专题2-3八种隐圆类最值问题，圆来如此简单（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-3 八种隐圆类最值问题，圆来如此简单 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题 中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这 个“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 01 题型·解读 知识点梳理 题型一 定点定长得圆 2023年湖北省鄂州市中考数学真题 2023·邵阳市中考真题 2023·广西南宁市二模 2022·辽宁抚顺·中考真题 2022·长春·中考真题 题型二 直角的对边是直径 2023·菏泽市中考真题 2022·通辽·中考真题 2023·汕头市金平区一模 2023·广州市天河区三模 2022·成都市成华区二诊 题型三 对角互补得圆 2023年·广元市一模 题型四 定弦定角得圆 2023·成都市新都区二模 2023·成都市金牛区二模 2023·达州·中考真题 题型五 四点共圆 题型六 相切时取到最值 2023·随州市中考真题 2022·江苏无锡·中考真题 2022扬州中考真题 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题 题型八 米勒角（最大张角）模型 徐州中考 02 满分·技巧 知识点梳理 一、定点定长得圆 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹， 并进行计算 y C A M x O B 二、直角的对边是直径 前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定 弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) C C B B A O A O 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 三、对角互补 前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆 D D C C O O A A B B 四、定弦定角模型 定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动 点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算． 前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆 周角，需要根据题目灵活运用) C C α α D O O E α α 2α 2α A B A B 今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的 点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运 动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动) 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 五、四点共圆模型 D D 1 1 C C 3 3 5 P P 6 4 4 2 2 B B A A 前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理 △BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中 长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形 相似也可)，选填题可以直接使用 六、定角定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则 △ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 A A O E O B H D C B D C 问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点 的运动而发生变化的。从而弦 BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD是定值， 因此三角形ABC的面积就有一个最小值。 所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问 题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值． 当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值 可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决． 七、米勒角（最大张角）问题 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时， ∠APB最大? M P θ O A B N 米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题. 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接 圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 C C P P D B B A A 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 M M P P θ θ O O A B N A B N M Q P θ O A B N 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 03 核心·题型 题型一 定点定长得圆 1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重 合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利 用勾股定理求出线段长即可． 【详解】解：连接AM，如图所示： ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵在矩形ABCD中，AC＝ ， AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2 2．如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？ 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】4 【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则 ，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为 为固定点，G在圆上运动，可知当 A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4 2023 年湖北省鄂州市中考数学真题 3．如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ，点 为平面内一动点， ，连接 ， 点 是线段 上的一点，且满足 ．当线段 取最大值时，点 的坐标是（ ） 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】由题意可得点 在以点 为圆心， 为半径的 上，在 轴的负半轴上取点 ， 连 接 ， 分 别 过 、 作 ， ， 垂 足 为 、 ， 先 证 ， 得 ，从而当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，且点 在线段 上时， 取得最大值，然后分别证 ， ，利用相似三角形的性 质即可求解． 【详解】解：∵点 为平面内一动点， ， ∴点 在以点 为圆心， 为半径的 上， 在 轴的负半轴上取点 ，连接 ，分别过 、 作 ， ，垂足为 、 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，且点 在线段 上时， 取得最大值， 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 轴 轴， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 即 ， 解得 ， 同理可得， ， ∴ 即 ， 解得 ， ∴ ，∴当线段 取最大值时，点 的坐标是 2023·邵阳市中考真题 4．如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿 运动．当点 不 与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的 最小值为 ． 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【思路点拨】根据折叠的性质得出 在 为圆心， 为半径的弧上运动，进而分类讨论当点 在 上时， 当点 在 上时，当 在 上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形 中， ， ∴ ， ， 如图所示，当点 在 上时， ∵ ∴ 在 为圆心， 为半径的弧上运动， 当 三点共线时， 最短， 此时 ， 当点 在 上时，如图所示， 此时 当 在 上时，如图所示，此时 综上所述， 的最小值为 2023·广西南宁市二模 5．在矩形 中， ，将 绕点B顺时针旋转α（ ）得到 ，连接 ，若 的最 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 小值为2，则 的长为 ． 【答案】4 【思路点拨】根据三角形不等式得到 ，当点B，点E，点D三点共线时， 取得最小 值，得到 ，根据勾股定理计算 即可． 【详解】∵ ， ∴当点B，点E，点D三点共线时， 取得最小值， ∵ , ∴ 的最小值为2， ∴ ， ∵矩形 ， ， ∴ ∴ 2022·辽宁抚顺·中考真题 6．如图，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，点E是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是 ． 