条形统计图，求中位数，众数，平均数，样本估计总体，从条形统计图获取信息是解
题的关键．
【知识拓展3】从折线统计图中获取信息
例3．(2022·成都·九年级单元测试)甲、乙两家书店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．
甲、乙两书店7~12月的月盈利折线统计图
(1)①要评价这两家书店7～12月的月盈利的平均水平，应选择计算统计量( )
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
②请分别求出反应这两家书店月盈利“平均水平”的统计量；
(2)根据(1)中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家书店经营状况较好？请简述理由．
【答案】(1)①B；②甲书店的平均盈利为 万元，乙书店的平均盈利为2万元
(2)甲书店经营状况较好，理由见解析
【分析】(1)①根据平均数的意义求解即可；②根据折线统计图中数据求解即可；
(2)根据平均数及折线统计图的变化趋势分析即可．
(1)①根据题意，求7～12月的月盈利的平均水平，故应选择计算平均数；故选B
② ， ，
(2)甲书店经营状况较好，理由为：甲书店营业额的平均值大于乙书店，且由折线统计图可知甲书店的营业
额持续稳定增长，潜力大．
【点睛】本题考查了求平均数，折线统计图，根据折线统计图获取信息是解题的关键．
【即学即练3】
3．(2022·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期末)甲、乙两名射击爱好者在条件相同的情况下各射击五次，
成绩的折线统计图如图1、图2所示(1)从数据上来看，这五次射击成绩较稳定的是___________.(填“甲”或“乙”)
(2)若甲、乙两人各自再射击一次，成绩均为n环(n为正整数)，请比较甲，乙六次成绩中位数的大小.
【答案】(1)甲(2)甲的中位数大于乙的中位数
【分析】(1)根据方差的意义判断即可；(2)根据中位数的定义解答即可．
(1)由折线统计图可得，甲的五次射击成绩波动越小，所以这五次射击成绩较稳定的是甲，故答案为：甲；
(2)对于甲，当 时，六次成绩为n，6，7，7，7，8，中位数是7，
当 时，六次成绩为6，n，7，7，7，8，中位数是7，
当 时，六次成绩为6，7，7，7，8，n，中位数是7，
综上，甲的中位数是7；
对于乙，当 时，六次成绩为n，3，6，6，7，8或3，n，6，6，7，8，中位数是6，
当 时，六次成绩为3，6，6，7，n，8或3，6，6，7，8，n中位数是6.5，
综上，乙的中位数是6或6.5
所以甲的中位数大于乙的中位数．
【点睛】本题考查了中位数与方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【知识拓展4】从频数分布表(图)中获取信息
例4．(2022·山东济南·中考真题)某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随
机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．(数据分成5组， ， ， ，
， )b：七年级抽取成绩在7 这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，
79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.5 m
八年级 78.2 79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在 的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______(填“甲”或
“乙”)的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩
90分及以上的学生人数．
【答案】(1)38，理由见解析(2)77(3)甲(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人
【分析】(1)根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
(2)根据中位数的计算方法求解即可；
(3)由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
(4)用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
(1)解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；(2)解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m= ，故答案为：77；
(3)解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；
(4)解： (人) 答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．
【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解
题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【即学即练4】
4．(2022·福建·福清康辉中学八年级期末)每年6月5日为世界环境日，今年中国区主题为“共建清洁美丽
世界”．为积极响应政府号召，某校组织了八年级全体450名学生进行保护环境知识学习并测试，现随机
抽取其中20名学生的测试成绩，并整理成如下频数分布表：
成绩
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
x/分
人数 2 4 8 6
其中测试成绩在 这一组的是：81，81，83，84，86，87，89，89．
(1)何松同学成绩为84分，年段长说他的成绩属于中等偏下水平，为什么？(2)估计这20名学生成绩的平均
