文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
21.2 解一元二次方程
题型导航
题型1
配方法解一元二次方程
解
一 题型2
公式法解一元二次方程
元
二
题型3
因式分解法解一元二次方程
次
方
题型4
换元法解一元二次方程
程
题型5
根的判别式
题型6
根与系数的关系
题型变式
【题型1】配方法解一元二次方程
1．（2020·全国·九年级期中）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
【答案】B
【解析】
【分析】
先将常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边化成完全平方式，
依此判定即可．
【详解】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8．
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·湖南岳阳·九年级期末）用配方法将方程 变为 的形式，则
________．
【答案】5
【解析】
【分析】
方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a＋b的值．
【详解】
解：方程 ，变形得：x2−2x＝3，
配方得：x2−2x＋1＝4，即（x−1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a＋b＝5
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【题型2】公式法解一元二次方程
1．（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
．（公式法）
【答案】(1) ，(2) ，
【解析】
【分析】
先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
解：
则
解得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程 是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高
次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
(1)
关于x的方程 是一元二次方程，解得
(2)
方程为 ，
即 ，
，
解得 ，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
【题型3】因式分解法解一元二次方程
1．（2022·上海·八年级期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 _____
【答案】x＝0，x＝-1，x＝1．
1 2 3
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x3﹣x＝0，
x（x2﹣1）＝0，
x（x+1）（x﹣1）＝0，
x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝0，x＝﹣1，x＝1，
1 2 3
故答案为：x＝0，x＝-1，x＝1．
1 2 3
【点睛】
本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键．
【变式3-1】2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）解方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二方程即可；
（2）利用公式法直接解方程即可 ．
(1)
移项，得 ，
因式分解，得 ，
即 ，
∴ 或
解得 ，
(2)
，
这里 ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．
【题型4】换元法解一元二次方程
1．（2022·上海嘉定·八年级期中）用换元法解方程 时，可设 ，则原方程可化
为关于y的整式方程______．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，则 ，即原方程变为 ，去分母即可得解．
【详解】
设 ，
则原方程变为： ，
两边同时乘以4y，即可得： ；
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换
元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
【变式4-1】
2．（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足 ，则 的值为（ ）A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
【答案】C
【解析】
【分析】
设： ，则 变为 ，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】
解：设： ，则 变为 ，
变形可得： ，则 ，则 ，
解得： ，即 的值为2或﹣1，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
【题型5】根的判别式
1．（2022·河南周口·二模）关于x的一元二次方程 根的情况判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．与k的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根是解题的关键．
【变式5-1】
2．（2022·贵州遵义·三模）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
∴m＝3，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【题型6】根与系数的关系
1．（2022·贵州遵义·一模）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ，
，则该一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵ ， ，
，
当 时， ，即 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一元二次方
程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根，则 ， ．
【变式6-1】
2．（2022·湖北鄂州·二模）一元二次方程x2－2x－6＝0的两根分别为x，x，则x2＋x2的值为______．
1 2 1 2
【答案】16
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到两根的和与积，再将所求代数式变形转换为积与和的形式即可求解．
【详解】
解：由题可知： ， ，
∴
．
故答案为：16【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题关键是牢记根与系数的关系，即
的两根之和为 ，两根之积为 ．
专项训练
一．选择题
1．（2018·山东泰安·中考真题）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x=2+ ＞3，x=2﹣ ，故有两个
1 2
正根，且有一根大于3．
故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
2．（2022·江苏·常州市朝阳中学二模）已知x＝a时，多项式 的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多
项式的值为（ ）．
A．0 B．6 C．12 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
先将 代入多项式，进而根据多项式的值为 得出 ，再根据平方的非负性即得 ，的值，最后代值计算即得．
【详解】
∵ 时，多项式 的值为
∴
∴
∴ ，
∴当 时，
∴当 时，该多项式的值为12
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式及多项式求值，解题关键是观察式子，确定式子中含有的完全平方式的展开式，
熟知完全平方公式 ．
3．（2022·安徽芜湖·一模）已知实数 满足 ，则代数式 的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【解析】
【分析】
将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
【详解】
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
4．（2020·四川雅安·中考真题）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范
围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如
下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根的判别式∆>0，且m-1≠0求解即可．
【详解】
解：由题意得
∆=b2-4ac=4+8(m-1)>0，且m-1≠0，
解得且 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与
根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程
有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．（2022·广西贵港·二模）一元二次方程 的两个实数根为 ，则 的值是
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由根的定义可得 ，由根与系数的关系可分别求得 和 的值，代入求值即可．
【详解】
解：一元二次方程 的两个实数根为 ，
，
，
=1．
故选D．
【点睛】
本题主要考查方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于 ，两根之积等于 是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·江苏南京·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m
的值为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据题意可知该一元二次方程根的判别式 ，即 ，解出m即可．
【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴其根的判别式 ，
即 ，
解得： ．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式 =0时，方程有两个相等的实数根．
8．（2021·湖北·浠水县兰溪镇河口中学八年级阶段练习）如果（2a△＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a
＋b的值为________．
【答案】±4
【解析】
【详解】
∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴(2a+2b)2-1=63,
∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为±4.
