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考向 11 对数与对数函数
1．（2020·海南高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】
由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
2．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】
将 代入函数 结合 求得 即可得解.
【详解】
，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
a
4.识别对⇔数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注
意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
6. 比较对数值的大小
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单
调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logN，其中a叫做对数的底数，N
a
叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②logab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log(MN)＝logM＋logN；②log＝logM－logN；③logMn＝nlogM(n∈R)；④log m Mn＝logM(m，
a a a a a a a a a a
n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logN＝(a，b均大于零且不等于1).
b
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋
a
∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
a
y＝x对称.【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logb＝；(2)log m bn＝logb.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
a a a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
a
1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数 若函数
有且只有两个不同的零点，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数 为 上的奇函数，当 时， ；
若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数 的图像关于 对称，满足
，且 在 上递减，若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：
，其中 为最大数据传输速率，单位为bit/s： 为信道带宽，单位为 ： 为
信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当 ， 时，最大数据传输速率记为
；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ）
A．2 B．99 C．101 D．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数 在R上
单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数 ，下列说法正确
的是（ ）
A． 的定义域为
B． 在定义域内单调递増
C．不等式 的解集为
D．函数 的图象关于直线 对称
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数 ，则不
等式 的解集为___________.
8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为 的正实数 满足 则下列不等式中一定成立
的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列 满足 ，等差数列 满
足 ，则 ___________.
10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列 满足 ．给出定义：使数列 的前项和为正整数的 叫做“好数”，则在 内的所有“好数”的和为______．
11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设 定义域为 ，已知 在 上单调递减，
是奇函数，则使得不等式 成立的 取值范围为___________.
12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 ，函数 的图象上任意一点P关于
原点的对称点Q的轨迹恰好是函数 的图象．
（1）写出 的解析式：
（2）若 ， 时，总有 成立，求实数m的取值范围．
1．（2020·全国高考真题（文））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2008·山东高考真题（文））已知函数 的图象如图所示，则
满足的关系是（ ）
A． B．C． D．
3．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数
A． B． C． D．
4．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等
与亮度满足 ，其中星等为m的星的亮度为E（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼
k k
星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
5．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值
为 ，且 ，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则
H(X)≤H(Y)
6．（2020·北京高考真题）函数 的定义域是____________．
7．（2019·上海高考真题）函数 的反函数为___________
8．（2014·重庆高考真题（理））函数 的最小值为__________．
9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列 的各项均为正数，且 ，则.
10．（2017·上海高考真题）已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整
数，若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则 ________
1．【答案】C
【分析】
根据题意列不等式组，化简得出结论.
【详解】
由题意得 解得 或 .
所以原函数的定义域为 .
故选：C.
2．【答案】A
【分析】
运用对数运算法则和换底公式进行求解.
【详解】
由 ，可得 ，
所以.
故选：A
3．【答案】A
【分析】
先由对数的性质可得 ， ， ，然后利用作差法判断 的大小即可
【详解】
首先 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为
，所以 .
故选：A.
4．【答案】BCD
【分析】
作出函数 的图象如下图所示，将原问题转化为函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
根据图示可得实数 的取值范围.
【详解】
根据题意，作出 的图像如下所示：令 ，得 ，
所以要使函数 有且只有两个不同的零点，
所以只需函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
根据图形可得实数 的取值范围为 ，
故选： ．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
1．【答案】D
【分析】
由奇函数性质及 的解析式，求得 ，在实数范围内单调递减，比较数的大小 ，从而有 .
【详解】
当 时， ，由奇函数的性质知，
， ，函数单调递减；
又 ， ，
则
由函数单减知，
故选：D
2．【答案】A
【分析】
根据题意得出 是以2为周期的周期函数，且在 上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，
求得 ，结合单调性，即可求解.
【详解】
由函数 关于 对称，可得函数 关于 对称，即 ，
又由函数 满足 ，可得 ，即 ，
所以函数 是以2为周期的周期函数，
则 ， ， ，
又由 ，且 ，
因为 在 上递减，可得函数 在 上递增函数，
所以 ，即 .