分；(3)若成绩在80分以上(含80分)的记为优秀，年段长的目标是全年段学生的平均分超过80分，且优秀
人数超过300人，请用统计的知识估计年段长的目标是否达到？并说明理由．
【答案】(1)理由见解析 (2)估计这20名学生成绩的平均分为84分
(3)年段长的目标达到了，理由见解析
【分析】(1)求出这20名学生成绩的中位数，再与84分比较即可；(2)每一组取“中间值”按照平均数的计算方法进行计算即可；(3)利用样本中“优秀”所占的百分比估计总体中“优秀”所占的百分比，进而求出
全年级“优秀”的学生人数，然后进行判断即可．
(1)解：理由：由样本数据得中间位置的第10个，第11个数据分别是84，86，
∴中位数是 ，∴大约有一半学生成绩低于85分．
∵ ，∴何松的成绩低于一半学生的成绩，可以推测他的成绩在年段中等偏下水平．
()解法一：依题意，得： ， ， 的组中值分别为65，75，95．
∵81＋81＋83＋84＋86＋87＋89＋89＝680，
∴ ．
答：估计这20名学生成绩的平均分为84分．
解法二：各组的组中值为65，75，85，95．
∴ ．
答：估计这20名学生成绩的平均分为84分．
(3)答：年段长的目标达到了．
理由如下：解法一：由(2)估计年段平均分为84分，
∵ ，∴平均分达标，∵ ，∴估计年段优秀人数为315人，
∵ ，∴优秀人数达标，∴年段长的目标达到了．
解法二：根据题意，由样本数据得最低平均分 ，
由此估计年段平均分至少为81分，高于80分，∴平均分达标，
∵ ，∴估计年段优秀人数为315人，
∵ ，∴优秀人数达标，∴年段长的目标达到了．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数、平均数，样本估计总体， 理解平均数、中位数的意义，掌握平
均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．题组A 基础过关练
1．(2022·湖南邵阳·八年级期末)某商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，绘制了如图所示的
频数直方图，请问选择最合适的包装为( )
A． /包 B． /包 C． /包 D． /包
【答案】A
【分析】最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范
围的组中值即可．
【详解】解：由图知这组数据的众数为2.5kg～3.5kg，取其组中值3kg，
故选：A．
【点睛】本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并
根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
2．(2022·江苏泰州·九年级阶段练习)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为
9.0环，方差分别为 ， ， ， ，则四人中成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据方差的意义求解可得．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
，∴四人中成绩最稳定的是丙，故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
3．(2022·安徽·二模)某班抽取 名同学参加体能测试，成绩如下： ， ， ， ， ， 下列表述错
误的是( )A．平均数是 B．极差是 C．中位数是 D．标准差是
【答案】D
【分析】根据平均数，中位数，方差，极差的概念逐项分析．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，
位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；利用方差公式计算方差，利用平均数和极差的定义可分
别求出．
【详解】A. 由平均数公式求得： ，故此选项正确，不符合题意；
B. 极差是 ，故此选项正确，不符合题意；
C. 把数据按大小排列，中间两个数为 ， ，所以中位数是 ，故此选项正确，不符合题意；
D. ，故标准差为： ，
故此选项错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了统计学中的平均数，方差，中位数与极差的定义，解答这类题学生常常对中位数的计
算方法掌握不好而错选．
4．(2022·浙江·永嘉县八年级期中)某组数据的方差 ，则该组数据的
总和是( )
A．24 B．4 C．6 D．16
【答案】A
【分析】根据方差公式可得共有6个数据，这6个数据的平均数为4，即可得．
【详解】解：∵ ，
∴共有6个数据，这6个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为： ，故选：A．
【点睛】本题考查了方差，解题的关键是理解方差的计算公式和公式字母所表示的意义．
5．(2022·重庆铜梁·八年级期末)在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动(离散)
程度的量是______．
【答案】方差
【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差(或标准差)越大，数据的
离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案．
【详解】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动(离散)程度的量是方差，
故答案为：方差．【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的
区别．
6．(2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习)盐城2022年9月28号的最高气温为22℃，最低气
温为13℃，该日的气温极差为_____℃．
【答案】
