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考点 11 函数的奇偶性与周期性
【命题解读】
关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察
对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最
值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和
数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函
数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函
数．
2、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定
义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
3、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝
f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么
f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
5、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1、下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数，排除
A；因为 为偶函数，所以排除 B；因为 为偶函数，所以排除 C；因为
， ，所以 为奇函数．
x
2、若函数
f(x)=
为奇函数，则 =
(2x+1)(x−a)
1 2 3
(A) (B) (C) (D)1
2 3 4
【答案】A
x
【解析】∵
f(x)=
为奇函数，∴ ，得 ．
(2x+1)(x−a)
3、设f (x)是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 =
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【 解 析 】 因 为 f (x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， ∴
，选A．
4、设函数 ， 的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是
A． 是偶函数 B． | |是奇函数
C．| | 是奇函数 D．| |是奇函数
【答案】B
【解析】 为奇函数， 为偶函数，故 为奇函数， | |为奇函数，| |为偶函数，| |为偶函数，故选B．
5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有
( )
A．f0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，
－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
（4）f(x)＝
【解析】(1)由 得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)由 得－10时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
变式2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝.
【解析】：(1)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所
以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)有意义，则满足≥0，
所以－1