【答案】 【详解】解：①分析所求线段 端点： 是定点、 是动点；②动点 的轨迹：正方形 的边长为 10，点E是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 ，因此 动点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆周上，如图所示： 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ③最值模型为点圆模型；④ 最小值对应的线段为 ；⑤求线段长，连接 ，如图所示： 在 中， ，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，则 ，根据勾 股定理可得 ， 当 三点共线时， 最小为 ， 接下来，求 的长：连接 ，如图所示 根 据 翻 折 可 知 ， 设 ， 则 根 据 等 面 积 法 可 知 ， 即 整 理 得 解得 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF， 将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，点 A、B 的对应点分别为 A'、B'，连接 A'D，则 A'D 的最小值为 ___________． 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A′ A E D B′ B F C 【答案】 提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H A′ A E H D O B′ B F C 则△AOE∽△COF ∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝ AC＝ ∴AH＝ AO＝，OH＝ AO＝1 ∴DH＝AD－AH＝4－ ＝，OD＝＝ ∴A'D≥OD－OA'＝ 8．如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F， 连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________． C E D A O F B 【答案】2 提示：连接OD、OE，取OD的中点M，连接ME、MF C C E D E D M M A O F B A H O F B 则OE⊥CD，ME＝MF＝ OD EF≤ME＋MF＝OD，当E、M、F三点共线时EF最大 此时四边形EOFD为矩形，CD∥AB 连接OC，作CH⊥AB于H 则OH＝ CD＝1，AH＝2，CH＝2，AC＝2 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·长春·中考真题 9．如图，在 中， ， ，点M为边 的中点，动点P从点A出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结 ．作点A关于直线 的对称点 ， 连结 、 ．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边 的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段 的长； (3)连结 ，当线段 最短时，求 的面积； (4)当M、 、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ； (3) (4) 或 【思路点拨】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解； （3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得 到当点 D、A′、M 三点共线时，线段 最短，此时点 P 在 AD 上，再证明△PDE∽△ADM，可得 ，从而得到 ，在 中，由勾股定理可得 ，即可求 解； （4）分两种情况讨论：当点 位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点 （ ）位于C M的延长线 上时，此时点P在BD上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DM， 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB=4， ，点M为边 的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴ ， 即点D到边 的距离为3； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上， ； 综上所述，当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ； （3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线 的对称点 ， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上， ∴ ， 根据题意得： ， ， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ，解得： ， ∴ ， 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ； （4）解：如图， 当点M、 、C三点共线时，且点 位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在 中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∴CN=DM=3，MN=CD=4， ∴CM=5， ∴ ， ∵ M=2， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即PF=3FM， ∵ ， ， ∴ ， 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，即AF=2FM， ∵AM=2， ∴ ， ∴ ，解得： ； 如图，当点 （ ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上， ， 过点 作 于点G′，则 ，取 的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H 作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T， 同理： ， ∵HK⊥AB， ， ∴HK∥A′′G′， ∴ ， ∵点H是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即MT=3PT， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵MT+BT=BM=2， 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ，解得： ； 综上所述，t的值为 或 题型二 直角的对边是直径 10．如图，在ABC中，ACB30，AC 4，D为BC上的一个动点，以BD为直径的O与AB相切于 点B，交AD于点E，则CE的最小值为 ． 【答案】 131 【思路点拨】取 AB的中点 F，连接 BE， EF，CF，则 CECFEF．由 AB与 O相切，可得 1 ，通过解直角三角形可得AB AC 2， ， ． ABC 90 2 BC  AC2AB2 2 3 CF  BF2BC2  13 1 根据 是 的直径，可得 是直角三角形，从而EF  AB1，因此 ，即 的最小 BD O ABE 2 CE 131 CE 值为 131． 【详解】取AB的中点F，连接BE，EF，CF，则CECFEF ∵AB与O相切， ∴ABBC，即ABC 90， ∵ACB30，AC 4， 1 1 ∴AB AC 42， 2 2 BC  AC2AB2  4222 2 3． 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点F是AB的中点， 1 1 ∴BF  AB 21， 2 2  2 ∴在 中，CF  BF2BC2  12 2 3  13． RtBCF ∵BD是O的直径， ∴BED90， ∴AEB180BED1809090， ∵点F是AB的中点， 1 1 ∴EF  AB 21， 2 2 ∴CECFEF  131，即CE的最小值为 131 11．（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE 与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________． C F B G E D A 【答案】 【解析】取AD的中点M，连接BM，GM， C F B G E D M A 则DM＝AM＝ ＝ ＝1， ∴BM＝ ＝ ＝ ． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°． ∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF， ∴∠ADE＝∠BAF． ∵∠BAF＋∠DAF＝90°， ∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°． ∵GM＝ ＝1． ∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM， ∴BG的最小值为 ． 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 Rt△ABC C 90,A30,BC2 D,E AB,AC F 12．（2023·嘉兴·二模）在 中， ，点 分别是 的中点，点 AC DF BQDF DF Q EQ F C A 是 上的一个动点，连结 ，作 交 于点 ，连结 ． 点 从点 向点 运动的过 程中，EQ的最小值为 ． 【答案】 31 【思路点拨】作EN  AB于N ，取BD中点M ，连接MQ，ME，由直角三角形的性质求出MQ的长， MB的长，EN 的长，AN的长，得到MN的长，由勾股定理求出ME的长，由EQMEMQ，即可求出 EQ的最小值． 