【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．
【详解】解：该日的气温极差为 ℃，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大．
7．(2022·河南·许昌市八年级期末)已知数据2，5，1， ，3的平均数为3，则这组数据的标准差为______．
【答案】
【分析】根据平均数的计算公式求出x的值，根据方差的计算公式求出方差，根据标准差即方差的算术平
方根得到答案．
【详解】解：∵2，5，1，x,3的平均数是3，
∴
解得
这组数据的方差是
则这组数据的标准差是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求标准差，先求 的值是解题的关键．
8.(2022·甘肃·九年级期末)中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生
的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如下图，从左至右五个小
组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是30．(1)本次调查共抽测了多少名学生？
(2)本次调查抽测的数据的中位数应在哪个小组？说明理由．
(3)如果视力在4.9—5.1(含4.9、5.1)均属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？
【答案】(1)250名(2)第三小组，理由见解析(3)11200人
【分析】(1)用第五组的频数除以第五组所占的比例即可；
(2)根据中位数的定义，找出第125和第126两个数据的平均数即可；
(3)用全市的人数乘以视力正常的百分比即可．
(1)解： (名) 答：本次调查共抽测了250名学生．
(2)中位数应在第三小组．
∵250个数据的中位数是第125和第126两个数据的平均数，
第一组人数： (人)，
第二组人数： (人)，
第三组人数： (人)，
前两个小组的频数之和是20＋40＝60，60<125
第三小组的频数是90，90＋60＝150，150>126，∴中位数应在第三小组．
(3)视力在4.9—5.1范围内的人数： (人)，
∵视力在4.9—5.1范围内的人有70人，
∴频率＝ ＝0.28，∴全市初中生视力正常的约有40000×0.28＝11200(人)，
答：全市初中生视力正常的约有11200人
【点睛】本题考查根据频数分布直方图获取相关信息，熟练掌握频率、频数、中位数的定义是解题的关键．
9．(2022·安徽安庆·八年级期末)2022年4月16日，搭乘神舟十三号载人飞船的“航空三人组”顺利返回，为我国空间站建造再立新功．为了解我校九年级学生对我国空间站建设的关注程度，随机抽取了男、女学
生若干名(抽取的男女生人数相同)进行问卷测试，问卷共30道选择题．现将得分情况统计，并绘制了如下
不完整的统计图：(数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问
卷测试的分数)．其中男生得分处于C组的有14人．
男生C组得分情况分别为：22，23，24，22，23，24，25，22，24，25，23，22，25，22；
抽取的男生、女生得分的平均数、中位数、众数(单位：分)如表所示：
组别 平均数 中位数 众数
男 20 a 22
女 20 23 20
(1)随机抽取的男生人数为 人，表格中a的值为 ，补全条形统计图；
(2)通过以上数据分析，你认为是男生的成绩好还是女生的成绩好？说明理由(一条理由即可)
(3)我校九年级学生中男、女生各900人，那么如果全体九年级学生参加此次问卷测试，估计成绩不低于26
分的人数共有多少人？
【答案】(1)50，25 (2)男生成绩较好，理由为：男生成绩的中位数比女生成绩的中位数高
(3)我校男生、女生各900人，那么估计此次参加问卷测试成绩不低于26分的人数有774人
【分析】(1)男生C组有14人，占调查男生人数的28％，可求出参与调查的男生人数，在根据中位数的意
义求出男生成绩的中位数，即a的值，根据女生得分情况条形统计图求出C组的人数即可补全条形统计图；
(2)从男女生成绩的中位数的比较得出答案；
(3)求出男女生成绩在26分及以上所占的百分比即可求出男女生成绩在26分及以上的学生人数．
(1)解：由题意可知，男生成绩在C组的有14 人，
(人)，B组人数为： (人)，D组人数为： (人)，
因此A组人数为： (人)，将男生50人的成绩从小到大排列，
第一至第十三个数据是A组和B组数据，
第十四个至第二十七个数依次为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25，排在中间的两个数据即第二十五个和第二十六个数据都是25，
所以男生的中位数 ，
女生成绩在C组的人数为： (人)，补全条形统计图即可，
故答案为：50，25；
(2)男生成绩较好，理由为：男生成绩的中位数比女生成绩的中位数高；
(3) (人)，
答：我校男生、女生各900人，那么估计此次参加问卷测试成绩不低于26分的人数有774人．
【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是掌握并熟练运用这
些知识点．
10．(2022·江苏南通·二模)峰峰老师为了解所教1班、2班同学们(各有40名学生)的经典文化知识掌握情况，
从两个班级中各随机抽取10名学生进行了检测，成绩(百分制)如下：
1班：79，85，73，80，75，59，87，70，75，97．
2班：92，45，80，82，72，81，94，83，70，81．
峰峰老师的简要分析：
平均数 众数 中位数 方差
1班 78 75 77 964
2班 78 81 81 1704
请你解决以下问题：(1)若对这两个班级的所有学生都进行检测，估计这两个班级内成绩为优秀(不少于80
分)的学生一共有多少人？(2)比较这两个班级的经典文化知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由(至
少从两个不同的角度比较)．