9．（2021·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若，则x的值为________．
【答案】 或2
【解析】
【分析】
根据新定义的运算得到 ，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为： 或2．
【点睛】
本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
10．（2019·江苏·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
的值等于_______．
【答案】2.
【解析】
【分析】
根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a
和c的等式，整理后即可得到的答案．
【详解】
解：根据题意得：
＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
△整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得： ，则 ，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值
等于 _____．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解．
【详解】
∵m，n是一元二次方程 的两根，
∴ ， ．
∴ ．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系
是解题关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于______．
【答案】2022
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得到 ，将代数式变形代入计算即可．
【详解】
解： ∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，∴ ，
∴
=
=1+2020+1
=2022，
故答案为：2022．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合解题是一种经常使用的解题方法．
三、解答题
13．（2021·山东潍坊·九年级期中）解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．
【答案】（1）x＝1，x＝3；（2 x ＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2 1 2
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】
（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x＝1，x＝3；
1 2
（2）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣ ，
则x2﹣2x+1＝﹣ +1，即（x﹣1）2＝ ，∴x﹣1＝± ，
∴x＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法
有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
14．（2021·新疆·乌鲁木齐市实验学校九年级期中）用指定的方法解下列方程：
（1） ；（直接开平方法）
（2） ；（配方法）
（3） ；（公式法）
（4） ．（因式分解法）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
．
【解析】
【分析】
（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用求根公式进行求解即可；
（4）先变号，再提公因式进行计算即可．
【详解】
解：（1） ，
开平方，得 ，
解得 ；（2） ，
移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
解得 ；
（3） ，
，
，即 ；
（4） ，
，
分解因式，得 ，
∴ 或 ，
解得 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键．
15．（2021·广西玉林·九年级期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值．
【答案】（1）证明见解析（2）1或2
【解析】【详解】
试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
试题解析：（1）证明：∵ ，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）
2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，∴ ，
，∴ ，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m=1，m=2，即m的值是1或
1 2
2．
16．（2022·江西上饶·一模）已知 是一元二次方程 的两个根，求 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系求出x+x=- ，xx=-2的值，将所求式子变形后，代入即可求出值．
1 2 1 2
【详解】
解：∵x，x 是一元二次方程3x2+2x-6=0的两个根，
1 2
∴x+x=- ，xx= =-2，
1 2 1 2
∴
．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
17．（2022·湖南永州·二模）已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
(1)当k=3时，求一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0的解；
(2)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)x=3，x=1；
1 2
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法可求出答案；
（2）根据根的判别式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
(1)
解：当k=3时，原方程变为x2-4x+3=0，
∴(x-3)(x-1)=0，
∴x=3，x=1；
1 2
(2)
证明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k−3)
=k2+2k+1-8k+12
=k2-6k+11
=(k-3)2+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元二次方程-因式分解法，正确掌握根的判别式是解题的关键．