【详解】解：如图，作EN  AB于N ，取BD中点M ，连接MQ，ME， C 90，A30，BC2， AB2BC 4，AC  3 BC2 3，  D是AB中点， 1 ， BD 2 AB2 BQD90，M 是BD中点， 1 1 MQ 2 BD1 ， MB 2 BD1 ，  E是AC的中点， 1 ， AE 2 AC  3 3 3 1 ， ， NE 2 AE 2 AN  3 NE 2 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 3  ， MN  ABMBAN 41 2 2 ME MN2EN2  3，  EQMEMQ， EQ 31，EQ的最小值是 31 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6， OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当 点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________． y F B C E O D A x 【答案】（，） 提示：取BC中点M，连接OF、OM、FM y F B C M H G E O D A x 则FM＝CM＝ BC＝3，OM＝＝5 OF≤OM＋FM＝8，当点F在OM延长线上时OF最大 作CG⊥OF于G，FH⊥BC于H 则△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG 在△COM中，由面积法可得CG＝，勾股得MG＝ ∴FH＝，MH＝，∴F（，） 2023·菏泽市中考真题 14．如图，在四边形 中， ，点E在线段 上运动，点 F在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【思路点拨】设 的中点为 O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ，可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有 最小值，据此求解即可． 【详解】解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点F在以 为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 的最小值为 BC 6 ABC 15．（2023·武汉·一模）如图， 中， ， ， ．点P为 内一点， 且满足PA2PC2AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是 ． 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】6 3 【思路点拨】取 AC中点 O，连接 OP， BO，由 PA2PC2  AC2即可得到 APC 90，再由 BPBOOP，可得当点 P 在线段 BO上时， BP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得 1 PO AOCO AC 2 3，即可推出 ，则 是等边三角形，求得 的面积，根据 2 BOC 60 COP COP OAOC可得S 2S 6 3． △ACP △COP 【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OP，BO， ∵PA2PC2AC2， ∴APC 90， ∴点P在以AC为直径的圆上运动， 在△BPO中，BPBOOP， ∴当点P在线段BO上时，BP有最小值， ∵点O是AC的中点，APC 90， 1 ∴PO AOCO AC 2 3， 2 CB ∴tanBOC   3， OC ∴BOC 60， ∴COP是等边三角形， 3 3 ∴S  OC2  123 3， △COP 4 4 ∵OAOC， 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴S 2S 6 3 △ACP △COP 2022·通辽·中考真题 16．如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点 从 点出发，在 内运动 且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点 P的位置，进而求出点P的运动路径长． 【详解】解： 为 的直径， ∴ ∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部， 如图，记以AB为直径的圆的圆心为 ，连接 交 于点 ，连接 ∴当点 三点共线时，即点P在点 处时，CP有最小值， ∵ 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 在 中， ∴∠ ∴ ∴ 两点距离最小时，点P的运动路径长为 ABCD AB2 BC 2 3 AD，BC 17．（2023·广州·三模）如图，矩形 中， ， ，点E、F分别是线段 上的动 点，且AECF，过D作EF的垂线，垂足为H． AE  31 （1）当 时，BFE  ． （2）当E在AD上运动时，CH 的最小值为 ． 【答案】 45 1 【思路点拨】（1）过点F作FM BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF=EM ，从 而问题解决； 1 （2）连接 交 于点O，可证明 ，易得OD BD2，由 知， ， BD EF △DOE≌△BOF 2 DH EF MH 2 即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH 的值最小，由三角函数 知识即可求得此时最小值． 【详解】解：（1）过点F作FM BC于M，如图， 则BMEEMF 90； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB90， ∴四边形ABME是矩形， ∴EM  AB2，BM  AE 31； ∵AECF， ∴CF BM  31， ∴MF BCBM CF 2 32( 31)2， ∴MEMF ， ∵FM BC， 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BFE45， 故答案为：45； （2）连接BD交EF于点O，如图， 由矩形性质知：AD∥CB，ADBC2 3， ∴DEF BFE，ADAEBCCF， ∴DEBF， ∵EOD FOB， ∴△DOE≌△BOF， ∴ODOB， 由勾股定理得BD AB2AD2 4， 1 ∴OD BD2， 2 ∵DH EF ，设OD中点为M， ∴MH 2， 即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动， 由于点E在AD边上运动， ∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH 的值最小， CD CH ∵ ，cosACD  ， AC BD4 AC CD CD2 4 ∴CH   1， AC 4 即CH 的最小值为1 ABCD 2 2 AB CD 18．（2023·安阳·一模）如图，正方形 的边长为 ，点E是 边上的一个动点，点F是 边上 的一个动点，且AECF，过点B作BGEF于点G，连接AG，则AG长的最小值为 ． 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 51 【思路点拨】连接AF ，CE，AC，设AC与EF的交点为点O，得到平行四边形AECF，点O是AC的中 点，连接BD，则BD经过点 O，且OAOB，G在以 BO为直径的圆上运动，取OB的中点 H，连接 AH,GH ，根据三角形三边不等关系式，计算最值即可． 【详解】如图，连接AF ，CE，AC，设AC与EF的交点为点O， ∵正方形ABCD， ∴AECF ， ∵AECF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AOCO,OEOF， ∴点O是AC的中点，连接BD， ∵正方形ABCD， ∴点O是BD的中点，且OAOB， 取OB的中点H，连接AH,GH ， ∵BGEF， 1 ∴AH  AO2OH2,GH  OB， 2 ∵GH AG≥AH, ∴当A,G,H三点共线时，AG取得最小值， ∵正方形ABCD的边长为2 2，  2  2 ∴AC BD 2 2  2 2 4， ∴OAOBOC OD2， 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 ∴GH  OB1， ， 2 AH  2212  5 ∴AG长的最小值为 51 19．（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F 为AE中 点，G为DE上一点，BF FG，则CG的最小值为 ． 【答案】 132 【思路点拨】连接AG，根据矩形的性质可得ABC BCDADC 90，DCAB3，根据中点的性 1 质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得 BF  AE  AF EF，推得 ，则 2 AF FGEF AGEAGD90，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O， G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图1，连接AG， 四边形ABCD是矩形， ∴ABC BCDADC 90，DCAB3， ∵F 是AE的中点， 1 ∴BF  AE  AF EF， 2 ∵BF FG， ∴AF FGEF ， ∴AGEAGD90， ∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图2： 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当O，G，C三点共线时，CG的值最小， ∴ODOG2， ∴OC  2232  13，∴ CG 的最小值为 132 2023·汕头市金平区一模 AB为O OB DE DEAB AEB 20．如图， 的直径，点C为 中点，弦 经过点C，且 ．点F为 上一动点，连 接DF．AGDF于点G．若AB4，在点F运动过程中，线段OG的长度的最小值为 ． 【答案】 31 【思路点拨】如图，连接AD，OD，取AD的中点R，由AGDF．可得G在以R为圆心，AD为直径 的圆上运动，（圆的一部分）当 R ，O，G 三点共线时，OG最小，再求解CD 2212  3， 3 1 RO 1 ，可得 ，sinCAD  ，则  ，可得 ，从而可 AD CD2  AC2 2 3 RARG 3 2 3 2 AO 2 RO1 得答案． 【详解】解：如图，连接AD，OD，取AD的中点R， ∵AGDF． ∴G在以R为圆心，AD为直径的圆上运动，（圆的一部分） 当R，O，G三点共线时，OG最小， 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AB4，点C为OB中点， ∴OBOAOD2，OC 1， ∵DEAB， ∴CD 2212  3， ∴AD CD2  AC2 2 3， 3 1 ∴ ，sinCAD  ， RARG 3 2 3 2 RO 1 ∴  ， AO 2 ∴RO1，∴OGRGRO 31 2023·广州市天河区三模 ABCD AB2 BC 2 3 AD，BC AE CF 21．如图，矩形 中， ， ，点E、F分别是线段 上的动点，且 ，过 D作EF的垂线，垂足为H． AE  31 （1）当 时，BFE  ． （2）当E在AD上运动时，CH 的最小值为 ． 