【答案】(1)估计共有44人(2)2班同学对经典文化知识的掌握更好一些，理由见解析．
【分析】(1)求个不少于80分的人数所占比例乘以40即可求解；
(2)从平均数，众数，中位数，方差四个方面分析即可求解．(1) (人)．
答：估计共有44人．
(2)从平均数看，均为78，说明两个班的学生对经典文化知识掌握的总体水平大体相当；
从众数、中位数看，均是2班略高于1班，说明2班掌握的总体水平略优于1班长班；
从方差看，1班的方差比2班小，1班数据离散程度相对小一些，说明1班所有同学经典文化知识掌握的水
平相对均衡；
综合以上几个方面，总的看来，2班同学对经典文化知识的掌握更好一些．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2021·江苏扬州·九年级期末)小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，你作为他的知心朋
友你建议他应聘时最需要关注该公司所有员工工资的( )
A．中位数 B．极差 C．方差 D．平均数
【答案】A
【分析】根据中位数、方差、平均数的意义可直接进行排除选项．
【详解】解：小明想了解自己入职后的工资情况应关注该公司员工工资的中位数；
故选A．
【点睛】本题主要考查中位数、方差、平均数，正确理解中位数、方差、平均数的意义是解题的关键．
2．(2022·浙江·桐乡市高桥镇高桥初级中学九年级期中)现有甲组数据：1、2、3、4、5，乙组数据：11、
12、13、14、15；若甲、乙两组的方差分别为a、b，则a、b的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得出乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，所以数据的波动性不变，
方差相等，即可得出结果．
【详解】解：∵乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，
∴数据的波动性不变，∴甲、乙两组数据的方差相等，
∴ ．故选：A
【点睛】本题考查了方差，解本题的关键在理解在每个数据上同加一个相同的数，则新数据的方差与原来
的方差相同．3．(2022北京·九年级阶段练习)电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有
两类电影的好评率数据发生变化，那么第____类电影的好评率增加0.1，第____类电影的好评率减少0.1，
可以使获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．
【答案】 五 二
【分析】只要两类电影的好评率发生变化，根据各类电影的部数即可确定答案.
【详解】∵表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，某类电影的好评率增加0.1，某类电影的好评率
减少0.1，且第五类的电影部数最多，第二类的电影部数最少，
∴只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可以使获得好评的电影总部数与样本
中的电影总部数的比值达到最大．故答案为：五，二.
【点睛】此题考查统计量的选择，利用表格中的各类电影的部数确定变化的依据是解题的关键.
4．(2022·河北·石家庄市九年级阶段练习)一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则
x=___________，已知一个样本－1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差为s2＝_______．
【答案】 22 6
【分析】(1)中位数是21，这组数据有6个数，是偶数，因此21是最中间的两个数的平均数，再把这些数
从小到大排列，16，18，20都比中位数21小，所以x排在20后面，进而求得x的值；
(2)先根据平均数是2求出x的值，再根据方差公式求解．
【详解】解：(1)根据题意和中位数的定义，21是最中间的两个数的平均数，
∵16，18，20都比中位数21小，
∴x排在20后面，
∵20与23的平均数大于21，
∴x排在23前面，
∴该组数据从小到大排列为：12，18，20，x，23，27，
∴ ，
解得 ，
故答案为：22；(2)∵样本－1，0，2，x，3的平均数是2，
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查利用中位数、平均数求未知数据的值，以及计算方差等知识点，熟练掌握中位数、平均
数、方差的定义是解题的关键．
5．(2022·山东·兴安中学八年级阶段练习)某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是180，184，188，
190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员
的身高平均数________，方差________．(变大、变小、不变)
【答案】 变小 变小
【分析】根据平均数的定义可分别求出原数据和新数据的平均数；根据方差公式求出变化前后的方差比较
即可．
【详解】解：原数据的平均数为： =188(cm)，
新数据的平均数为： =187(cm)，
∵188>187，
∴平均数变小；
换人前身高的方差为： ×
= ．
换人后身高的方差为： ×
= ；
∵ > ，
∴方差变小；
故答案为：变小；变小．【点睛】本题考查了平均数的定义和方差公式，熟练掌握平均数和方差的定义和公式是解题关键．
6．(2022·山西临汾·七年级期末)一个样本容量为200的样本，其数据的最大值为118，最小值为21，取组
距为20，则可以分成______组．
【答案】5
【分析】用最大值减去最小值求出极差，然后除以组距即得到组数．
【详解】解： (组)，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查频数分布表的制作方法，根据统计中分组的方法和步骤，利用组数 最大值-最小
值 组距进行计算即可．
