专题21.3一元二次方程与韦达定理（强化）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练_题型分层练九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）

专题 21.3 一元二次方程与韦达定理 【例题精讲】 【例1】已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为 ， ，且 ，求 的值． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得 ， ， 由 ，得 ， 解得 ． 【例2】已知 ， 且 ．则 1 ． 【解答】解： ， 且 ， 、 可看作方程 的两实数根， ， ． 故答案为1． 【例3】一元二次方程 的根 ， 分别满足以下条件，求出实数 的对 应范围．（1）两个根同为正根； （2）两个根均大于1； （3） ． 【解答】解：根据题意知， ， ， （1）根据题意知， ． 解得 ； 即两个根同为正根时，实数 的对应范围是 ； （2）设 ，则根据方程 的2个根均大于1， 可得 ， 解得 ， 即当两个根均大于1时，实数 的对应范围是 ； （3） ， ， 联立 得到： ， ． ，． 整理，得 ， 解得 ． △ ， 或 ， 或 都符合题意． 故实数 的值为 ． 【题组训练】 一．韦达定理的直接应用（共14小题） 1．已知关于 的方程 有两个实数根 ， ． （1）求实数 的取值范围； （2）若 ， 满足 ，求实数 的值． 【解答】解：（1） 关于 的方程 有两个实数根 ， ， △ ， 解得： ， 实数 的取值范围为 ． （2） 关于 的方程 有两个实数根 ， ，， ． ， ，即 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）． 实数 的值为 ． 2．阅读材料：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ． （2）类比应用：已知一元二次方程 的两个根分别为 、 ，求 的值． （3）思维拓展：已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的 值． 【解答】解：（1） 一元二次方程 的两个根为 ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2） 一元二次方程 的两个根分别为 、 ， ， ， ， ；（3） 实数 、 满足 ， ，且 ， ， ， ． 3．已知关于 的方程 的两根分别是 ， ，且满足 ， 则 的值是 2 ． 【解答】解： 的两个解分别为 、 ， ， ， ， 解得： ， 故答案为：2． 4．若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 【解答】解： 是方程 的实数根， ， ， ， ， 是方程 的两个实数根，， ． 故选： ． 5．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根 ， ，满足 ．求 的值． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出 ， ， ， ， ， ， 解得 ． 6．关于 的一元二次方程 有实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值． 【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有实数根，△ ， 解得： ， 的取值范围为 ； （2） ， 是关于 的一元二次方程 的两个解， ， ． ， 时， 的最大值为 ． 7．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为 ， ，且 ，求 的值． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得 ， ， 由 ，得 ， 解得 ． 8．关于 的一元二次方程 有实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有实数根， △ ， 解得： ， 的取值范围为 ； （2） ， 是关于 的一元二次方程 的两个解， ， ． ， 时， 的最大值为 ． 9．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根 ， ，当 时，求出 的值． 【解答】（1）证明：①当 时，方程为 ，是一元一次方程，有实数根； ②当 时，方程是一元二次方程， 关于 的方程 中，△ ， 无论 为何实数，方程总有实数根． （2）解：如果方程的两个实数根 ， ，则 ， ， ， ， 解得 ． 故 的值是 或2．10．已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 、 ，且 ，求 的值． 【解答】（1）证明： ， △ ， 方程有两个不相等的实数根； （2） ，方程的两实根为 、 ，且 ， ， ， 解得， ， ， 即 的值是1或2． 11．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围． （2）设出 、 是方程的两根，且 ，求 的值． 