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22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标：1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的
联系，灵活运用相关概念解题．
教学重难点：灵活掌握二次函数图像和数形结合思维应用。
知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系
例题：已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b（a＜b），则二
1 2
次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜aB．x＞bC．a＜x＜b D．x＜a或x＞b
【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b（a＜b），
1 2
∴二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线的
开口方向向上，
∴该二次函数的图象如图所示：
根据图示知，符合条件的x的取值范围是：a＜x＜b；
故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．
变式 1：若二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2﹣2ax+c=0 的解为
x =﹣1 ， x =3 ．
1 2
【分析】二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则当 x=0 时，y=0，即 ax2﹣
2ax+c=0的解是x=﹣1，据此求解．
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴当x=1时，ax2﹣2ax+c=0成立，
∴方程ax2﹣2ax+c=0的一个解是x =﹣1．
1
∴a+2a+c=0，∴c=﹣3a，
∴原方程可化为a（x2﹣2x﹣3）=0，
∵a≠0．
∴x2﹣2x﹣3=0，
∴x =﹣1，x =3，
1 2
故答案是：x =﹣1，x =3．
1 2
【点评】本题拷出来方程的解与二次函数的关系，求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横
坐标．
变式 2：函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣3=0 的根的情况是
方程 a x 2 + b x + c﹣3=0 有两个相等的实数根 ．【分析】根据二次函数图形的变换可知将函数 y=ax2+bx+c的图象往下平移3个单位即可得出
函数 y=ax2+bx+c﹣3 的图象，由此即可得出抛物线的顶点纵坐标为 0，进而可得出方程
ax2+bx+c﹣3=0的根的情况．
【解答】解：将函数y=ax2+bx+c的图象往下平移3个单位即可得出函数y=ax2+bx+c﹣3的图象，
∵函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，顶点纵坐标为3，
∴函数y=ax2+bx+c﹣3的图象与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根．
故答案为：方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是找出函数y=ax2+bx+c﹣3的图象与x
轴只有一个交点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记图形移动“左加右
减，上加下减”的规则是关键．
知识点二：用图像法估算一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
例题：二次函数 y=﹣x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程﹣
x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的
交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于 x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线 y=﹣x2+mx与直线
y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象
法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．变式 1：已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表，则方程
ax2+bx+c=0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故
可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选：C．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 y由正变为负时，
自变量的取值即可．
变式2：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图
所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程 ax2+bx+c=0的一个根x 的取值范围是2＜x ＜
1 1
3，则它的另一个根x 的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 0 ．
2 2
【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质，可以把图象与x轴另一个交点的取值范围确定．
【解答】解：由图象可知x=2时，y＜0；x=3时，y＞0；
由于直线x=1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y＜0；x=﹣1时，y＞
0；
所以另一个根x 的取值范围为﹣1＜x ＜0．
2 2故答案为：﹣1＜x ＜0．
2
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图象信息确定出图象与 x轴交点
的位置是解题的关键．
拓展点一：求抛物线与坐标轴的公共点坐标
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关
于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即y=c，即可求得交点
纵坐标．
例题：已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，
0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用
二次函数图象与 x轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与 x轴的另一交点坐标，此
题得解．
【解答】解：二次函数y=x2﹣5x+m的图象的对称轴为直线x= ．
∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴另一交点坐标为（ ×2﹣1，0），即（4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线与 x轴的两交点
关于对称轴对称是解题的关键．
变式1：关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
【分析】根据平移可知：将抛物线 y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线 y=
（x﹣3）（x﹣5）﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．
【解答】解：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线 y=（x﹣3）（x
﹣5）﹣m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）
（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴α＜3＜5＜β．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出
函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
变式2：若二次函数y=﹣x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m﹣6，0），该函数图象向
下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．36
【分析】设交点式为 y=﹣（x﹣m）（x﹣m+6），在把它配成顶点式得到 y=﹣[x﹣（m﹣
3）]2+9，则抛物线的顶点坐标为（m﹣3，9），然后利用抛物线的平移可确定n的值．【解答】解：设抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）（x﹣m+6），
∵y=﹣[x2﹣2（m﹣3）x+（m﹣3）2﹣9]
=﹣[x﹣（m﹣3）]2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（m﹣3，9），
∴该函数图象向下平移9个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，
即n=9．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
拓展点二：抛物线与x轴公共点个数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
例题：若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x =1，x =2，那么抛物线y=x2+bx+c
1 2
的对称轴为直线（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x= D．x=﹣
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与 x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即
可得出抛物线的对称轴．
【解答】解：∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x =1、x =2，
1 2
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x= = ．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与 x轴的交点横
坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．
变式1：二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=16＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴有2个交点．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，是基础题型．
变式2：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的
根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A．b＜0，c＜0，△＞0 B．b＞0，c＞0，△＞0 C．b＞0，c＜0，△＞0 D．b＜0，c＞0，△
＜0
【分析】根据抛物线的性质即可求出答案．
【解答】解：由图象与y轴的交点位置可知：c＜0，由图象与x轴的交点个数可知：△＞0，
由图象的开口方向与对称轴可知：a＞0， ＞0，