7．(2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习)2022年5月10日中共中央宣传部、中国公安部联合启动
“全民反诈在行动”集中宣传月活动，同时联合教育部启动了“反诈宣传进校园”活动．进一步加强宣传
教育，营造全民反诈、全社会反诈浓厚氛围．某学校为了调查学生关于反诈骗知识的了解情况，在七、八
年级各随机选取20名学生进行测试(成分共分为四个等级A：100分；B：90-99分，C：80-89分；D：80
分以下，满分100分，90分及以上为优秀)，并对成绩进行整理描述和分析，以下是部分信息：
七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图所示：
其中C等级的学生分数为：80，80，83，84，85，85，86，86，88，89．
八年级20名学生的测试成绩整理如表：
分 9
73 81 82 85 88 91 94 96 100
数 2
人
1 3 2 3 1 3 1 4 1 1
数
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
年级 平均分 中位数 众数 优秀率七年级 88 a 91 40%
八年级 88 89.5 b c%
根据以上信息，解答下列问题
(1) ______， ______， ______；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级反诈骗知识掌握更好？请说明理由；
(3)为鼓励学生继续关注反诈骗宣传知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“反诈骗小达人”荣
誉称号，已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名．
【答案】(1) 87； 94； 50
(2)八年级，理由见详解
(3)1350
【分析】(1)将七年级的数据进行排序后，第10个和第11个数据的平均数就是中位数，八年级出现次数最
多的数据就是众数，用优秀的人数除以总人数即可求出优秀率；
(2)根据平均数，中位数和优秀率作答即可；
(2)用总人数乘以优秀率进行计算即可．
(1)
解：将七年级的数据进行排序，第10个和第11个数据分别为：86和88
∴ ．
八年级出现次数最多的数据为：94
∴ ．
八年级90分以上的人数为：3+4+1+1+1=10
∴
∴ ．
(2)
解：八年级掌握更好；理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，但是八年级的中位数和优秀率都比七年级的高，所以八年级掌握的更好．
(3)
解：七年级的反诈骗小达人人数为： (人)
八年级的反诈骗小达人人数为： (人)∴总人数为： (人)
∴这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有1350人．
【点睛】本题考查数据的收集，以及利用样本估计总体数量：注意在求中位数的时候要先将数据进行排序，
众数是出现次数最多的数据，可能不唯一；准确的求出样本所占百分比是估计总体数量的关键．
8．(2022·吉林·长春九年级阶段练习)某校有 名学生参加了期中考试，对于语文和数学两科成绩，随机调
查了 名学生，并对数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息，
这 名学生数学成绩的频数分别如下：
成绩 分 频数(人数)
合计
这 名学生数学成绩在 这一组的具体成绩是：
， ， ， ， ， ， ，
数学、语文学生样本成绩的平均数，中位数，众数如表所示：
平均数 中位数 众数
数学
语文
根据以上信息，解得下列问题：(1)表中 的值是______．
(2)在学生样本成绩中，一名学生某科的成绩是 分，他在抽取的学生中单科排在前 名，根据表中数据
判断该生成绩所属学科为______(填“数学”或“语文”)，并说明理由______；
(3)本次数学考试成绩不低于 分的学生可获得“景润杯”奖项，请估计此次考试学校获奖的人数．
【答案】(1)108.5
(2)语文， 分高于这 名学生语文成绩的中位数
(3)66名【分析】(1)直接根据中位数的定义求解即可；
(2)直接根据中位数的意义判断即可；
(3)用学校总人数乘以本次数学考试成绩不低于 分的学生所占的比例即可．
(1)由题意可知，这 名学生的数学成绩的中位数为 ，故答案为： ；
(2)因为 分低于数学成绩的中位数，而 分却高于语文成绩的中位数，故该生成绩所属学科为语文，
故答案为：语文， 分高于这 名学生语文成绩的中位数；
(3)本次数学考试成绩不低于 分的学生数为 名 ，
故此次考试学校获奖的人数为 名学生．
【点睛】本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数的定义、中位数的意义、用样本估计总体的方
法是解答此题的关键．
9．(2022·广东·九年级单元测试)2021年2月25日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣布我国脱贫
攻坚战取得全面胜利．某县为了积极助力脱贫攻坚工作，推进了农村电子商务发展，将甲、乙两村特产
“脐橙”放到某电商平台进行销售(每箱脐橙规格一致)，该平台从甲、乙两村各抽取15户进行了抽样调查，
并对每户每月销售的脐橙箱数(用x表示)进行了数据收集、整理、分析，部分信息如下：
甲村卖出的脐橙箱数为400 ≤ x < 500的数据有： 400，490，460，450，470；
乙村卖出的脐橙箱数为400 ≤ x < 500的数据有：400，450，480，460．
脐橙箱数 甲村 乙村
x＜300 0 1
300≤x＜400 3 a
400≤x＜500 5 4
500≤x＜600 5 5
x≥600 2 b
平均数、中位数、众数如表所示
村名 平均数 中位数 众数
甲村 488 m 590
乙村 474 460 560根据以上信息，解答下列问题：(1)表中a= ，b= ，m= ．
(2)你认为甲村、乙村两村中哪个村的脐橙卖得更好？请说明理由．(写出一条理由即可)
(3)在该电商平台进行销售的甲村、乙村两村村民共360户，若该电商平台把每月的脐橙销售量在450 ≤ x
