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21.3 实际问题与一元二次方程
1．列一元二次方程解应用题的一般步 骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 已知量、 未知量 ，以及它们之间的关系．
（2）设：设出 未知数 ．
（3）列：找出 相等关系 ，列出方程．
（4）解：解方程，求出 未知数 的值．
（5）验：检验 方程的解 是否符合实际意义．
（6）答：写出 答案 ．
2．常见实际问题
（1）传播问题：
传染源 第一轮被传染的 第二轮被传染的 第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题：
①设基数为 ，平均增长率为 ，则第一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ，依次类推，
次增长后的值为 ．
②设基数为 ，平均降低率为 ，则第一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 ，依次类推，
次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 规则图形 ，找出未知量与已知量的内在联系，
根据面积公式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为 、 ，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为 、 、 ，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为
场 ．（6）销售利润问题：
； ；
； ．
（7）存款利息问题：
； ．
题型一：传播问题
1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人
感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
2．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全
球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人
患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
题型二：增长率问题
3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜
产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
4．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东
5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将
达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
题型三：数字问题
5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，
24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
6．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则
所列方程为( )
A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
题型四：营销问题
7．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，
在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过
市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利
2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
题型五：工程问题
9．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所
需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短
工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那
么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
10．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每
天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施
工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道
施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 m
米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
题型六：行程问题
11．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分
钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那
么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步
数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜
0.5）．注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为
24000步，求王老师这500米的平均步长．
题型七：图表信息问题
13．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为
鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，
除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
14．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收 元的附加费用．据统计，某户7、8两月
的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，
应交水费多少元？
题型八：动态几何题
15．如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方
向如图所示）△，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使
PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
△
A．2s B．3s C．4s D．5s
16．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P
以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点
P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
17．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每
秒1个单位的速度沿 ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长△；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使 CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存
在，请说明理由． △
一、单选题
18．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，
使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
19．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
20．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样
数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
21．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由
题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
22．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人
都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
23．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过
调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降
价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
一：选择题
25．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的
营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5
元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/
kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．27．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造
林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
28．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为
x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
29．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的
百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315
C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315
30．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名
同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C． x(x+1)=1035 D． x(x-1)=1035
31．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，
为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每
次下调的百分率是（ ）.
A．8% B．9% C．10% D．11%
二、填空题
32．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平
行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.33．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每
两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程
为_____．
34．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔
不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为
x步，则可列方程为_____．
35．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三
角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
36．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千
克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为________．
37．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图
所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
38．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到
2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)
三、解答题
39．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千
克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 …
售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 …
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
40．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小
组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售
价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产
量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨
a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加 ，求a的值．
41．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本
价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量
为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价 (单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量 与销售单价 的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售
单价应是多少万元？
42．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利
润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
43．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总
营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营
业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
44．已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P
以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．45．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度
的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱
桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，
销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场
销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少
了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，
求m的值．
46．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万
元，经过市场调研发现，该设备的月销售量 （台）和销售单价 （万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量 与销售单价 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销
售单价应是多少万元？
47．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公
司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平
方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾
分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户
会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 ，
每户物管费将会减少 ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴
纳的物管费将减少 ，求 的值．
48．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．1．C【分析】此题可设1人平均感染 人，则第一轮共感染 人，第二轮共感染 人，
根据题意列方程即可．
【详解】解：设1人平均感染 人，
依题意可列方程： ．
故选：C．
2．（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得
出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．
【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x＝15，x＝﹣17（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
（2）256×（1+15）＝4096（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．A【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到
100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．（1）6万座；（2） .【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结
论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站
数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是 （万座）.
答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为 ，由题意可得：
，
解得： ， （不符合，舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程．
【详解】∵最大数为x，
∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，
故选：C
【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．
6．C【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x＋4，则这个两位数为10(x＋4)＋x，其个位数字与十位数字的
平方和为x2＋(x＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，
【详解】依题意得十位数字为：x＋4，则这个数为：10(x＋4)＋x，个位数字与十位数字的平方和为：x2＋(x＋4)2.
∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，
∴x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4.
故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；
7．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【分析】（1）根据销售单价每降低1
元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26
件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，解得：x=10，x=20．
1 2
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x=20应舍去，
2
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的
利润是解题关键．
8．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求
解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x=4，x=6.
1 2
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
此时，售价为：60﹣6=54（元），
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
9．（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队最多施工6个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则
甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时
间之和的6倍”．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1350万元，列不等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）．
∴ ．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为：
由题意得，100m+（100+20）（10- m）≤1350，
解得：
∵施工时间为整数，
当甲队最多施工7个月时，乙需要要施工6个月；此时总费用为1420万元（舍去）；
当甲施工6个月时，乙需要施工6个月，此时总费用为1320万元；符合题目要求；
故甲最多施工6个月．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未
知数列出方程及不等式求解．
10．（1）1000米；（2）4【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总
施工成本不低于甲总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m=m=4．
1 2
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
11．(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙
开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．
(1)解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
(2)
解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．
12．（1）① ，② ；（2） 的值为0.1；（3）王老师这 的平均步长为0.5米/步．【分
析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的
步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；
（2）根据题意得 ，
解得 （舍去）， .
