文档内容
专题21.3 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
考点 1 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
考点2 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
考点3 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
【典例分析】
【考点1 变化率问题】
【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我
市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利
润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润能否超过
3.4亿元？
【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008公斤的目
标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．【变式1-2】（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的
通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一
天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长
率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的
日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．
【变式1-3】（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采
购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有 A，B两种型号的健身
器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每
套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，
B型健身器材的年平均下降率相同．
（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；
（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材
共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B
型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．
【考点2 传染、分裂问题】【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第
一轮后患流感的人数为（ ）
A．10 B．50 C．55 D．45
【变式2-1】（2021秋•滨城区期末）有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染
的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个
病人传染的人数不能超过（ ）人．
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有 121
名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？
【变式2-3】（2021秋•海淀区校级月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效
控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺
炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人
患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同
样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程
为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现
一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主
干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．7
【变式3-3】（2019秋•萍乡期末）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数
目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点3 握手、比赛问题】
【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联
赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加
比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行
了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了
一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡
90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张
自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（
）
A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
【变式5-2】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之
间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（
）A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【变式5-3】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共
要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
专题21.3 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）
【直击考点】【学习目标】
4. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
5. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
6. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
【知识点梳理】
考点 1 变化率问题 ：
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
考点2 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
考点3 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送n(n−1)张卡片。【典例分析】
【考点1 变化率问题】
【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我
市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利
润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润能否超过
3.4亿元？
【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元
【解答】解：（1）设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为20%．
（2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），
∵3.456亿元＞3.4亿元，
∴若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能超过3.4亿
元．
【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008公斤的目
标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）20% （2）能实现
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x＝0.2＝20%，x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，∴他们的目标能实现．
【变式1-2】（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的
通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一
天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长
率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的
日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．
【答案】（1）10%（2）能接纳第四天的进馆人次．
【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题得，100（1+x）2＝121，
解得x ＝0.1＝10%，x ＝﹣1.1（不符题意，舍去），
1 2
答：进馆人次的日平均增长率为10%；
（2）因为第四天的进馆人次为121×（1+0.1）＝133.1（人次），
而133.1＜200，
所以县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
答：县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
【变式1-3】（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采
购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有 A，B两种型号的健身
器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每
套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，
B型健身器材的年平均下降率相同．
（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；
（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材
共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B
型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．
【答案】（1）20% (2)6种购买方案
【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，
根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（舍去）．
1 2答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；
（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．
设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，
根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤112，
解得：m≤50．
又因为采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，
所以1.6（80﹣m）≥1.28m，
解得m≥ ＝44 ．
故44 ≤m≤50．
因为m是正整数，
所以m的值为45，46，47，48，49，50，
则（80﹣m）的值为35，34，33，32，31，30，
所以共有6种购买方案：
方案一：购买A型健身器材35套，购买B型健身器材45套；
方案二：购买A型健身器材34套，购买B型健身器材46套；
方案三：购买A型健身器材33套，购买B型健身器材47套；
方案四：购买A型健身器材32套，购买B型健身器材48套；
方案五：购买A型健身器材31套，购买B型健身器材49套；
方案六：购买A型健身器材30套，购买B型健身器材50套
【考点2 传染、分裂问题】
【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第
一轮后患流感的人数为（ ）
A．10 B．50 C．55 D．45
【答案】C
【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，
依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，
整理，得：x2+2x﹣120＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（不合题意，舍去），
1 2
∴5+5x＝55．
故选：C．【变式2-1】（2021秋•滨城区期末）有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染
的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个
病人传染的人数不能超过（ ）人．
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
由题意得，2+2x+（2+2x）x＝288，
解得：x ＝11，x ＝﹣13，
1 2
答：每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11个人．
故选：A．
【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有 121
名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？
【答案】10
【解答】解：设平均一名同学传染了x名同学，
根据题意得，1+x+（1+x）x＝121，
解得，x ＝10，x ＝﹣12（舍去），
1 2
答：平均一名同学传染了10名同学
【变式2-3】（2021秋•海淀区校级月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效
控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺
炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人
患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【答案】15个人
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮
传染了x（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x ＝15，x ＝﹣17（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同
样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程
为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91【答案】B
【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，
根据题意得：x2+x+1＝91．
故选：B．
【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现
一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上
的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目
为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝157，
即（x+13）（x﹣12）＝0，
解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；
∴x＝12．
故选：A．
【变式3-3】（2019秋•萍乡期末）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数
目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：设主干长出x根枝干，
依题意，得：1+x+x2＝57，
解得：x ＝7，x ＝﹣8（不合题意，舍去）．
1 2故选：A．
【考点3 握手、比赛问题】
【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联
赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加
比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，
依题意得： x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x ＝12，x ＝﹣11（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行
了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解答】解：设该校八年级有x个班级，
依题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：A．
【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了
一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
【答案】B
【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，依题意得： x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
∴参加这次交易会的公司共有10家．
故选：B．
【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡
90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【答案】B
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张
自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（
）
A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
【答案】B
【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有 x
名学生，
∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．
依题意得：x（x﹣1）＝2550．
故选：B．
【变式5-2】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之
间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（
）
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【答案】D
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D
【变式5-3】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共
要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ．
【答案】x（x﹣1）＝72．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