从而可知：b＜0，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属
于基础题型．
拓展点三：利用二次函数的图像解决问题
例题：如图，关于x的二次函数y=2x2﹣4x+c的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正
半轴于 C点，如果 x=a 时，y＜0，那么关于 x的一次函数 y=（2﹣a）x﹣c 的图象可能是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=1可得出点B的横坐标小于2、c＞0，进而可得出2﹣a
＞0、﹣c＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于 x的一次函数y=（2﹣a）x﹣c
的图象经过第一、三、四象限，此题得解．
【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣4x+c的图象的对称轴为直线x=1，二次函数y=2x2﹣4x+c的图
象交x轴的正半轴于A、B两点，交y轴的正半轴于C点，∴点B的横坐标小于2，c＞0，
∴a＜2，﹣c＜0，
∴2﹣a＞0，
∴关于x的一次函数y=（2﹣a）x﹣c的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点以及一次函数图象与系数的关系，牢记 k＞0，b＜
0 y=kx+b的图象在一、三、四象限是解题的关键．
⇔
变式1：已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若连接该函数与坐标轴的交点所得到
的三角形面积为20，则该函数的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴可求出抛物线与 x轴的另一交点坐标，结
合该函数与坐标轴的交点所得到的三角形面积为 20，可求出c的值（对于选择题来说，求出
c值结合选项即可找出正确选项），由两交点坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，
利用配方法将其变形为顶点式即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣5，0），
∴S= ×[3﹣（﹣5）]c=20，∴c=5．
将（﹣5，0）、（3，0）代入y=ax2+bx+5，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+5=﹣ （x+1）2+ ，
∴该函数的最大值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点坐标、二次函数的最值以及待定系数法求出二次函
数解析式，由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键．
变式2：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x2+4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】利用图象可对①进行判断；利用函数图象不在 x轴上方所对应的自变量的范围可对
②进行判断；利用待定系数法求出抛物线解析式，则可对③进行判断；根据二次函数的性质
可对④进行判断．
【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确；
当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误；
抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），
所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确；
当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
拓展点四：表格信息题
例题：已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0
的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元
二次方程关系正确理解的基础上的．
变式1：下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
变式2：如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方
程ax2+bx+c= （a≠0）的一个解x的取值范围是 6. 3 ＜ x ＜ 6. 4 ．
x 6.1 6.2 6.3 6.4
y=ax2+bx ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4
+c
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.2～6.3之间由负到正，故可判断ax2+bx+c= 时，对应的x的值在6.3～6.4之间．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.1 和 0.2 更接近于 0，故一元二次方程 ax2+bx+c=
（a≠0）的一个解x的取值范围是6．：3＜x＜6.4．
故答案为：6.3＜x＜6.4．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 y由正变为负时，
自变量的取值即可．
拓展点五：综合探究题
例题：已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴
翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 y=﹣x+m与
新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠
部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m
经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公
共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，当 y=0时，﹣x2+x+6=0，解得 x =﹣2，x =3，则A（﹣2，0），B（3，
1 20），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣
3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线 y=﹣x+m与抛物线 y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程 x2﹣x﹣6=﹣x+m
有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几
何变换．
变式1：四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；
乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当x=2时，y=4，已
知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出 b、c的值，然后利用二次函
数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．
当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，
∴乙的结论不正确；
当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特
征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
变式2：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，
0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣ =﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y=a﹣b+c=3，
∴y=a﹣2a+c=3，
即c﹣a=3，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．
易错点：根据二次函数的图像解题时易忽略题目中的隐含信息
例题：如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且
OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．b＜2a C．a+b=﹣1D．a﹣b=﹣1
【分析】根据OC=1，可得c=1，然后根据x=1时，y＞0，可得a+b+1＞0，所以a+b＞﹣1；根
据抛物线开口向上，可得 a＞0；然后根据c=1，可得ac＞0；根据OA=1，可得x=﹣ ＜﹣
1，然后根据a＞0，可得b＞2a；根据OA=1，可得x=﹣1时，y=0，所以a﹣b+c=0，然后根据
c=1，可得a﹣b=﹣1，据此判断即可．
【解答】解：
∵OC=1，
∴c=1，
又∵x=1时，y＞0，
∴a+b+1＞0，
∴a+b＞﹣1，
∴选项C不正确；∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
又∵c=1，
∴ac=a＞0，
∴选项A不正确；
∵OA=1，
∴x=﹣ ＜﹣1，
又∵a＞0，
∴b＞2a，
∴选项B不正确；
∵OA=1，
∴x=﹣1时，y=0，
∴a﹣b+c=0，
又∵c=1，
∴a﹣b=﹣1，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0
时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号
时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：
左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．变式1：如图，二次函数y=ax2+2x﹣3的图象与x轴有一个交点在0和1之间（不含0和1），
则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1C．a＞ D．a＞﹣ 且a≠0
【分析】首先观察图象可得a＞0，再把x=1代入即可解．
【解答】解：∵b2﹣4ac＞0，
∴4﹣4×a×（﹣3）＞0，
解得，a＞﹣ ，
由二次函数得图象可知a＞0，当x=1时y=a+2﹣3＞0，即a＞1．
故选：A．
【点评】此题较简单，关键是要根据图象找出函数满足的条件，列出不等式求解．
变式2：二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1
y ﹣2 ﹣2 0
下面四个说法正确的有（ ）
①抛物线的开口向上 ②当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
③二次函数的最小值是﹣2 ④﹣4是方程ax2+bx+c=0的一个根．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个【分析】观察表格，可以对称抛物线的对称轴位置，开口方向，增减性、最小值问题即可．
【解答】解：∵由表可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，①正确；
由题意抛物线的对称轴为x=﹣ ，
∴当x＞﹣ 时，y随x的增大而增大，②错误；
因为x=﹣ 时，y有最小值，
∴y的最小值不是﹣2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为x=﹣2.5，且抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0），
∴﹣4是方程ax2+bx+c=0的一个根，④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会看懂表
格信息，灵活运用所学知识解决问题．
