文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
21.3 实际问题与一元二次方程
题型导航
题型1
传播问题
实际
问 题 题型2
增长率问题
与
一
题型3
与图形有关的问题
元
二
题型4
数字问题
次
方
题型5
程 营销问题
题型6
动态几何问题
题型7
工程问题
题型变式
【题型1】传播问题
1．（2022·上海·八年级专题练习）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪
念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【答案】D
【解析】
【分析】
设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x-1）件礼品，依次列方程解答即可．
【详解】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品，
依题意得：x（x﹣1）＝56，
解得：x＝8，x＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确．
1 2
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系式，列出方程，是解题关键.
【变式1-1】
【题型2】增长率问题
1．（2021·全国·九年级期中）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增
长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【解析】
【分析】
设增长率为x，根据三天累计票房收入达到10亿元，列出方程即可．
【详解】
解：设增长率为x，
依题意，得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题目的等量关系式，是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过
两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为______；
【答案】1＋m＋m（1＋m）＝625【解析】
【分析】
1个人第一轮感染了 个人，此时第一轮后已经有 人感染，第二轮 人，每人又感染 人，由
此列出方程即可．
【详解】
解：依题意得， ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【题型3】与图形有关的问题
1．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作
DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（
）
A．10 B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明 ABF≌△DAE得BF=AF，AF=DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【详△解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AM，∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE=1，
设BF=AE=x，则EF=x-1，
∵四边形ABED的面积为10，
∴ EF•BF+ AF•BF×2＝10，即 x(x−1)+ x×2＝10，
解得：x=-5（舍）或x=4，
∴BF=4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．
【变式3-1】
2．（2022·湖南永州·一模）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴
影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
【答案】2
【解析】
【分析】
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种
植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x=2，x=34（不合题意，舍去）．
1 2故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型4】数字问题
1．（2021·湖南·会同县教学研究室九年级期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的
数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）
A．24 B．35 C．42 D．53
【答案】A
【解析】
【分析】
设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”列式即可求解．
【详解】
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，
整理得：(x-2)(3x+1)=0，
解得 (舍去)，
∴这个两位数为24，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是设出个位或十位数为x，其他数位用x的代数式表示，进而建立方
程求解．
【变式4-1】
2．（2022·湖南湘西·九年级期末）两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方
程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，列方程即可．
【详解】
设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，
∵两个相邻偶数的积是168，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出较大的相邻偶数是解题的关键．
【题型5】营销问题
1．（2022·湖南益阳·九年级期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为
元，则可卖出 件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价 ．
根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【详解】
解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400，
故选：B.
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，
解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．【变式5-1】
2．（2021·江苏苏州·九年级期中）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，
经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，
可列出方程为__________________．
【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450
【解析】
【分析】
首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程．
【详解】
解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得：
（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，
故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和
每件利润，再列出方程．
【题型6】动态几何问题
1．（2021·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分
别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P
也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【解析】
【分析】
设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合 PBQ的面积为15cm2，即可
△得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得： ×2t•（8-t）=15，
解得：t=3，t=5，
1 2
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式6-1】
2．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点后， 、
两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．
【答案】2或3##3或2
【解析】
【分析】
设t秒后 的面积是 ，则 ， ，列方程即可求解．
【详解】
解：设运动时间为 秒，则 ， ，依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
或3秒时， 的面积是 ．
故答案为：2或3．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【题型7】工程问题
1．（2021·全国·九年级专题练习）列方程或方程组解应用题：
某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘
积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月
【解析】
【详解】
试题分析：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x-5）个月，根据两队单
独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可．
试题解析：
设乙队单独完成这项工程需要 个月，则甲队单独完成这项工程需要 个月，
由题意，得 ．
．
解得 ．
不合题意，舍去.