【答案】 45 1 【思路点拨】（1）过点F作FM BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF=EM ，从 而问题解决； 1 （2）连接 交 于点O，可证明 ，易得OD BD2，由 知， ， BD EF △DOE≌△BOF 2 DH EF MH 2 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH 的值最小，由三角函数 知识即可求得此时最小值． 【详解】解：（1）过点F作FM BC于M，如图， 则BME EMF 90； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB90， ∴四边形ABME是矩形， ∴EM  AB2，BM  AE 31； ∵AE CF， ∴CF BM  31， ∴MF BCBM CF 2 32( 31)2， ∴MEMF ， ∵FM BC， ∴BFE45， 故答案为：45； （2）连接BD交EF于点O，如图， 由矩形性质知：AD∥CB，ADBC2 3， ∴DEF BFE，ADAE BCCF， ∴DEBF， ∵EOD FOB， ∴△DOE≌△BOF， ∴ODOB， 由勾股定理得BD AB2AD2 4， 1 ∴OD BD2， 2 ∵DH EF ，设OD中点为M， ∴MH 2， 即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动， 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由于点E在AD边上运动， ∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH 的值最小， CD CH ∵ ，cosACD  ， AC BD4 AC CD CD2 4 ∴CH   1，即 的最小值为1 AC 4 CH 2022·成都市成华区二诊 22．如图，在 中， ．若点 为平面上一个动点，且满足 ， 则线段 长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在 上运动；当点D在AC左侧时， 点D在 上运动，再分别计算即可． 【详解】①如图， 以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使 则 以O为圆心，以CO长为半径画优弧 ，连接BO交 于点E 则当点D在AC右侧时，点D在 上运动 过点O作 于F 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 过点O作 于M 四边形MCFO为矩形 在 中， 当点D于点E不重合时， 当点D于点E重合时， 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为2 72 ②如图， 以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AOC，使OAC OCA30 则AOC 120 以O为圆心，以CO长为半径画优弧AC，连接BO并延长交AC于点E ADC60 则当点D在AC左侧时，点D在AC上运动 过点O作OF BC于F ACB90,ABC 30 1 CAB60,AC  AB 2 AB2AC 4 3 CAO30 BAO90 同①可求OAOC 2 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在RtABO中，BO AO2AB2 2 13 当点D于点E不重合时，BDOBOD 当点D于点E重合时，BDOBOD BDOBOD 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为2 132 故答案为：2 72，2 132 23．如图，在矩形ABCD中，AB3，BC 4，E为边BC上一动点，F 为AE中点，G为DE上一点， BF FG，则CG的最小值为 ． 【答案】 132/2 13 【思路点拨】连接AG，根据矩形的性质可得ABC BCDADC 90，DCAB3，根据中点的性 1 质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得 BF  AE  AF EF，推得 ，则 2 AF FGEF AGEAGD90，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O， G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图1，连接AG， 四边形ABCD是矩形， ∴ABC BCDADC 90，DCAB3， ∵F 是AE的中点， 1 ∴BF  AE  AF EF， 2 ∵BF FG， ∴AF FGEF ， ∴AGEAGD90， 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图2： 当O，G，C三点共线时，CG的值最小， ∴ODOG2， ∴OC  2232  13，∴ CG 的最小值为 132 ABCD AB4,BC 3 AB CD EA 24．如图，在矩形 中， ，E，F分别为 ， 边的中点．动点P从点E出发沿 FC PQ BH PQ 向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿 向点C运动，连接 ，过点B作 于点H，连 接DH ．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH 长度的最 小值为 ． 【答案】 13 2 【思路点拨】连接EF交PQ于M，连接BM ，取BM 的中点O，连接OH,OD，过点O作ON CD于N， 易得四边形BCFE为矩形，FMQ∽EMP，推出OD和OH的长，根据DH ODOH ，得到当O，H，D 共线时，DH 最小，进行求解即可． 【详解】解：连接EF交PQ于M，连接BM ，取BM 的中点O，连接OH,OD，过点O作ON CD于N． 则：MOOB， ∵矩形ABCD，AB4,BC 3，E，F分别为AB，CD边的中点， 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 1 1 ∴ ，BE  AB2,FC  CD AB2， ， ， BC CD 2 2 2 EF∥BC CD∥AB ∴四边形BCFE为矩形，MF∥ON∥BC，FMQ∽EMP， FM FQ 1 ∴   ， ， ， ME PE 2 FN CN 1 DN DFFN 3 2 2 ∴EM  EF  BC 2， 3 3 1 ∴ ，ON  FM BC2， FM 1 2 ∴OD DN2ON2  3222  13， ∵BH PQ， ∴BHM 90， ∵OM OB， 1 1 ∴OH  BM   EM2BE2  2， 2 2 ∵DH ODOH ， ∴DH  13 2，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH 最 小， ∴DH的最小值为 13 2 题型三 对角互补得圆 25．（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点 F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜 边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE= m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC= ∠ABC=45°， 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE= m， 在Rt ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° △ ∴AC =2AB= 2m ∴BC= ， ∴AD= m，∴ 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直 线EF交线段DC于点F，则 ＝__________. 解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC． 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFCB对角互补， ∴B，C，F，E四点共圆， ∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， ∵OB＝OF， ∴OE＝OB＝OF＝OC， ∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上， ∴∠EBF＝∠ECF， ∴tan∠EBF＝tan∠ACD， ∴ 27．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接 DE，则线段DE长度的最小值为 ． 解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O， 连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴OA＝OD＝OC＝AD＝2， 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠AFD＝90°，则DF＝ ， ∵EF是△AOC的中位线， ∴EF＝ OC＝1， 在△DEF中，DF﹣EF≤DE， ∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为 ． 2023 年·广元市一模 28．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF  AE交CD于点F，点G在 AE上，且EGEF ，点M、N分别为GF 、CD的中点，连接MN，则MN的最小值为 ． 【答案】 2 【思路点拨】如图，连接 AC， BD交于点O，证明BCD90，ACD45，连接ME，CM ，而 EGEF ，EF  AE，证明EM GF ，MEF 45，可得E，M ，F ，C在以EF为直径的圆上， MCN MEF 45，则M 在线段AC上运动，当NM  AC时，MN最短，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接AC，BD交于点O， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BCD90，ACD45， 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 连接ME，CM ，而EGEF ，EF  AE， ∴△GEF为等腰直角三角形， ∵点M为GF 的中点， ∴EM GF ，MEF 45， ∴EMF 90BCD， ∴E，M ，F ，C在以EF为直径的圆上， ∴MCN MEF 45， ∴M 在线段AC上运动， 当NM  AC时，MN最短， ∵N 为CD的中点， 2 ∴ ，此时 为等腰直角三角形，∴MN CNsin452  2 CN 2 △MCN 2 29．