< 600范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
【答案】(1)4，1，460
(2)甲村、乙村两村中甲村的脐橙卖得更好，理由见解析
(3)估计两村共有204户村民会被列为重点培养对象
【分析】(1)根据抽样15户甲村每户销售脐橙的箱数，可求出m的值，再根据乙村的中位数是460，可得出
a=4，进而求出b的值；(2)从平均数、众数的比较得出答案；
(3)求出每月的脐橙销售量x在450≤x＜600范围内的村民所占得百分比即可．
(1)解：甲村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据从小到大排列：400，450，460，470，490，
可知中位数m=460，由于乙村的中位数是460，而x＜300的频数是1，400≤x＜500的频数为4，共有15个
数据，中位数是从小到大排列后的第8个，
因此a=4，所以b=15-1-4-4-5=1，故答案为：4，1，460；
(2)解：甲村的脐橙卖得更好，理由为：甲村的平均数、众数都比乙村的高；
(3)解：根据表格中的数据可知，甲村卖出的脐橙箱数在450≤x＜600的有9户，乙村卖出的脐橙箱数在
450≤x＜600的有8户，[(4+5)+(3+5)]÷30×360=17×12=204(户)，
答：估计两村共有204户村民会被列为重点培养对象．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握平均数、
中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
10．(2022·内蒙古·满洲里市第十二学校八年级期末)学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动
了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教
练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明 13.3 0.004
李亮 13.3(1)张明第2次的成绩为： 秒；
(2)张明成绩的平均数为： ；李亮成绩的中位数为： ；李亮成绩的方差为
(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
【答案】(1)13.4；
(2)13.3，13.3，0.02；
(3)选择张明参加比赛，理由见解析．
【分析】(1)根据统计图给出的数据可直接得出答案；
(2)利用平均数的计算公式可得出张明成绩的平均数；先将李亮的成绩按照从小到大排列，然后即可得到这
组数据的中位数；
(3)在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差越小数据越稳定，即可得出答案．
(1)
解：根据统计图可知，张明第2次的成绩为13.4秒，
故答案为：13.4；
(2)
张明成绩的平均数为： =13.3(秒)；
李亮的成绩是：13.2，13.4，13.1，13.5，13.3，
把这些数从小到大排列为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5，
则李亮成绩的中位数是：13.3秒；
李亮的方差为：
故答案为：13.3，13.3，0.02；
(3)
选择张明参加比赛，因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩比李亮成绩稳定．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数
据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数
据波动大小的量．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校八年级阶段练习)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是
8，以下说法错误的是( )
A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8
【答案】C
【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可．
【详解】 一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，
，
解得 ，
这组数据为：5，8，8，9，10，
极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意；
众数是8，故B选项正确，不符合题意；
中位数是8，故C选项错误，符合题意；
方差= ，
D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极
差的概念是解题的关键．
2．(2022·山东八年级期中)在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺
冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩和俄罗斯选手加拉申娜每轮(两枪之
和)的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格：
姓名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 合计 方差杨倩 20.9 21.7 21.0 20.6 21.1 21.3 20.5 147.1 0.144
加拉申
21.6 20.2 21.4 21.5 21.4 20.9 19.7 146.7 0.465
娜
请根据表格信息，下列说法错误的是( )
A．在决赛淘汰阶段，杨倩比加拉申娜多0.4环
B．通过比较两人的方差可以看出，杨倩比加拉申娜发挥的更稳定
C．杨倩这7轮数据的中位数为20.6环
D．加拉申娜这7轮数据的众数为21.4环
【答案】C
【分析】根据表格中的数据逐项分析可得答案.
