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专题 02 实际问题与一元二次方程（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).细节剖析:
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2：一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a .
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为 x- 1 ， x+1 .
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为 x- 2 ， x+2 .
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降
低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息= 本金 × 利率 × 期数
利息税= 利息 × 税率
本金× (1 + 利率 × 期数 )=本息和
本金× [1 + 利率 × 期数 ×(1 - 税率 ) ]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润= 售价 - 进价 ( 成本 )
总利润= 每件的利润 × 总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图
形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
细节剖析:
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得
对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
易错题专训
一．选择题
1．（2021秋•丹东期末）某超市一月份的营业额为5万元，第一季度的营业额共60万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60
【易错思路引导】设2、3两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第季一度的总营业额达到60万
元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设2、3两月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝60．
即：5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
2．（2019•开远市二模）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的
新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终
以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【易错思路引导】本题主要考查了一元二次方程，因为求的是平均每次下调的百分率，所以设一个未知
数就可以，列出方程，解出即可．
【规范解答】解：设平均每次下调的百分率为x
则：15000•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150
∴（1﹣x）2＝0.81
∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9
解得：x＝0.1或x＝1.9
∵x＜1
∴x＝1.9（舍）
∴x＝0.1
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
【考察注意点】本题关键是列一元二次方程，以及解一元二次方程，本题采用的是开平方法解一元二次
方程．
3．（2021春•鹿城区校级期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方
形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图 2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【易错思路引导】设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是28cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的
底面积是28cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
【规范解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是28cm2，
依题意，得：
×（10﹣2x）＝28，
化简，得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x＝3，x＝12．
1 2
当x＝3时，10﹣2x＝4＞0，符合题意；
当x＝12时，10﹣2x＜0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是28cm2，纸盒的高为3cm．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整
个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等
宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（ ）cm．
A． B． C． D．
【易错思路引导】根据中央矩形的长＝封面的长﹣2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽﹣2×左
右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可；【规范解答】解：设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm．
∵一本书的封面长为27cm，宽为21cm，
∴中央矩形的长为（27﹣18x）cm，宽为（21﹣14x）cm，中央矩形的面积为（27﹣18x）（21﹣14x）
cm2．
由题意，得（27﹣18x）（21﹣14x）＝（1﹣ ）×27×21，
解得x＝ ，x＝ （不合题意舍去）．
1 2
∴上下边衬的宽为： cm，
左右边衬的宽为： cm．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整
体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积﹣截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数．
5．（2022春•萧山区期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，
此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，
设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
【易错思路引导】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x
（1+x）人，根据经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程．
【规范解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x
（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
6．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，
创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该
村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到 3380万元，则该村
2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）A．20% B．25% C．30% D．35%
【易错思路引导】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2020年该村
乡村民宿旅游收入＝2018年该村乡村民宿旅游收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【规范解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x＝0.3＝30%，x＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题
7．（2022春•雨山区校级月考）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建
团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队有 1 0 人．
【易错思路引导】设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出
90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【规范解答】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10，x＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽
的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则
小路的宽度为 2 m．
【易错思路引导】此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设
修建的路宽应为x米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．【规范解答】解：如图，设修建的小路宽应为x米，
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，
即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合题意，舍去，