故选：A.3．【答案】C
【分析】
利用香农公式求 的值，根据 的值求 的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍.
【详解】
当 ， 时， ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，即信噪比变为原来的101倍.
故选： .
4．【答案】A
【分析】
由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】
因函数 在R上单调递增，
则有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，
于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A
5．【答案】AD
【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断.
【详解】
要使函数有意义，则 ，故A正确；
，令 ，易知其在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B不正确；
由于 在 上单调递减，所以对于 ，有 ，故C不
正确；
令 ，解得 ，所以 关于直线 对称，故D正
确.
故选：AD
6．【答案】
【分析】
确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．
【详解】
函数定义域是 ， ， 是偶函数，
时， 是减函数，
又 ，所以由 得 ， 且 ，解得 且 ．
故答案为：【点睛】
关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不
等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错．
7．【答案】6
【分析】
首先利用换底公式表示 ，再代入 求值.
【详解】
由条件得 ，所以 .
故答案为：
8．【答案】④⑤.
【分析】
根据对数函数单调性先分析出 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】
因为 且 不为 ，由对数函数 的单调性可知 ，
①当 时， ，所以 ，故①不一定成立；
②因为 ，由指数函数 的单调性可知 ,故②不成立；
③当 时， ，所以 ，故③不一定成立；
④因为 ，所以 ，故④一定成立；
⑤因为 ，所以 ，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
9．【答案】10
【分析】
由已知结合等比数列的性质可求 ，然后结合等差数列的性质即可求解.
【详解】因为等比数列 中， ，
所以 ，
因为 ，
则由等差数列的性质得 .
故答案为：10.
10．【答案】2026
【分析】
先计算出数列 的前 项和，然后找到使其为正整数的 ，相加即可得到答案．
【详解】
由题，
．
所以， ．
因为 为正整数，所以 ，即 ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ．
因为 为增函数，且
所以 ．
所以所有“好数”的和为 ．故答案为：2026．
【点睛】
本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前 项和公式
的灵活运用．
11．【答案】
【分析】
根据 是奇函数判断函数的对称中心 ， 等价于 ，
等价于 ，即可得到关于x的不等式，求出x的范
围.
【详解】
因为 是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设 ，因为 在 上单调递减，
所以 等价于 ，
因此不等式 等价于 ，
即 ，即 且 ，
解得 取值范围为 .
故答案为：
12．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）设 是函数 图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数 的图
象上得 ，再 是函数 图象上的点，可得答案；（2）求 时，利用换元法求出 的最小值可得答案．
【详解】
（1）由题意，设 是函数 图象上的任意一点，
则P关于原点的对称点Q的坐标为 ，
因为已知点Q在函数 的图象上，
所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，
而 是函数 图象上的点，
所以 ．
（2）当 时，
，
下面求当 时， 的最小值，
令 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 时， 的最小值为0，
因为当 时，总有 成立，
所以 ，即所求m的取值范围为 ．
1．【答案】A
【分析】
分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：A.
【点晴】
本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
2．【答案】A
【解析】
本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得 ， ；取特殊点 ，
， ．选A．
3．【答案】D
【详解】试题分析：设 ，则 ，
，所以 ，所以答案
为D.
考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.
4．【答案】A
【分析】
由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
5．【答案】AC
【分析】
对于A选项，求得 ，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算
出 ，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式
和对数函数的性质判断出D选项.
【详解】
对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （
）.
.
由于
，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】
本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和
对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
6．【答案】
【分析】
根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】
由题意得 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．【答案】
【分析】
求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.
【详解】
当 时， ，即
又
反函数为： ，
【点睛】
本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.8．【答案】
【解析】
试题分析：
所以，当 ，即 时， 取得最小值 .
所以答案应填： .
考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
9．【答案】 .
【详解】
由 得 ，
所以
【点睛】
等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，
应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比
数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
10．【答案】2
【详解】
由 ，若对于任意 的第 项等于 的第 项，
则 ，则
所以 ，
所以 .
