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21.2 公式法、因式分解法
一元二次方程的求根公式
一元二次方程 ，当 时， .
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式： ．
①当 时，原方程有两个不等的实数根 ；
②当 时，原方程有两个相等的实数根 ；
③当 时，原方程没有实数根.
题型1：利用△判断根的情况
1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式1-1】关于x的一元二次方程 −3x2−4x+1=0 的根的判别式的值为 ．
【变式1-2】下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣4x＋4＝0 D．x2﹣x＋2＝0
【变式1-3】判断关于 x 的方程 (x−3)(x−2)=p2 根的情况，并说明理由.
题型2：利用根的情况确定字母取值范围
2.若关于 x 的一元二次方程 x2−2x−k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k≤1 B．k<1 C．k≥−1 D．k>−1【变式2-1】已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【变式2-2】已知关于x的一元二次方程 x2+3x+m=0 有两个不相等的实数根，且 m 为正整数，求
m 的值.
题型3：利用公式法解一元二次方程
3.解方程： x2+3x−2=0 .
解方程：x2-5x+2=0。
【变式3-1】用公式法解方程： 4x2+4x−1=−10−8x
解方程：2x2-3x-4=0．
1
【变式3-2】解方程：3+2x2- x=0
2
解方程：x2＋4x＋1＝0.
题型4：数形结合与待定字母的值
4.若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为
.
【变式4-1】等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a=6，b与c是方程x2−(3m+1)x+2m2+2m=0
的两根，求此三角形的周长．
【变式4-2】若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2﹣（m＋2）x＋2m＋4＝0的
两个根.
（1）求出m的值.
（2）求出三角形另外两边长度.
底为3）；
因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法：
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
题型5：利用因式分解法解一元二次方程
5.（1）x2=5x（2）x2=2x
【变式5-1】解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．
解方程：x（x﹣3）＝x﹣3
【变式5-2】解方程3x+6＝（x+2）2；
9（x+1）2＝4（2x﹣1）2．
题型6：适当的方法解一元二次方程
6.用适当的方法解下列方程：
（1）(x−3) 2−4=0 ；
（2）x2−4x−8=0 ．
【变式6-1】用适当的方法解下列方程.
（1）x2-2x=0
（2）2x2-3x-1=0
【变式6-2】用适当的方法解下列方程：
（1）x 2+3x−2=0
❑
（2）(x−3) 2=2x−6
题型7：换元法求代数式的值
7.若 (a2+b2 ) 2−3(a2+b2 )−4=0 ，则代数式 a2+b2 的值为 .
【变式7-1】阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24=0
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1=y，
则原方程可化为：y2﹣10y+24=0
解得：y=6，y=4
1 2
∴4x﹣1=6 或4x﹣1=4
7 5
∴x= ，x=
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，求x2+y2的值．
【变式7-2】已知：实数x满足（x2+x）2﹣（x2+x）﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值．题型8：新定义问题
8.对于任意实数a，b，定义一种运算： a b=a2+b2-ab，若x (x-1)=3，则x的值为
【变式8-1】现定义运算“★”，对于任意实数a，b， 都有a★ b=a2−3a+b ， 如：3★
5=32−3×3+5 ，若x★ 2=6 ，则实数x的值是 .
a b 2 1
【变式8-2】对于实数a、b、c、d，我们定义运算 | | =ad-bc，例如： | | =2×5-1×3=7，上
c d 3 5
x x−2
述记号就叫做二阶行列式.若 | | =4，则x= .
6 x
一、单选题
1．一元二次方程 x2−4x+4=0 的根的情况是 ()
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．4x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2+4x+4＝0 D．4x2﹣5x+2＝0
3．若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是( )
1
A．-2 B．0 C． D．1
2
4．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
5．已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1
6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ ＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
7．下列方程中，没有实数根的是（ ）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0
二、填空题
8．一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是 。
9．方程 x2−2x−8=0 有 个实数根.
10．已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ．
1
11．关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：
4
a= ，b= .
12．已知关于x的一元二次方程 kx2−2x+1=0 有实数根，若k为非负整数，则k等于 ．
三、计算题
13．解下列方程：
（1）x2+2x-19=0；
（2）(x+1)(2x-3)=2．
14．解方程： y(y−7)+2y−14=0 .
四、解答题
15．求证：无论k取何值，关于x的方程 x2+kx+k−1=0 都有两个实数根．
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 小霞：
两边同除以（x﹣3），得 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
3＝x﹣3， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x＝6． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x＝3，x＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答
过程．
17．以下是小滨在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程.
解：原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)
解得原方程的解是x=−3.
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