∴ ．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
点睛：本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程是
关键．
【变式7-1】
2．（2022·重庆巴蜀中学一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋
粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．
两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，
从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之
和，列出方程．
(1)
解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子
由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
(2)
解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子
由题意得：
整理得：解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】
本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·安徽合肥·二模）某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增
加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设平均每次增长的百分率为x，根据“2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20
吨”，即可得出方程．
【详解】
解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40（1+x）x=20，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2021年的产量的
代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
2．（2022·四川资阳·九年级期末）由于受疫情影响，人们减少了不必要的外出．据有关数据显示，资阳高
铁站客流量已连续两周下降，由每周 万人次下降至每周 万人次，设平均下降率为 ，则根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
按照等量关系为： ，据此列出方程即可．
【详解】
解：设平均下降率为x，
根据题意得： ,
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2周内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
3．（2020·湖南·常德市第二中学九年级期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3
株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆
应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0．5x）=15 B．（x+3）（4+0．5x）=15
C．（x+4）（3-0．5x）=15 D．（x+1）（4-0．5x）=15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)
(4-0.5x)=15即可．
【详解】
设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．4．（2021·福建·九年级专题练习）罗湖区政府2020年投资5亿元用于保障性房建设，划到2022年投资保
障性房建设的资金为9.8亿元．如果从2020年到2022年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率
是（ ）
A．60% B．50% C．40% D．30%
【答案】C
【解析】
【分析】
一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入资金是5（1+x）亿元，在2021年的基础上
再增长x，就是2022年的资金投入5（1+x）（1+x）亿元，由此可列出方程 ，求解即可．
【详解】
解：设年增长率是x，根据题意可得：
，
解得；x＝﹣2.4（不合题意，舍去）， ．
1
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
5．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件
182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，x满足的方程是（）
A．50(1+x)2=182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
【答案】B
【解析】
【分析】
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意第二季度共生产零件182万个，列一元二次方程即可．
【详解】
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，
则50+50(1+x)+50(1+x)2=182
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2021·全国·九年级专题练习）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和
DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），
在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树
的粗细），则AB的长为（ ）
A．8或24 B．16 C．12 D．16或12
【答案】C
【解析】
【分析】
设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，根据矩形的面积公式结合矩形花园ABCD的面积，即可得出关于x的一
元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，
依题意，得：x（28﹣x）＝192，
解得：x＝12，x＝16．
1 2
∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，
∵ ，
∴ ，
∴x＝16不合题意，舍去，
2
∴x＝12．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·上海徐汇·二模）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司
2、3两个月的增长率都为x，那么可列方程是_____．
【答案】60（1+x）2＝100
【解析】【分析】
根据甲公司1月份及3月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：60（1+x）2＝100．
故答案为：60（1+x）2＝100．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021·青岛广雅中学（山东省青岛实验初级中学市北分校）九年级期中）某农机厂四月份生产零件50
万个，第二季度共生产零件182万个． 设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
_______________
【答案】
【解析】
【分析】
等量关系为：四月份生产的零件个数加五月份生产的零件个数加六月份生产的零件个数等于 ．
【详解】
解：易得五月份生产的零件个数是在四月份的基础上增加的，
所以为 ，
同理可得6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的，
为 ，
由题意得 ．
【点睛】
找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意六月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的．
9．（2015·内蒙古巴彦淖尔·中考真题）某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
根据场地和时间条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满
足的方程为___________________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程
10．（2022·北京东城·九年级期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文
化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增
加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得4月份的参观人数为 人，则5月份的人数为 ，根据5月份的参观人数增加到
12.1万人，列一元二次方程即可．
【详解】
根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
11．（2018·新疆克孜勒苏·九年级期末）某商品的价格为100元，连续两次降价x%后的价格是100（1﹣
0.1）2元，则x＝_____
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
根据题意得：100（1﹣x%）2=100（1﹣0.1）2，
解得：x=10，
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
12．（2021·全国·九年级课时练习）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡
场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡______只．
【答案】12
【解析】
【分析】
设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的
传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关
系列出方程求出符合题意的值即可．
【详解】
解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得 ，
解得 （不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
三、解答题
13．（2020·全国·九年级课时练习）某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为 万元/辆，
经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 万元/辆时，平均每周售出 辆；售价每降低 万元，平均
每周多售出 辆.
（1）当售价为 万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；
（2）若该店计划平均每周的销售利润是 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【答案】（1） （2） 万元
【解析】
【分析】
（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售
出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数
量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆
汽车的售价．
【详解】
（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1＋8＝14，
则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
（25−x−15）（8＋2x）＝90，
解得x＝1，x＝5，
1 2
当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）；
当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），
为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键
描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．
14．（2021·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习）用一条长48cm的绳子围矩形，
(1)怎样围成一个面积为128cm2的矩形？
(2)能围成一个面积为145cm2的矩形吗？为什么？
【答案】(1)围成长为16cm、宽为8cm的矩形；(2)不能围成一个面积为145cm2的矩形.
【解析】
【分析】
设矩形的一边长为xcm，则该边的邻边长为(24﹣x)cm．
(1)根据矩形的面积公式结合矩形的面积为128cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)根据矩形的面积公式结合矩形的面积为145cm2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣
4＜0，即可得出不能围成一个面积为145cm2的矩形．
【详解】
解：设矩形的一边长为xcm，则该边的邻边长为(24﹣x)cm．
(1)根据题意得：x(24﹣x)＝128，
解得：x＝16，x＝8，
1 2
∴24﹣x＝8或16．
答：围成长为16cm、宽为8cm的矩形，该矩形的面积为128cm2．
(2)根据题意得：x(24﹣x)＝145，
整理得：x2﹣24x+145＝0．
∵△＝(﹣24)2﹣4×1×145＝﹣4＜0，∴此方程无实根，
∴不能围成一个面积为145cm2的矩形．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程，并利用根的判别式判断根的情况是解题的关
键．
15．（2022·江苏常州·九年级期末）百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了
迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那
么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？
【答案】10元或20元
【解析】
【分析】
设每件童装应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可
【详解】
解：设每件童装应降价x元
根据题意，得
解这个方程，得
答：每件童装应降价10元或20元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
16．（2022·新疆喀什·九年级期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望
工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同
类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少
米？
【答案】4米
【解析】
【分析】
设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40−2x）米，宽为（28−x）米的矩形，根据6个矩形区
域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】
解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40−2x）米，宽为（28−x）米的矩形，
依题意得：（40−2x）（28−x）＝128×6，
整理得：x2−48x＋176＝0，
解得： （不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2021·山东烟台·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元
的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价
每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，
小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】
（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的
关键．
18．（2021·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国
许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一
天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将
减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越
大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之
取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即
可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，
即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．
【详解】
解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x=0.2=20%，x=-2.2（不合题意，舍去）．
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答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m=4，m=25，
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又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
