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考点 11 函数的奇偶性与周期性
【命题解读】
关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察
对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最
值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和
数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函
数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函
数．
2、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定
义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
3、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝
f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么
f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
5、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1、下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数，排除
A；因为 为偶函数，所以排除 B；因为 为偶函数，所以排除 C；因为
， ，所以 为奇函数．
x
2、若函数
f(x)=
为奇函数，则 =
(2x+1)(x−a)
1 2 3
(A) (B) (C) (D)1
2 3 4
【答案】A
x
【解析】∵
f(x)=
为奇函数，∴ ，得 ．
(2x+1)(x−a)
3、设f (x)是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 =
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【 解 析 】 因 为 f (x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， ∴
，选A．
4、设函数 ， 的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是
A． 是偶函数 B． | |是奇函数
C．| | 是奇函数 D．| |是奇函数
【答案】B
【解析】 为奇函数， 为偶函数，故 为奇函数， | |为奇函数，| |为偶函数，| |为偶函数，故选B．
5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有
( )
A．f<f<f
B．f<f<f
C．f<f<f
D．f<f<f
【答案】C
【解析】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图
(如图)，由图可知f<f<f，
6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－3)为偶函数
【答案】BC
【解析】偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)
＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋
x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函
数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝
f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．故选B、C.
7 、 (2018 江 苏 ) 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ，
则 的值为 ．
【答案】【解析】因为函数 满足 ( )，所以函数 的最小正周期是4．因为在区间
上， ，所以
考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
【解析】：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，
－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
（4）f(x)＝
【解析】(1)由 得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)由 得－1<x≤1.
∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由 得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
变式2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝.
【解析】：(1)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所
以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)有意义，则满足≥0，
所以－1<x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．(3)因为所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对
称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结
合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－
f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反
例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 x＞0或x
＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函
数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在 上的函数满足 ，
且 图像关于 对称，当 时， ，则 ________.
【答案】-2
【解析】
因为 图像关于 对称，则 ，
，
故 是以8为周期的周期函数，
故答案为： .
变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（
） ∈
A．2019 B．2 C．0 D．﹣2【答案】D
【解析】∵f（x+3）＝﹣f（x），
∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
∴f（2019）＝f（3），
又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，
∴f（2019）＝﹣2．
故选：D．
变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)
＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝___．
【答案】338
【解析】 由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝
－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，∴在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋336×1＝1＋2＋(－1)＋336＝338.
变式3、设 是定义在 上的周期为2的函数，当 时， ，则
．
【答案】
【解析】 ．
变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－
x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
【解析】(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2，4]，
∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 015)＝0．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＝0．
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综
合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件： ， ，
， ， ， 等．
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有
恒成立，若 ，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
根据已知条件：当 时，有 恒成立，得函数 是定义在 上的减函
数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 等价于，
所以 ，即 .
故答案为： .
变式1、（2020·河南高三月考（理））已知 是偶函数， 在 上单调递减， ，
则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为 是偶函数，所以 关于直线 对称；
因此，由 得 ；
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增；
所以，当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
当 即 时，由 得 ，所以 ，
解得 ；
因此， 的解集是 .
变式 2、（2017 江苏）已知函数 ，其中 是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
1
【 解 析 】 因 为 f(x)x32x ex f(x)， 所 以 函 数 是 奇 函 数 ， 因 为
ex f(x)
f '(x)3x2 2ex ex 3x2 22 exex 0， 所 以 数 f(x)在
R
上 单 调 递 增 ， 又
1
，即 ，所以 ，即 ，解得1a ，
f(a1) f(2a2)0 f(2a2) f(1a) 2a2 1a 2a2 a10 2
1
故实数 的取值范围为[1, ]．
a 2
变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有
，且当 时， ，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数
C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为
【答案】A
【解析】
函数 是 上的奇函数， ，由题意可得 ，
当 时， ，
，A选项正确；
当 时， ，则 ， ，
，
则函数 不是 上周期为 的函数，B选项错误；若 为奇数时， ，
若 为偶数，则 ，即当 时， ，
当 时， ，若 ，且当 时， ，
，
当 时，则 ， ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
由奇函数的性质可知，函数 在 上的值域为 ，
由此可知，函数 在 上的值域为 ，D选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点，
当 或 时， ，此时，函数 与函数 没有交点，
则函数 与函数 有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在 上的函数 满足条件，且函数 为奇函数，则（ ）
A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数
【答案】ABC
【解析】
因为 ，所以 ，即 ，故A正确；
因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令 代 有
，所以 ，令 代 有 ，即函数 为 上
的偶函数，C正确；
因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ，所以函数
不单调，D不正确.
故选：ABC.
方法总结： 1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由 f(－x)＝
－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一
种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶
函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，
有着极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2020全国Ⅱ文10）设函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是偶函数，且在 单调递减【答案】A
【解析】∵函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
∴函数 为奇函数．
又∵函数 在 上单调递增，在（−∞，0）上单调递增，而 在 上单
调递减，在（−∞，0）上单调递减，∴函数 在 上单调递增，在（−∞，0）
上单调递增．故选A．
2、（2020山东8）若定义在 上的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的
的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得： 或 或
解得 或 ，所以满足 的 的取值范围是 ，故选D．
3、(2018全国卷Ⅱ)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．
若 ，则
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】∵ 是定义域为 的奇函数， ．且 ．∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴
是周期函数，且一个周期为 4，∴ ， ，
= ， ∴
，故选C．
3、(2016 山东)已知函数 f(x)的定义域为 R．当 x<0 时， f(x) x31 ；当 1 x1 时，
1 1 1
；当x 时， f(x ) f(x )，则f(6)=
f(x)f(x) 2 2 2
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
【 解 析 】 当 时 ， 为 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， 所 以
．而 ，所以 ，故选D．
4、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在 上单调递减的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于A选项， 为偶函数，且当 时， 为减函数，符合题意.
对于B选项， 为偶函数，根据幂函数单调性可知 在 上递增，不符合题意.
对于C选项， 为奇函数，不符合题意.
对于D选项， 为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知， 在区间
上单调递减，符合题意.
故选：AD.5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 ，以下结论正确的
是（ ）
A．
B． 在区间 上是增函数
C．若方程 恰有3个实根，则
D．若函数 在 上有6个零点 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
函数 的图象如图所示：
对A， ， ，所以 ，故A错误；
对B，由图象可知 在区间 上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知 ，直线 与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数 在 上有6个零点 ，则
，所以当 时， ；当 时， ，所以 的取值
范围是 ，故D正确.
故选：BCD.6、（2017新课标Ⅱ）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
= ．
【答案】12
【解析】∵ 是奇函数，所以 ．
7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数，
则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】
是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数， ，
，
则不等式 等价为不等式 ，
即 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： .