（2023·广东深圳·统考二模）如图，点G是 内的一点，且 ， 是等边三角形， 若 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ．说明 ， ， ， 四点共圆，求出 ，利用三角形三边关系可得结论． 【详解】解：如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ． 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴点 在 的外接圆上， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的最大值为 题型四 定弦定角得圆 30．如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB2＋AC2的最大值为___________． A B D C 【答案】6 提示：作△ADC的外接圆，作EC⊥BC交圆于点E，连接BE、CE、DE A E B D H C 作AH⊥BC于H，则DE是圆的直径 ∵∠DEC＝∠DAC＝45°，∴△EDC是等腰直角三角形 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵BC＝2，∴BD＝DC＝1，∴DE＝DC＝ ∵AB2＝AH2＋BH2＝AH2＋(1＋DH )2，AC 2＝AH2＋CH2＝AH2＋(1－DH )2 ∴AB2＋AC 2＝AH2＋(1＋DH )2＋AH2＋(1－DH )2＝2＋2(AH2＋DH 2) ＝2＋2AD2≤2＋2DE2＝6 即AB2＋AC 2的最大值为6 31．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP 长的最小值为___________． A P B C 【答案】2 提示：作BD⊥AC于D ∵∠BAC＝60°，∴AD＝AB＝，BD＝ DC＝AC－AD＝，BC＝＝7 ∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动 A D P E H B C O 设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP 则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP ∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120° ∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝BC＝ 设圆弧交AC于点E，连接BE、OE 则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60° ∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE ∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE 设垂足为H，则BH＝AB＝，AH＝ OH＝＝，AO＝AH＋OH＝， ∴AP≥AO－OP＝2，即AP长的最小值为2 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积 的最大值为____________． 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D C 【答案】 提示：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E A B D C E 则△BDE∽△CDA ∵BD＝3DC，∴DE＝3AD＝3，∴AE＝4 ∵∠BAC＝120°，∴∠ABE＝60° ∴△ABE是定边定角面积最大问题，a＝4，θ＝30° ∴△ABE的面积的最大值为：＝4 ∴△ABD的面积的最大值为，△ABD的面积的最大值为 33．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中线，AD＝2，求△ABC面积的最大值． A B D C 【答案】延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE A B D C E 则△ABD≌△ECD，∴AB＝CE，∠B＝∠DCE ∴AE＝2AD＝4，AB∥CE，∴∠ACE＝150° 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点C在以AE为弦、圆周角为150°的一段圆弧上运动 当AC＝CE即AB＝AC时，△ABC的面积取得最大值 此时AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝15° 解△ABD，可得BD＝4－2，BC＝8－4 ∴△ABC面积面积最大值为8－4 2023·成都市新都区二模 34．如图，在边长为 的等边 中，动点 在 边上（与点 ， 均不重合），点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，连接 当点 在 边上运动时， 的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】作辅助线，建立全等三角形，证明 和 ，证明 ，再作 的外接圆 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，计算 和 的 长，计算其差可得结论． 【详解】解：如图，过点 作 ，过点 作 ， 是等边三角形， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 如图，作 的外接圆 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， ， ， ， 连接 ，交 于 ，交 于 ，此时 最小， 是 的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 2023·成都市金牛区二模 35．在菱形 中， ，点P是对角线 上一动点，点Q是 边上一动点， 与 始 终相等，连结 ，交点为E，连结 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】先证明 ，根据定长定角构造辅助圆，当 与 相切时， 最大，此时 最小，设半径 ，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于 的方程，表示出 即可求出 的最小值． 【详解】解：∵在菱形 中， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， 资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴点P在对角线 上运动时， 的大小保持不变， 作 的外接圆，圆心为O，连接 、连接 交 于点F， 则 ， ， 当 与 相切时， 最大，此时 最小， 设 ，则菱形边长为 ， ， ∴在 中 ， 在 中 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， ∴ 的最小值是 2023·达州·中考真题 1 BP AC 36．在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的最小值 ABC AB4 3 C 60 BC P 2 AP AP 为 ． 【答案】2 132 【思路点拨】如图，作ABC的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB于D，过 B作BN  AB，交BP的垂直平分线于N ，连接AN、BN 、PN ，以N 为圆心，BNPN为半径作圆；结 合圆周角定理及垂径定理易得AM BM CM 4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角 CM AC 2 1 形内角和定理易得 ，从而易证 可得   即PN  CM 2勾股定理即可求 AMCPNB AMCPNB PN PB 1 2 资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 得AN 2 13在APN中由三角形三边关系APANPN即可求解． 【详解】解：如图，作ABC的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB于D，过 B作BN  AB，交BP的垂直平分线于N ，连接AN、BN 、PN ，以N 为圆心，BNPN为半径作圆； C 60，M 为ABC的外接圆的圆心， AMB120，AM BM ， MABMBA30， 1 MD AM ， 2 MDAB， 1 AD AB2 3， 2 在Rt△ADM 中，  AM2 MD2AD2， 1  2  2 AM2  AM  2 3 ， 2  AM 4， 即AM BM CM 4， 由作图可知BN  AB，N 在BP的垂直平分线上， PBN BPN 90ABC， PNB180PBNBPN2ABC， 又M 为ABC的外接圆的圆心， AMC2ABC， AMCPNB， CM AM   ， PN BN AMCPNB， CM AC   ， PN PB 1  BP AC， 2 CM AC 2    ， PN PB 1 1 即PN  CM 2， 2 PN BN 2， 在Rt△ABN 中， AN  AB2BN2   4 3 2 22 2 13， 在APN中， APANPN 2 132， 即AP最小值为2 132， 故答案为：2 132． 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型五 四点共圆 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于 点E，则 的最大值为___________． C E D A B 【答案】 【解析】作△ABC的外接圆，则AB是圆的直径，点E在圆上 C E D F A B 作EF⊥BC于F，则△ADC∽△EDF，＝ 当点E为弧BC中点时，EF最大，的值最大 圆的半径为，此时EF＝ － ＝1，＝ 38．