【解答】解：（1）根据题意得： △ ， 解得： ． 的取值范围是 ． （2）根据题意得： ， ， ， ，， 解得： ， （不合题意，舍去）， 的值是 ． 12．关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根． （2）设 ， 是方程 的两个根，记 ， 的值能为 2吗？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时，原方程可化为 ，解得： ，此时该方程有实 根； 当 时，方程是一元二次方程， △ ， 无论 为何实数，方程总有实数根， 综上所述，无论 为何实数，方程总有实数根． （2） 的值可以为2，理由如下： 由根与系数关系可知， ， ， 若 ，则 ，即 ， 将 、 代入整理得： ， 解得 （舍 或 ， ．13．已知关于 的方程 有两个正整数根 是正整数）． 的三边 、 、 满足 ， ， ．求： （1） 的值； （2） 的面积． 【解答】解：（1） 关于 的方程 有两个正整数根 是整 数）． ， ， ， ， 设 ， 是此方程的两个根， ， 也是正整数，即 或2或3或6或9或18， 又 为正整数， ； （2）把 代入两等式，化简得 ， 当 时， 当 时， 、 是方程 的两根，而△ ，由韦达定理得 ， ，则 、 ． ① ， 时，由于 故 为直角三角形，且 ， ． ② ， 时，因 ，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③ ， 时，因 ，故能构成三角形． 综上， 的面积为1或 ． 14．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等 的实数根 、 ， （1）若 ，求 值； （2）求 的最大值． 【解答】解： 方程有两个不相等的实数根， △ ， ， 结合题意知： ． （1） ， ， ； （2）． 对称轴 ， ， 当 时，式子取最大值为10． 二．用韦达定理构造一元二次方程（共10小题） 15．请写出一个以 和 为根的一元二次方程 ． 【解答】解：设 的两根分别是 和 ， ， ， ， ， 方程为 ， 故答案为： ． 16．写出一个以3和 为根的一元二次方程是 ． 【解答】解： ， ， 以 和7为根的一元二次方程可以为 ． 故答案为： ． 17．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，且 的值为 A． B． C． D． 【解答】解：方法 ， ，方程两边同时除以 ，可得 ， 又 ， 、 是方程 的两实根， ， ， ． 方法 ． 故选： ． 18．如果 ， 是两个不相等实数，且满足 ， ，那么 等于A．2 B． C． D．6 【解答】解： ， 是两个不相等实数，且满足 ， ， ， 是方程 的两个不相等的实数根， 则 ， ， ， 故选： ． 19．已知 ， ，且 ，则 ． 【解答】解：根据题意得： ， 就是方程 的两根 则 故本题的答案为 ． 20．已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 或 或 ． 【解答】解：因为实数 ， 满足等式 ， ， （1）当 或 时，原式 或 ； （2）当 时，可以把 ， 看作是方程 的两个根． 由根与系数的关系，得 ， ． 则原式 ．故填空答案： 或 或 ． 21．若 ， ，且 ， ，则 ． 【解答】解： ， ，且 ， 和 是方程 的两个根， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 22．已知 ， ，且 ，则 的值为 3 ． 【解答】解： ， ， 方程两边同时除以 ，再乘 变形为 ， ， 和 可看作方程 的两根， ， ． 故答案为：3． 23．若 ，且有 ， ，则 ．【解答】解：由 得 ， 又 ，所以得到 与 都为 的两根， 根据根与系数的关系得到： ， 所以 则 ； 故答案为： ． 24．已知 ， 且 ．则 1 ． 【解答】解： ， 且 ， 、 可看作方程 的两实数根， ， ． 故答案为1． 三．根的分布情况（共14小题） 25．已知方程 有一正一负实根，求实数 的取值范围． 【解答】解： 方程 有一正一负实根， ， 解得 ， 即实数 的取值范围是 ． 26．已知方程 有两个负根，求 的取值范围． 【解答】解：由题意，得， 解得 ． 27．若方程 有一正实根和一负实根，则 的取值范围是 ． 【解答】解： 方程 有一正实根和一负实根， ， 解得： ． 故答案为： ． 28．方程 的根的情况，下列结论中正确的是 A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【解答】解：方程整理得： ， △ ， 方程有两个不相等的实数根，设为 ， ， ， ， 方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值． 故选： ． 29．已知方程 ． （1）若方程在 和 内各有一个实根，求实数 的取值范围； （2）若方程有一个根小于1，另一个根大于1，求实数 的取值范围；（3）若方程在 内有两个实数根，求实数 的取值范围． 