【详解】解：A. (环)，故正确，不符合题意；
B. ，所以杨倩的发挥更稳定，故正确，不符合题意；
C. 杨倩这7轮数据的中位数为21.0环，故错误，符合题意；
D. 加拉申娜这7轮数据的众数为21.4环，故正确，不符合题意.故选：C.
【点睛】本题考查中位数、众数、方差，掌握中位数、众数、方差的定义是解题关键.
3．(2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习)八年级一班的平均年龄是12.5岁，方差是40，过一年后该班
学生到九年级时，下列说法正确的是( )
A．平均年龄不变 B．年龄的方差不变 C．年龄的众数不变 D．年龄的中位数不变
【答案】B
【分析】根据题意求出一年后该班学生的平均年龄和方差，结合选项得到答案．
【详解】解：过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是13.5岁，方差是40，年龄的众数，年龄的中位数
都比原来多1，故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数、方差的知识，掌握当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即
数据的波动情况不变是解题的关键．
4．(2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习)若 的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ，则数据
的方差是_______．
【答案】0
【分析】确定出a，b，c后，根据方差的公式计算a，b，c的方差
【详解】】解：平均数 ；中位数 ；众数 ；
∴ 的方差 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，解题的关键是正确理解各概念的含义．
5．(2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期中)一组数据的方差计算公式为
，则这组数据的方差是______．
【答案】
【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【详解】解：平均数为： ，
故方差是： ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．样本方差
，其中n是这个样本的容量， 是样本的平均数
6．(2022·福建·福州日升中学八年级期中)如果有一组数据-2，0，1，3， 的极差是6，那么 的值是
_________．
【答案】4或-3##-3或4
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．
【详解】解：∵3-(-2)=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，
∴当x为最大值时，x-(-2)=6，解得x=4；
当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．故答案为：4或-3．
【点睛】此题考查极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．
7．(2022·北京市第三十五中学九年级开学考试)为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三
年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成
绩)进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：
参与奖 优秀奖 卓越奖
人数 10 10 10
第一次竞
赛
平均分 82 87 95
人数 2 12 16
第二次竞
赛
平均分 84 87 93
(规定：分数 90，获卓越奖；85 分数<90，获优秀奖；分数<85，获参与奖)
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d． 两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
第一次竞赛 m 87.5 88
第二次竞赛 90 n 91
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出m，n的值；(3)可以推断出第 次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是
．
【答案】(1)见解析；(2)88，90；(3)二，理由需支持推断
【分析】(1)根据统计图找出的点(89,91)的位置，可以确定小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成
绩是91分圈出即可；(2)根据加权平均数与中位数定义可求；(3)利用平均数、中位数、众数进行决策即可．
【详解】解：(1)根据表中数据找出第一次考试成绩在89分这一列，位于表中第二次考试成绩91分横行，横列交叉位置 ∴圈出的数代表小松同学第一次成绩是89分，第二次成绩91分
(2)第一次竞赛成绩 分 ,
第二次竞赛获卓越奖的学生成绩排序如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
第二次竞赛学生成绩为30人，是偶数，中位数位于 ，16位置
∵参与+优秀=2+12=14人，
∴15，16位置的两名学生成绩为90分，90分，
中位数是 分,∴m=88，n=90．
(3)根据平均数第二次90分 第一次88分，根据中位数第二次90分 第一次87.5分，从众数看第二次91
分 第一次88分，可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．故答案为：二．
【点睛】本题考查统计图分析，加权平均数、中位数、众数，掌握统计图分析方法，加权平均数、中位数、
众数数据分析，利用数据分析进行决策．
8．(2022·四川乐山·八年级期末)“新冠肺炎”疫情无疑是对我们每一人的一场生存教育，关注生存环境，就
是关注生命．随机抽取某市一年当中若干天的空气质量进行统计分析，其结果如下：
空气质量统计表
污染指数( ) 40 70 90 110 130 140
天数( ) 3 5 10 8 3 1
频数分布表分
40～60 60～80 80～100 100～120 120～140 合计
组
频
3 5 10 8 4
数
频
0.167 0.333 0.267 0.133
率
请仔细观察所给的图表，解答下列问题：(1)请补全统计图；
(2)如果 时，空气质量为良； 时，空气质量为轻微污染，估计该城市一年(365天)中有
多少天空气质量为轻度污染？(3)请从平均数、众数及中位数三个特征量中，选择你认为适当的一个特征量
对该城市一年空气质量的总体情况进行估计和描述，并说明这种估计的合理性．
【答案】(1)见解析；(2)146天；(3)见解析
【分析】(1)由频数分布表(Ⅱ)可求出 段的频率和频数的和；
(2) 时，空气质量为轻微污染，求出30天中 的天数的频率，可得结果；