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过 A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________． A E F B D C 【答案】－2 提示：连接DF，则∠EFD＝∠EAD＝120°－90°＝30° 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E F B D H C O ∴∠DFC＝150°，∴点F在以DC为弦，圆心角为150°的圆弧上运动 取圆弧的圆心O，连接AO、CO、FO，作OH⊥BC于H 则∠COH＝30° ∵AB＝AC＝，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30° ∴AD＝1，DC＝2，DH＝HC＝1，∴FO＝CO＝2 AO＝＝ ∴AF≥AO－FO＝－2 39．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是 边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A E F B D C 【答案】 提示：作△DEF的外接圆⊙O，连接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于H A O E H F B G D C ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30° ∴AG＝1 ∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120° ∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30° ∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF ∴O、A、E、F四点共圆（或推导相似） ∴∠OAF＝∠OEF＝30° ∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180° ∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1 ∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥，∴EF≥ 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型六 相切时取到最值 40．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交 AD于点F，则AF的最大值为___________． A F D G E B C 【答案】 提示：∵BG⊥AE，∴点G在以AB为直径的一段圆弧上 A F D G O E B C 显然当CG与圆弧相切时AF最大 设圆心为O，连接OF、OG、OC 则OG⊥CF，AF＝FG，OG＝ AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90° OG 2＝CG·FG，32＝8FG，AF＝FG＝，即AF的最大值为 2023·随州市中考真题 41．如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线 对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为 ； 的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当 最大时， 即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定 的最值，从而求得 的最大值． 【详解】解：由题意可得 的面积等于矩形 的一半， 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 的面积为 ， 在 中， ， ∴当 最大时， 即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线 与圆相切时， 最大，此时C、N、M 三点共线，如图： 由题意可得： ， ， ∴ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， 2022·江苏无锡·中考真题 ． ABC是边长为5的等边三角形， DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如 42 图△，若点D在 ABC内，∠DBC=2△0°，则∠BAF＝ °；现将 DCE绕点C旋转1周，在这个旋 转过程中，线段△AF长度的最小值是 ． △ 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 80 / 【思路点拨】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用 全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时， 即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°， 即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）， ∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°， ∴∠EAC=20°， ∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°； 设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°， ∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当 BF是圆C的切线时，即当 CD⊥BF时，∠FBC最大，则 ∠FBA最小， ∴此时线段AF长度有最小值， 在Rt BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD= 4，即AE=4， △ ∴∠FDE=180°-90°-60°=30°， ∵∠AFB=60°， ∴∠FDE=∠FED=30°， ∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G， 资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴DG=GE= ， ∴FE=DF= = ， ∴AF=AE-FE=4- 2022 扬州中考真题 43．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD， 交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________． A E B D C 【答案】4 【解析】取AE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G． A F E B G D C 则DF≥FG，AE＝2DF． 当DF⊥BC时DF最小，AE最小． ∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°． 设DF＝x，则AF＝x，BF＝2x，AB＝3x＝6， ∴x＝2，∴AE＝2x＝4， ∴线段AE长度的最小值为4． 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题 44．如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究 △ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由． A l B H C 【答案】取BC的中点D，连接AD，则BC＝2AD≥2AH 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 B′ E A m l B H(D) C S ＝ BC·AH≥·2AH·AH＝AH2＝22 ABC △△ABC面积的最小值为4 此时△ABC是等腰直角三角形 下面来探究周长： 过点A作直线m∥l，作点B关于直线m的对称点B′， 连接AB′、B′B、B′C，B′B交直线m于点E 则AB＋AC＝AB′＋AC≥B′C 当B′、A、C三点在同一条直线上时，上式取等号 此时∠B′AE＋∠EAH＋∠CAH＝180° ∵∠EAH＝∠AHC＝90°，∴∠B′AE＋∠CAH＝90° 又∵∠B′AE＝∠BAE＝∠ABH＝∠CAH ∴2∠CAH＝90°，∴∠CAH＝45°，∴∠BAH＝45° ∴此时△ABC是等腰直角三角形，点D与点H重合，BC也同时取得最小值 AB＝AC＝AH＝2，BC＝2AH＝4 AB＋AC＋BC＝2＋2＋4＝4＋4 △ABC周长的最小值为4＋4 45．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ． 【答案】 解：作△ABC的外接圆 O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ⊙ 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设 O的半径为r，则OE＝ OB＝ r，BE＝ ⊙ OB＝ r， ∴BC＝ r，∵OA+OE≥AD，∴r+ r≥4，解得：r≥ ，∴BC≥ ，∴ ， ∴△ABC的面积的最小值为 . ． 46．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得 到△A′B′C′（点A、B的对应点分别为A'、B′），CA′、CB′的延长线分別交直线m于点P、Q．试探究 四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明 理由． m P BD Q A′ B′ A C 【答案】∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝，S ＝ AC·BC＝ ABC ∴S 四边形PA′B′Q ＝S △PCQ － S A′B′C ＝S △PCQ － S ABC ＝S △PCQ －△＝ ×PQ×－＝ PQ－ ∴当PQ最小时， S 四边形△PA′B′Q 最小 △ 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 取PQ中点D，连接CD，则PQ＝2CD≥2CB＝2 ∴S ≥ ×2－，∴S ≥3－ 四边形PA′B′Q 四边形PA′B′Q 即四边形PA′B′Q的面积存在最小值，最小值为3－ 47．