【解答】解：令 ， 方程 有两个实数根， ． （1）当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 方程 在 和 内各有一个实根， ，解得： 或 ． 若方程在 和 内各有一个实根，实数 的取值范围为 或 ． （2）当 时， ． 方程 有一个根小于1，另一个根大于1， 与 的符号相反． 当 时， ， 解得： ， 此时 ； 当 时， ， 解得： ， 此时 ． 综上可知：若方程有一个根小于1，另一个根大于1，实数 的取值范围为 或 ． （3）当 时， ； 当 时， ．方程 在 内有两个实数根， ，解得： ． 若方程在 内有两个实数根，实数 的取值范围为 ． 30．一元二次方程 根的情况是 A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个负根 D．有两个正根 【解答】解：方程化为 ， △ ， 方程有两个不相等的实数根， ， 有一个正根，一个负根． 故选： ． 31．已知关于 的方程 ． （1）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由； （2）如果该方程有一个根大于0，求 的取值范围． 【解答】解：（1）方程有两个实数根，理由： 关于 的方程 是一元二次方程， △ ， ， △ ，原方程有两个实数根； （2） ， ， ， ， 该方程有一个根大于0， ， ， 即 的取值范围为 ． 32．关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ． （1）求 的取值范围． （2）若 ，试说明此方程有两个负根． （3）在（2）的条件下，若 ，求 的值． 【解答】解：（1）根据题意得△ ， 解得 ； （2） ， ， ， ， ， 都为负数，即此方程有两个负根； （3） ， 都为负数， ， ， ， ，． 33．已知关于 的一元二次方程 ． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个一元二次方程有一个实根小于0，求 的取值范围． 【解答】解：（1）关于 的一元二次方程 有两个实数根； 理由： ， △ ， 关于 的一元二次方程 有两个实数根； （2） ， ， 或 ， 关于 的一元二次方程 有一个实根小于0， ， ． 34．一元二次方程 的根 ， 分别满足以下条件，求出实数 的对应范 围． （1）两个根同为正根； （2）两个根均大于1； （3） ． 【解答】解：根据题意知， ， ，（1）根据题意知， ． 解得 ； 即两个根同为正根时，实数 的对应范围是 ； （2）设 ，则根据方程 的2个根均大于1， 可得 ， 解得 ， 即当两个根均大于1时，实数 的对应范围是 ； （3） ， ， 联立 得到： ， ． ， ． 整理，得 ， 解得 ．△ ， 或 ， 或 都符合题意． 故实数 的值为 ． 35．已知关于 的一元二次方程 ． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知，△ ， 方程 有两个实数根； （2）由题意知， 【注：用因式分解法解方程：分解为 】， ， ， 方程的一个实根大于1，另一个实根小于0， ， ． 36．已知：关于 的方程 ． （1）请判断这个方程根的情况； （2）若该方程的一个根小于1，求 的取值范围． 【解答】解：（1）在已知一元二次方程 中 ， ， ，△ ， 故原方程始终有两个实数根； （2） ， ， 解得 ， ， 由题意 ，即 ， 故该方程的一个根小于1时， ． 故 的取值范围为 ． 37 ． 关 于 的 方 程 ： ① 和 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ： ② 、 、 均为实数），方程①的解为非正数． （1）求 的取值范围； （2）如果方程②的解为负整数， ， 且 为整数，求整数 的值． 【解答】解：（1） 关于 的方程： ， 解得： ， 关于 的方程 的解为非正数， ， 解得： ， 由一元二次方程②，可知 ， 且 ； （2） 一元二次方程 中 ， ， ， ， 把 ， 代入原方程得： ，因式分解得， ， ， ， 方程②的解为负整数， 为整数， 或 ， 或 ． 38．关于 的一元二次方程 有两个不相等且非零的实数根，探究 ， ， 满足的条件． 小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探 究 过 程 ， 第 一 步 ， 设 一 元 二 次 方 程 对 应 的 二 次 函 数 为 ； 第二步：借助二次函数图象．可以得到相应的一元二次方程中 ， ， 满足的条件，列 表如下： 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 ， ， 满足的条件 方程有两个不相等的负实根 ① 方程有两个异号的实数 根 方程有两个不相等的正实根 ② ③ （1）请帮助小华将上述表格补充完整； （2）参考小华的做法，解决问题： 若关于 的一元二次方程 有一个负实根和一个正实根，且负实根大于 ，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）有题意得：①答案为：方程有两个异号的实数根； ②答案如图所示； ③答案为： ，△ ， ， ； （2）由讨论中的第二种情况，可得： ，且 时， ， 即 且 ， 解得： ．