(3)求出该组数据的平均数，中位数和众数；再根据它们的意义分析．
【详解】解：(1)图如下面；
分组 40 60 60 80 80 100 100 120 120 140 合计
频数 3 5 10 8 4 30
频率 0.1 0.167 0.333 0.267 0.133 1(2)估计该城市一年 年)中有 天空气质量为轻微污染；
(3)该组数据的平均数为 ，中位数和众数都为90．用中位数
或众数来估计质量状况．平均数受极端特异数的影响较大；出现90的天数最多．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数及平均
数的意义．
9．(2022·重庆市开州区德阳初级中学九年级阶段练习)2021年，全世界自然灾害形势严峻，洪水、地震等
不仅给人们的财产带来巨大损失，更是威胁着人们的生命安全．保护生态环境即是保护民生，功在当代，
利在千秋；做好综合环境治理，协调人与自然的关系，以求人和自然和谐相处迫在眉急．近日，某校组织
了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了
解学生的测评情况，该校在七、八年级中分别抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，
且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是A： ； ： ； ： ； ：
； ： ．并给出了部分信息：
【一】八年级D等级的学生人数占八年级抽取人数的20% ；
七年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75；
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数
七年级 76 a 72
八年级 76 75 73
(1)填空：a = ，m = ，补全条形统计图；(2)根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一
个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由(说明一条即可)．
(3)若分数不低于90分表示该生对防自然灾害知识测评等级为优秀，且该校七年级有1000人，八年级有
1200人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识测评等级为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)74，32，补全条形统计图见解析
(2)八年级的学生对防自然灾害知识掌握较好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识测评等级为优秀的学生共有400人
【分析】(1)根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值，根据八年级D等级的学
生人数占七年级抽取人数的20%求出八年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形
统计图；(2)根据表格中的数据，由中位数和众数的大小判断即可；
(3)分别求出该校七、八年级不低于90分的人数，再相加即可求解．
(1)解：根据题意，由七年级学生防自然灾害知识测评分统计图可知，
，∴m＝32，
七年级学生中，测评成绩A级有 人，B级有 人，C级有 人，D级有
人，E级有 人，
测评成绩按从小到大排列，其中第25、26位为C级中74、74两个成绩，
可知七年级测评成绩中位数为 ，故答案为：74，32；
八年级D等级的学生人数为：50×20%＝10人，E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2人，
故补全条形统计图如图：(2)解：八年级的学生对防自然灾害知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级测评成绩的中位数和众数较高，因此八年级的测评成
绩较好；
(3)解： (人)
答：估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识测评等级为优秀的学生共有400人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、众数等知识，解答本题的关键是明确题意，灵活运
用所学知识解答问题．
10．(2022·北京东城·二模)某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新
水平进行了评估。科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成(以下简称：综合指数、
总量指数和效率指数)。该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、
整理、描述和分析。下面给出了部分信息：
a．综合指数得分的频数分布表(数据分成6组： ， ， ，
， )：
综合指数得分 频数
8
16
8
2
1合计 40
b．综合指数得分在 这一组的是：
70.0 70.4 70.6 70.7 71.0 71.0 71.1 71.2 71.8 71.9 72.5 73.8 74.0 74.4 74.5 74.6
c．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
(数据来源于网络《2021年中国城市科技创新指数报告》)
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分的频数分布表中， ______________；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为____________；
(3)以下说法正确的是____________．
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．
【答案】(1)5(2)73.9(3)②
【分析】(1)用总数减去其它各组频数即可得出m的值；
(2)根据中位数的定义判断即可，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数；(3)根据图表数据判断即可．
(1)m＝40﹣8﹣16﹣8﹣2﹣1＝5，故答案为：5；
(2)40个城市综合指数得分从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为73.8，74.0，故中位数为73.9，故答案为：73.9；
(3)由题意可知，某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是84分，故①说法错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故②说法
正确．故答案为：②．
【点睛】本题考查了频数分布表、统计图、中位数；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