如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝ 30°，求线段BC长度的最小值． A B C H l 【答案】8－4 作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，作OG⊥BC于G A O B G C H l 则OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝60° ∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，OG＝ OB ∵OA＋OG≥AH，AH＝2，∴OB＋ OB≥2 ∴OB≥8－4，∴BC≥8－4 即线段BC长度的最小值为8－4 此时A、O、G三点共线，即点G与点H重合，点O落在AH上，AB＝AC，△ABC是等腰三角形 48．如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积 的最小值． A D F B E C 【答案】延长CD至G，使DG＝BE，则△ABE≌△ADG ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 G A D O M N F B E C ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30° ∴∠DAG＋∠DAF＝30°，即∠FAG＝30° 作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N 则EM＝AE，GN＝AG ∵S AEF ＝ AF·EM，S AFG ＝ AF·GN，∴S AEF ＝S AFG ∴当S 最小时S 最小 AFG AEF 取△ABC的外心O，连接OA、OF、OG，作OH⊥FG于H 则OA＝OF＝OG，∠FOG＝2∠FAG＝60° ∴△OFG是等边三角形，∴FG＝OF，OH＝OF ∵OA＋OH≥AD，AD＝1，∴OF＋OF≥1 ∴OF≥4－2，∴FG≥4－2 ∵S AFG ＝ FG·AD ＝ FG，∴S AFG ≥2－ ∴S ≥2－3 AEF 即△AEF面积的最小值为2－3 此时A、O、H三点共线，即点H与点D重合，AF＝AG，AE＝AF，△AEF是等边三角形 49．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分 别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，求△DEF的面积的最小值． A F E B D C 【答案】连接AD，作AM⊥BC于M，DH⊥AB于H，DG平分∠EDF交AB于G A G H F E B D M C 则∠EDG＝∠FDG＝60° ∵BD＝2，CD＝4，∴BC＝6 ∵AB＝AC，∴BM＝CM＝3，∴DM＝1 ∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30° ∴AM＝，∴∠ADM＝60° ∴∠ADG＝∠CDF，∠DAF＝90° ∴∠DAG＝30°，∴DA＝2DH，∠DFA＝∠DGH ∴△DGH∽△DFA，∴DF＝2DG，∴S ＝2S DEF DEG 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 问题转化为求△DEG的面积的最小值，而△DEG是定角定高 ∴当DE＝DG时△DEG的面积最小，此时△DEG是等边三角形，易求其面积为 ∴△DEF的面积的最小值为 50．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2． （1）求△ABC周长的最小值；（2）当△ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值． A B C D 【答案】（1）作线段BD关于AD的对称线段B′D，作线段BD关于CD的对称线段B″D 连接B′A、B″C、B′B″， B′ B′ A A B B E C D C F D B″ B″ 则B′D＝B″D＝BD＝2，∠ADB′＝∠ADB，∠CDB″＝∠CDB ∴∠B′DB″＝2∠ADB＋2∠CDB＝2∠ADC＝90° ∴B′B″＝B′D＝2 ∴AB＋BC＋AC＝AB′＋AC＋B″C≥B′B″ ∴△ABC周长的最小值为2 （2）当点A、C都落在线段B′B″上时，△ABC的周长最小 此时S ＝S ＋S ＝S ＋S ＝S －S 四边形ABCD △ABD BCD △AB′D B″CD △B′DB″ ACD ＝×2×2－S ＝2－S ACD ACD 当S 最小时，S 最大 ACD 四边形ABCD 作DE⊥AC于E，则DE＝B′D＝ 在△ACD中，∠ADC＝45°，DE＝ 问题转化为定角定高面积最小，当AD＝CD时△ACD的面积最小 此时∠ADE＝∠CDE＝22.5° 在ED上截取EF＝AE，连接AF 则∠AFE＝∠EAF＝45°，∴∠FAD＝∠ADE＝22.5° ∴DF＝AF＝EF，∴EF＋EF＝ ∴EF＝2－，∴AC＝2AE＝2EF＝4－2 ∴S ACD ＝ AC·DE＝ ×( 4－2 )×＝2－2 ∴S ＝2－S ＝4－2 四边形ABCD ACD 即四边形ABCD面积的最大值为4－2 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 51．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动 点，且∠EDF＝90°，则△DEF的面积的最小值为___________． A F E B D C 【答案】24－12 提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，在FC上取点P，连接DP，使∠PDF＝30° ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝30°，∴∠GDH＝120° ∵∠EDF＝90°，∴∠EDP＝120° ∴∠GDH＝∠EDP，∴∠EDG＝∠PDH A ∴△DEG∽△DPH，∴＝＝＝ ∴DE＝ DP，∴S DEF ＝ DE·DF＝ × DP·DF＝S DPF 问题转化为求△DPF的面积的最小值，而△DPF是定角定高 F H E ∴当DP＝DF时△DPF的面积最小，易求其面积为24－12 G P ∴△DEF的面积的最小值为24－12 B D C 题型八 米勒角（最大张角）模型 52．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则 ∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲 带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射 门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ） A．2 B．3 C． D． 解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大， ∴ ， 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5， ∴CD＝ ， 故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为 53．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最 大时，则BP＝ ． 【答案】 解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动， ∵∠DOM＝2∠DPM， ∴当∠DOM最大时，∠DPM最大， 当 O与BC相切时，∠DOM最大， ∵M是CD的中点，CD＝4， ⊙ ∴CM＝DM＝2， 连接OP，则OP⊥BC， ∵∠C＝90°，ON⊥CD， ∴四边形OPCN是矩形， ∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM， 在Rt△MON中，由勾股定理得， ON＝ ＝ ＝ ， 即PC＝ ， ∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2 ， 故答案为： ． 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 54．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最 大，则P点的坐标为 解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上， ∠MPN为弦MN所对应的圆周角， ∴当圆的半径最小时有∠MPN最大， ∵P在x轴上运动， ∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大． 设此时P点坐标为：（p，0）， 则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3）， ∵MQ＝PQ， ∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2， 解得：p＝1或p＝﹣6（舍）， ∴P点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 55．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°， MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米. 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作 F， ⊙ ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点， ∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB， ∴EF＝20m，OE＝ EF＝20 m， ∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB， ∴OB是 F的切线，切点为E， ∴当点P⊙与点E重合时，观景视角∠MPN最大， 此时OP＝20 m，故答案为：20 56．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ ACB最大时，点C 的坐标为____ 【解答】解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大， 连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图， ∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3）， ∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2， ∵PH⊥AB， ∴AH＝BH＝1， 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴OH＝2， ∵点⊙P与x轴相切于点C， ∴PC⊥x轴， ∴四边形PCOH为矩形， ∴PC＝OH＝2， ∴PA＝2， 在Rt△PAH中，PH＝ ＝ ， ∴C点坐标为（ ，0）． 