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22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计
课题 22.2二次函数与一元二次 单元 第22章 学科 数学 年级 九年级
方程
学习 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
目标 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数
形结合思想.
4.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点 观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.
难点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.一元二次方程的根的判别式? 学生回忆、思 回顾前面所学
△=b2-4ac 考并回答问 知识，为下面内
△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根 题. 容的学习奠定基
△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根 础.
△=b2-4ac<0，方程无实数根
2. y=x2-4x，当y=7时，
二次函数y=x2-4x与x轴的交点是(0,0)(4,0)
讲授新课 环节一：推导公式 自主探究，合 利用图象求出方
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 作交流，同构 程的根，体会知
30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛 具体问题理解 识间的联系，形
物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 二次函数图象 成知识网络.
h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关 与一元二次方
系：h=20t-5t2， 程的联系.
考虑以下问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需
要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要
多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
分析 由于小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可
以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的
一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明
小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则说明
小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解：(1)解方程
15=20t-5t2
t2-4t+3=0
t=1，t=3.
1 2
当球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
结合图形，说一说为什么在两个时间下球的高度为
15 m？
h
15
O t
纵坐标为15的点有两个，分别对应两个点的横坐
标.
(2)解方程：
20=20t-5t2
t2-4t+4=0
t=t =2.
1 2
当球飞行2 s时，它的高度为20 m.
h
O t
结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度
为20 m？
图象中只有一个最高点，对应地自变量只有一个值.
(3)解方程：
20.5=20t-5t2
t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)小球飞出时和落地时的高度都为0 m.
解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t=0，t=4.
1 2
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小
球从飞出到
到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小
球落回地面.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密
切．
例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变
量 x 的值，可以看作是解一元二次方程 -x2＋
4x=3(即x2－4x+3=0)．
反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次
函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量 x 的值．
思考 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如
果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横
坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的
一元二次方程的根吗？
(1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.
图象如图所示：
y
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9
y = x2 ＋x －2
o x
1
可以看出：
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的
横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值为
0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
（2）抛物线y = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，它
们的横坐标是3. 当x=3时，函数值为0.由此得出方
程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根是3.
（3）抛物线y = x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可
知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系（即与 x
轴交点个数及交点坐标）.
小结：
利用二次函数的图象求一元二次方程根的解题步
骤：
1.画：在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.找：在图象中找出抛物线与 x 轴的公共点（交点）
的个数及坐标；
3.定：根据公共点（交点）的横坐标确定对应一元二
次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-
4ac>0
借助典型例
有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0
题,展示利用
没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
二次函数图象
环节二：典例解析
求一元二次方 培养学生利用函
例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果
程近似值的步 数图象求方程实
保留小数点后一位).
骤，并进行总 数根的步骤.
分析 1.画出图象，利用函数图象与方程的关系进行 结.
分析；
2.结果保留小数点后一位即精确到0.1.
解：画出y=x2-2x-2的图象
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x≈ -0.7，x≈2.7.
1 2
你还有其他方法吗？
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元
二次方程的根.
观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为
2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自
变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.
因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2<x<3这一段经过x轴.即当x取2<x<3的某个值时，函数值为
0.
我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围. 例如，取2、3的平均数2.5，用计算器算出对
应地函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异
号，所以这个根在2.5，3之间. 取2.5、3的平均数
2.75，用计算器算出对应地函数值为0.0625，与自变
量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75
之间.
重复上述步骤，得出：在这个根在2.625、2.75之间，
要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值不小
于0.1，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将
2.6875作为根的近似值.
用同样的方法估计方程的另外一个根的近似值.
这种求根的近似值的方法也适合用于更高次的一
元方程.
环节三：课堂练习
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x=6,x =8
1 2
学生练习，师
生互评订正.
学以致用，让学
生理解二次函数
2. 一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x 1 =－2 与一元二次方程
之间的联系.
，x= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交
2
点坐标是(-2,0)，( ,0).
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=1 ，此时抛物线 y=x2－
2x+m与x轴有1个交点.
4. 已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x
轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-
3x+m=0的两实数根是( B )
A.x=1,x =-1 B.x=1,x =2
1 2 1 2
C.x =1,x =0 D.x =1,x=3
1 2 1 25.若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个公共点，则a
的取值范围是 ( D )
A.a＞0 B.a＞
C.a＞ D.a＜ 且a≠0
6.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回
答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2) x取什么值时，函数值大于0；
(3) x取什么值时，函数值小于0.
解：图象如图所示.
(1) 方程x2-2x-3=0的解为x=-1，x=3.
1 2
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -1<x<3时，函数值小于0.
小结：从图象上观察，函数值大于0，是指x轴上方
的图象；函数值小于0，是指x轴下方的图象.
课堂小结 二 次 函 数 一元二次方程 b2-4ac 师生共同梳理 强化本节课的知
y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 本节课的知识 识点.
的图象与 x轴 的根 点.
交点
有两个交点 有两个不相等 b2-4ac>0
的实数根
有一个交点 有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
板书 22.2 二次函数与一元二次方程 教师展示本节 展示本节课的内
图象与x轴交点个数与根的判别式的关系 课的内容. 容.
例1 练习