所以修建的小路宽应为2米．
故答案为：2．
【考察注意点】此题考查了几何图形的平移，用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再
建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验．
9．（2022•锦江区模拟）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别
是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 （ a +b ） 2 ≥ 1 2a b ．
【易错思路引导】设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝ （a+b），xy＝ ，消
去y，组成一元二次方程，根据根的判别式可得出结论．
【规范解答】解：设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝ （a+b），xy＝ ，
∴y＝ （a+b）﹣x，
∴x[ （a+b）﹣x]＝ ，
整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0，
∵存在另一个矩形，则该一元二次方程有解，
∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab．
故答案为：（a+b）2≥12ab．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周
长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，
其“加倍矩形”的对角线长为 2 ．【易错思路引导】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【规范解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x＝4+ ，x＝4﹣ ，
1 2
当x＝4+ 时，2×（3+1）﹣x＝4﹣ ＜4+ ，符合题意；
当x＝4﹣ 时，2×（3+1）﹣x＝4+ ＞4﹣ ，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为 ＝2 ．
故答案为：2 ．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2019•江汉区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1
个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A
的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q
点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面
积的2倍，则运动的时间为 4 ﹣ 或 4+ 2 秒．
【易错思路引导】先利用勾股定理求出BC边的长，再分Q在线段BC上运动和Q在线段BA上运动两种情
况来讨论计算．利用四边形的面积为三角形面积的2倍，列出一元二次方程分别求解即可．
【规范解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10
设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，
1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，
如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，
则sinC＝ ＝∴QG＝ ×2t＝
∵S ＝6×8÷2＝24
△ABC
若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S ＝24× ＝8
△PQC
∴（8﹣t）× ÷2＝8
化简得3t2﹣24t+40＝0
解得t＝4﹣ ，t＝4+ （舍）
1 2
2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，
如图所示，
S ＝ AP•AQ＝ t（10+6﹣2t）＝8
△APQ
化简得：t2﹣8t+8＝0
解得t＝4﹣2 （舍），t＝4+2 ．
3 4
故答案为：4﹣ 或4+2 ．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程在动点问题中的应用，需结合点Q的不同位置分别计算，本题
中等难度偏上．
12．（2022春•福山区期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地
有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人感染了德尔塔病毒，如
果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 172 8 人感染德尔塔病毒．
【易错思路引导】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据“经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再利用经过第三轮传染后感染了德
尔塔病毒的人数＝经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数+每轮传染中平均一个人传染的人数×经
过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数，即可求出结论．
【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：
1+x+x（1+x）＝144，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x＝11，x＝﹣13（不合题意，舍去）．
1 2
144+11×144＝1728（人）．
答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．
故答案为：1728．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，
正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
13．（2022春•蜀山区期末）如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于
管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为 1008平方米，则小路的宽为 2
米．
【易错思路引导】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为（4﹣2x）
米，宽为（30﹣x）米，然后根据长方形的面积＝长×宽，即可列出相应的方程．
【规范解答】解：小路的宽为x米．
由题意可得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，
解得：x＝2，x＝48（不合题意，舍去），
1 2
答：小路的宽为2米，
故答案为：2．
【考察注意点】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的
图形建立关系，将复杂问题简单化．
三．解答题
14．（2022春•台江区期末）两年前，生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是
6000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200元，生产1吨乙种药品的成本是3375元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
【易错思路引导】分别计算两种药品的成本再比较．
【规范解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
依题意得5000（1﹣x）2＝3200．
解得x＝0.2，x＝1.8（舍去），
1 1
乙种药品成本的年平均下降率为y，
依题意得6000（1﹣y）2＝3375．
解得y＝0.25，y＝1.75（舍去），
1 2
∵0.2＜0.25，
∴乙药品成本的年平均下降率较大．
【考察注意点】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是求解本题的关键．
15．（2022•沙坪坝区校级一模）农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共
500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了 ，B贴花每张售价也便宜
了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了 m张，总数量不变，并且总费用比原计划减
少了（2000+10m）元，求m的值．
【易错思路引导】（1）设购买A种贴花a张，购买B两种贴花b元，根据题意可构造二元一次方程组，
求解即可得出结论；
（2）根据题意可得出 A种贴花的售价，B种贴花的售价和张数，根据“费用比原计划减少了
（2000+10m）元”建立方程，求解即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设购买A种贴花a张，购买B两种贴花b元，
根据题意可得， ，
解得 ．
∴计划购买100张贴花．
（2）根据题意可得出A种贴花的售价为：15×（1﹣ ）＝10（元），A种贴花的张数为：（400﹣
m）张，B种贴花的售价为：（30﹣m）元，B种贴花的张数为：（100+ m）张，
根据题意可得，10×（400﹣ m）+（30﹣m）（100+ m）＝9000﹣（2000+10m），
整理得15m2﹣120m＝0，
解得m＝0（舍）或m＝8．
综上，m的值为8．
【考察注意点】本题属于一元二次方程的应用，涉及二元一次方程的应用，根据题意得出一元二次方程
是解题关键．
16．（2022•碑林区校级二模）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销
售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，
若超市某月涨价销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