则 的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000−23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
13．（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式
即可；
（2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案．【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
14．（1）a＝100；（2） ，当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．【分析】（1）
由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超
过标准的部分每吨需加收 元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进
行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解
即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收: (元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a＝100，a＝40，
1 2
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100） ＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函
数关系式是解答本题的关键．
15．B【分析】设出动点P，Q运动ts，能使 PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形
的面积计算公式即可解答． △【详解】解：设动点P，Q运动ts后，能使 PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形△的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t＝3，t＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3s时，能使 PBQ的面积为15cm2．
故选：B． △
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
16．D【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）
cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）
cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x=2，x= ，
1 2
答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
17．(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或 秒时，△CDP是等腰三角形．【分析】（1）解一
元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
【详解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0，
∴ ＝3或 ＝4，
则AB＝3，BC＝4，
(2)由题意得 ，
∴ ， (舍去)，
则t＝4时，AP＝ ．
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ．
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP ＝ AC＝2.5，
1
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
， ，
∴PC＝2PQ＝ ，
∴ (秒)，
可知当t为10秒或9.5秒或 秒时，△CDP是等腰三角形．
18．A【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.
19．C【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为 次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解
之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x=11，x=-10（舍去），
1 2
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
20．C【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，解得： （舍去）， ．
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
21．D【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第
一季度的营业额．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选D．
【点睛】此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和．
22．B【详解】试题解析：设这个微信群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个微信群共有10人．
故选B.
23．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【分析】（1）设
每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小
值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）
根据数量关系，列式计算．
24．（1）100+200x；（2）1【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．
【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的销售量是100+ ×20=100+200x斤；故答案为：100+200x；
（2）根据题意得： ，
解得：x= 或x=1，
∵每天至少售出260斤，
∴100+200x≥260，
∴x≥0.8，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
25．D【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
26．C【分析】根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;
【详解】解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（ ）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程
27．B【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘 ，据此即可列方
程求解．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．
28．B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据
“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
29．B【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1－x），第二次后的价格是560（1－x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，设每次降价的百分率为x，
可列方程为： ．
故选：B
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解
决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
30．B【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
31．C【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系
建立方程求出其解即可．
【详解】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x=0.1，x=1.9（舍去）．
1 2
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时
根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
32．（12-x）（8-x）=77【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-
x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
33． x（x﹣1）=21【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为 x（x﹣1），
即可列方程．
【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，故答案为 x（x﹣1）=21．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
34．x（x﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即
可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
35．4或8【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，
即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．
【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45∘，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD−AA′=12−x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，
∴x(12−x)=32，
整理得,x −12x+32=0，
解得x =4,x =8，
即移动的距离AA′等4或8.
【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.
36． 【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，
如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【详解】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为
b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．37．1【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x=1，x=34．
1 2
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键．
38．40%【分析】设该地区居民年人均收入平均增长率为 ，根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解
即可.
【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为 ，
，
解得， ， (舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n
=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
39．（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元【分
析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润 每千克利润 销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．
当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：x=35，x=25．
1 2∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利
用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
40．（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．【分析】（1）设A、B两
个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元
二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得 ．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得： ．
令a%=m，则方程化为： ．
整理得10m2-m=0，
解得：m=0（不合题意，舍去），m=0.1
1 2
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步
骤是解题的关键．
41．（1） ；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．【分
析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根
据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得： ，解得： ，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x=50，x=80．
1 2
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，
利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
42．（1）20%；（2）能【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为
2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x＝0.2＝20%，x＝－2.2(不合题意，舍去)．
1 2
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456
＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
43．（1）504万元；（2）20%．【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营
业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总
营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x=0.2=20%，x=﹣2.2(不合题意，舍去)．
1 2
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
44．（1）5秒；（2）P，Q两点出发 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】当运动时间为t秒时，
PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结
论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理结合PQ=10cm，即可得出关于t的一
元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）依题意，得： ×（16-3t+2t）×6=33，
解得：t=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，
∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，
解得：t= ，t= ．
1 2
答：P，Q两点出发 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，
找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．
45．(1) 50千克 (2) 12.5【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出
不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得
出等式，进而得出答案.
【详解】（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y=0，y=0.125
1 2
∴m=0（舍去），m=12.5
1 2
∴m=12.5，
2
答：m的值为12.5．
46．（1） 与 的函数关系式为 ；（2）该设备的销售单价应是27 万元．【分析】（1）根据图像上
点坐标 ,代入 ,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润 销售量列出方程即可.
【详解】解：（1）设 与 的函数关系式为 ，
依题意，得 解得
所以 与 的函数关系式为 ．
（2）依题知 ．
整理方程，得 ．
解得 ．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴ （舍），所以 ．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
47．（1）该小区有250套80平方米住宅；（2） 的值为50.【分析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则
50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，
80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200
（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1- a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根
据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%，列出方程求解即可.
【详解】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.
由题意得知：
解得
答：该小区有250套80平方米住宅.
（2）
参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有 套参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有 套参与活动二，
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为 元，有 套参与活动一；
80平方米住宅每户所交物管费为 元，有50 套参与活动二；
由题意得：
令 .
化简得： .
解得： （舍去），
（舍去）
答： 的值为50.
【点睛】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解
题的关键.
48．（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析【分析】（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移
动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列
方程求解．
（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
【详解】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4 ．则，
整理，得
t2﹣5t＋4＝0，
解得 ＝1， ＝4．
答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ的面积等于4 ；
（2）△PBQ的面积能不能等于7 理由如下：
设t秒后，△PBQ的面积等于7 则
，
整理，得
t2﹣5t＋7＝0，
则△＝25﹣28＝﹣3＜0，
所以该方程无解．
∴△PBQ的面积不能等于7 ．