故答案为（ ，0）． 57．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90° （1）证明：△ABF∽△FCE； （2）当DE取何值时，∠AED最大． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠AFE＝90°， ∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°， ∴∠AFB＝∠FEC， ∴△ABF∽△FCE． （2）取AE的中点O，连接OD、OF． 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补）， ∴A、D、E、F四点共圆， ∴∠AED＝∠AFD， ∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4， ∵△ABF∽△FCE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴EC＝ ，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣ ＝ ． ∴当DE＝ 时，∠AED的值最大 58．辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段 ，以 为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在 中， ， 为 边上的高，若 ，试判断 是否存在最小值， 若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别为 、 上的点，若保持 ，那 么四边形 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图①中， 即为所求． 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图②中，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，作 于 ．设 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ， ， 的最小值为 ． （3）如图③中，连接 ，延长 交 的延长线于 ，将 顺时针旋转得到 ，作 的 外接圆 ． ， ， ， ， ， 资67料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当 的外接圆的圆心 在线段 上时， 的面积最小，此时四边形 的面 积最大，设 ，易知 ， ， ， ， 四边形 的面积的最大值 ． 59．问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB ＞ ∠ACB（填“＞”“＜” “＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理 由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距 6米（即AB＝6米），下边 沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时， 在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的 距离． 解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下： 资68料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图1，过点E作EF⊥AB于点F， ∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点， ∴四边形ADEF是正方形， ∴∠AEF＝45°， 同理，∠BEF＝45°， ∴∠AEB＝90°． 而在直角△ABC中，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＜90°， ∴∠AEB＞∠ACB． 故答案为：＞； （2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下： 假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P， 在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF， ∵∠AFB是△EFB的外角， ∴∠AFB＞∠AEB， ∵∠AFB＝∠APB， ∴∠APB＞∠AEB， 故点P位于CD的中点时，∠APB最大： （3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上 取点O，使OA＝CQ， 以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小 刚所站的位置， 资69料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由题意知DP＝OQ＝ ， ∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BD+ AB﹣CD， BD＝11.6米， AB＝3米，CD＝EF＝1.6米， ∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米， ∴DP＝ 米， 即小刚与大楼AD之间的距离为4 米时看广告牌效果最好． 60．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”． ①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ________，⊙C的半径是 ②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由； （2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）， ∴OA＝1，OB＝7． ∴AB＝6． 过点C作CD⊥AB于点D，如图， 资70料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则AD＝BD＝ AB＝3． ∴OD＝AO+AD＝4． ∵∠APB＝45°， ∴∠ACB＝2∠APB＝90°，． ∵CD⊥AB，CA＝CB， ∴CD＝ AB＝3． ∴C（4，3）． ∴AC＝ ， ∴⊙C的半径是3 ． 故答案为：（4，3）；3 ； ②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由： 设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图， 则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°． ∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”． 则 EG＝DG＝ DE，CD＝CE＝3 ． ∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°， ∴四边形OFCG为矩形． ∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3． 在Rt△CGE中， ∵EG2＝CE2﹣CG2， ∴EG＝ ＝ ． ∴GE＝DG＝ ． ∴OE＝OG﹣GE＝3﹣ ，OD＝OG+DG＝3+ ． ∴E（0，3﹣ ），D（0，3+ ）． ∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+ ）或（0，3﹣ ）； （2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合）， 连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图， 资71料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则∠APB＝∠ADB， ∵∠ADB＞∠AQB， ∴∠APB＞∠AQB． ∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大． 连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图， ∵OP是⊙C的切线， ∴CP⊥OP， ∴∠OPA+∠ABE＝90°． ∵PE为⊙C的直径， ∴∠PAE＝90°， ∴∠APE+∠E＝90°， ∴∠OPA＝∠E， ∴∠E＝∠OBP， ∴∠OPA＝∠OPB， ∵∠AOP＝∠POB＝90°， ∴△OAP∽△OPB， ∴ ， ∴OP2＝OA•OB． ∴OP＝ ． ∴P（0，﹣ ）．故答案为（0，﹣ ）． 徐州中考 61．如图，平面直角坐标系中， 为原点，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上． 的两条外角平 资72料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 分线交于点 ， 在反比例函数 的图象上． 的延长线交 轴于点 ， 的延长线交 轴于 点 ，连接 ． （1）求 的度数及点 的坐标； （2） 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图，作 于 ， 于 ， 于 ． ， ， ， ， ， ， 同理可证： ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 资73料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 可以假设 ， 在 上， ， ， ， ． （2）定角定高模型 y F P（3,3） S =S -2S =9-PE•A'B=9-3AB AOB 正方形 ABP A 45° 作 PBA'的外接 G，PG+GH≥PE G 2 r+ r≥3,AB= 2rAB≥6 2-6 O B H E A' x 2 AB =6 2-6 (当且仅当PA=PB时) D min S 的最大值为27-18 2 AOB 法二 设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 资74料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的面积的最大值为 ． 资75料整理【淘宝店铺：向阳百分百】