【易错思路引导】根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出一元二次方程求解即可．
【规范解答】解：设该商品每件的销售价为x元，
根据题意可知，（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]＝4000，
整理得﹣10x2+1400x﹣45000＝4000，
解得：x＝70，
∴这个月该商品每件的销售价为70元．
【考察注意点】考查了一元二次方程的应用，此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，
求得一元二次方程．
17．（2022•河南一模）喜万家超市以原价为20元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降
价销售，经过两次降价后，售价为16.2元/瓶．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为确保新学期开学工作安全、卫生、健康、有序，某学校决定购买一批洗手液（超过 200瓶），
超市对购买量大的客户有优惠措施，在16.2 元/瓶的基础上推出方案一；每瓶打九折；方案二：不超
过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪种方案更省钱（只能选择一种）？
请说明理由．
【易错思路引导】（1）设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价
率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出平均每次降价的百分率为
10%；
（2）设该学校购进m（m＞200）瓶该种洗手液，则选择方案一所需费用为14.58m元，选择方案二所需费用为（12.96m+648）元，分当 14.58m＞12.96m+648 时，当 14.58m＝12.96m+648 时，当 14.58m＜
12.96m+648时三种情况，求解即可．
【规范解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x＝0.1＝10%，x＝1.9（不合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）设该超市购进m（m＞200）瓶该洗手液，
则选择方案一所需费用为16.2×m×0.9＝14.58m（元），
选择方案二所需费用为16.2×200+16.2×（m﹣200）×0.8＝12.96m+648（元）．
当14.58m＞12.96m+648时，解得：m＞400，
当14.58m＝12.96m+648时，解得：m＝400；
当14.58m＜12.96m+648时，解得：m＜400．
∵m＞200，
∴200＜m＜400．
∴该学校购进洗手液大于400瓶时，选择方案二合算；该学校购进洗手液等于400瓶时，选择两种方案
费用相同；该学校购进洗手液大于200瓶小于400瓶时，选择方案一合算．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式（或一元一次方程）．
18．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接
销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：
A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果
酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．
注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．
（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类果酱有 （ 2 0 ﹣ x ） 吨；
②A类水果所获得总利润为 （﹣ x 2 +1 0x ） 万元；
③B类果酱所获得总利润为 （ 2x 2 ﹣ 5 7x +32 8 ） 万元．
（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？
（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．【易错思路引导】（1）①根据题意可得答案；
②根据总利润＝每吨的利润×数量可得答案；
③根据总利润＝总售价﹣总费用可得答案；
（2）根据题意列出方程，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；
（3）设两类水果总利润的和为w万元，得出w关于x的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．
【规范解答】解：（1）①B类果酱有（20﹣x）吨；
故答案为：（20﹣x）；
②A类水果所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，
故答案为：（﹣x2+10x）；
③设B类水果每吨所获得利润为z元，
∵A类水果每吨所获利润为（﹣x+10）元，
根据题意可知， ＝2× ，解得z＝﹣2x+23，
∴B类水果所获总利润为：（﹣2x+23﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣54x+268；
故答案为：（2x2﹣57x+328）；
（2）由题意得，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，
解得x＝16（舍），x＝ ，
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∴20﹣ ＝ （吨），
答：A类水果有 吨，B类水果有 吨；
（3）设两类水果总利润的和为w万元，
则w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，
∵w≥48，
∴x2﹣47x+328≥48，
∴0＜x≤7或x≥40（舍），
∴x的取值范围为0＜x≤7．
【考察注意点】本题主要考查二次函数的实际应用．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
19．（2021秋•高安市期中）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部
租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，
未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金
收入扣除维护费）可达到40.4万元？
【易错思路引导】（1）由月租金比全部租出多4800﹣4000＝800元，得出未租出车的数量，从而根据
每辆车的租金减去500元，乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可；
（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可．
【规范解答】解：（1）100﹣ ＝92（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝0
解得：x＝54，x＝10
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∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2021秋•乌鲁木齐期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件可盈利40元．为
了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，
商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
【易错思路引导】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x，所以此时
商场平均每天要盈利（40﹣x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利＝1200元，为等量关系列出方
程求解即可．
（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利＝1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有
解则说明能达到，否则不能．（3）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数
关系为：y＝（40﹣x）（20+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．
【规范解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x，
由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即：（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解，得x＝10，x＝20，
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为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元；
（2）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1500，
整理，得2x2﹣60x+700＝0，
△＝602﹣2×4×700＝3600﹣5600＜0，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元；
（3）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，
由题意，得y＝（40﹣x）（20+2x），
＝800+80x﹣20x﹣2x2，
＝﹣2（x2﹣30x+225）+450+800，
＝﹣2（x﹣15）2+1250，
当x＝15元时，该函数取得最大值为1250元，
所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元．
【考察注意点】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，
另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值
