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考向 10 指数与指数函数
1．（2020·全国高考真题（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础
题目.
2．（2015·山东高考真题（理））已知函数 的定义域和值域都是 ，则
_____________.
【答案】
【详解】若 ，则 在 上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则 在 上为减函数,所以 ，解得 ，所以 .
考点：指数函数的性质.
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同
底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变
换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用
函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调
性转化为一般不等式求解；
7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是
a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时，y>1； 当x<0时，y>1；
性质 当x<0时，00时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
3.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如 的函数的定义域就是 的定义域．
求形如 的函数的值域，应先求出 的值域，再由单调性求出 的值域．若a的范围不
确定，则需对a进行讨论．
求形如 的函数的值域，要先求出 的值域，再结合 的性质确定出 的
值域．
(2)判断复合函数 的单调性令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数 与 的单调性相同，那么复合后的函数
在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数 在[m，n]
上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子 与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶
性．
1．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 ，
经过 天后体积 与天数 的关系式为 ．若新丸经过50天后，体积变为 ，则一个新丸体积
变为 需经过的时间为（ ）
A．125天 B．100天 C．75天 D．50天
2．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））函数 的图像恒过定点A，若点A在双
曲线 上，则m-n的最大值为（ ）
A．6 B．-2 C．1 D．43．（2021·全国高三其他模拟（文）） ___________.
4．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知常数 ，函数 的图象经过点
、 ，若 ，则 ___
1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）已知 ，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江高三其他模拟）不等式“ ”成立是不等式成立“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2019·吉林高三其他模拟（文））设a＝21.2，b＝30.3，c＝40.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
4．（2021·山东济南市·高三其他模拟）为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．
绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标
志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以
免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三
号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留
按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则
该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（ ）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数 的大致图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
6．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数 满足 ，当 时， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高三其他模拟（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·湖南高三其他模拟）（多选题）若 ，则（ ）A． B． C． D．
9．（2021·福建师大附中高三其他模拟）若 （ ， 为有理数），则 ______．
10．（2021·广东汕头市·高三三模）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直
线 上，其中 ， ，则mn的最大值为___________.
11．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数
，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是_________.
12．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数 且 )的图像过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上的最大值是最小值的4倍，求实数 的值.
1．（2012·四川高考真题（理））函数 的图像可能是（ ）．A． B．
C． D．
2．（2016·全国高考真题（理））已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．
3．（2014·江西高考真题（文））已知函数f(x)= (a∈R)，若 ，则a=
（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2013·全国高考真题（文））若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是
A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）
5．（2011·山东高考真题（理））若点 在函数 的图象上，则 的值为
A．0 B． C．1 D．6．（2015·江苏高考真题）不等式 的解集为________.
7．（2015·福建高考真题（文））若函数 满足 ，且 在
单调递增，则实数 的最小值等于_______．
8．（2009·江苏高考真题）已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、
的大小关系为____.
9．（2008·湖北高考真题（理））已知函数 ，等差数列 的公差为 ，若
，则
___________.
10．（2008·上海高考真题（理））已知函数 .
（1）若f(x)＝2，求x的值；
（2）若2tf(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
1．【答案】C
【分析】
根据题意将当 时代入计算出 ，然后再代入计算即可求出结果.
【详解】解析：由题意知 ，当 时，有 ．
即 ，得 ．
所以当 时，有 ．
即 ，得 ．
所以 ．
故选：C
2．【答案】D
【分析】
令 ，求得 ，由点A在双曲线上，得到 ，然后由“1”的代换，利用基本不等式
求解.
【详解】
令 ，解得 ，
所以 ，
因为点A在双曲线 上，
所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以m-n的最大值为4
故选：D
3．【答案】
【分析】
利用指数幂和对数的运算直接求出.
【详解】
.
故答案为： .
4．【答案】 ；
【分析】
首先将点 代入函数，并且变形为 ， ，两式相乘并结合已知条件即可求解.
【详解】
由条件可知 ，得 ①
，得 ②
① ②得 ，，又 ，得 .
故答案为：
1．【答案】C
【分析】
根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运
算性质，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为减函数，
又因为 ，则有 ，所以 错误；
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为增函数，
又因为 ，则 ，所以B错误；
对于C： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 正确;
对于D： ，由于 ，
所以 ，所以 ，所以 错误；
故选：C2．【答案】B
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义求解即可
【详解】
因为不等式 的解为 ，
所以“ ”成立是不等式成立“ ”的必要不充分条件，
故选：B
3．【答案】D
【分析】
利用指数函数单调性，找到中间量求解即可．
【详解】
∵a＝21.2＞21＝2，∴a＞2，
∵30＜b＝30.3＜30.5，∴1＜b＜ ，
∵c＝40.5＝2，∴a＞c＞b，
故选：D．
4．【答案】D
【分析】
先由 可得a的值，再根据指数和对数的运算法则，解不等式2 ≤0.001，即可．
【详解】
解：由题意知，当x＝0时，y＝2，
所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln ＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因为ln ＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．故选：D．
5．【答案】B
【分析】
令 得到 ，再根据函数图象与x轴的交点和函数的单调性判断.
【详解】
令 得 ，即 ，
解得 ，
由图象知 ，
当 时， ，当 时， ，故排除AD，
当 时，易知 是减函数，
当 时， ， ，故排除C
故选：B
6．【答案】B
【分析】
根据已知条件判定f(x)为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f(x)<13的解集，利用平移变换思想得到
f(x-2)<13的解集.
【详解】
依题意知 为偶函数，其图象关于 轴对称，当 时， 单调递增，且 ，所以
的解集为 .将 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后可得 的图象，所以
不等式 的解集为 .
故选:B.
【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关
于f(x-a)的不等式常常可以先求相应的关于f(x)的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的
解集.
7．【答案】C
【分析】
先利用定义判断函数的奇偶性，排除B选项；然后判断 时， ，排除A，D选项．
【详解】
，
故 为奇函数，所以函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当 时， ， ，所以 ，且 ，
故 ，排除A，D选项．
故选：C.
8．【答案】AD
【分析】
A．根据已知条件先分析函数 的单调性，然后比较出 的大小；
B．取 ， 进行判断即可；
C．取 ， 进行判断即可；
D．根据指数函数 的单调性以及 的大小关系进行判断.
【详解】
A．设 ，
因为 可化为 ，则 ，
根据指数函数的性质，可得 单调递增， 单调递减，因此 在 上单调递增，所以 ，故正确；
B．由A项得 ，当 ， 时， ， ，此时 ，故错误；
C．由A项得 ，当 ， 时， ，故错误；
D．因为 在 上是减函数，由 ，可得 ，即 ，故正确；
故选：AD.
9．【答案】
【分析】
根据幂的运算法则计算可得；
【详解】
解：
因为 （ ， 为有理数）
所以
故答案为：
10．【答案】
【分析】
根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.
【详解】
解： 函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，，
点A在直线 上，
，
又 ， ，
，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以mn的最大值为 ，
故答案为： .
11．【答案】(0，1) (2， )
【分析】
恒成立等价于 恒成立，构造函数 ，
然后利用导数求函数的最大值即可.
【详解】
∵ ，∴
∵
因此 ，即
∴ ，即
∵∴ ，即
令 ，∴
当 时， ，即 在 上单调递减
∴ 解得
故
当 时， ，则
即当 时， 在 恒成立
综上： (0，1) (2， )
故答案为：(0，1) (2， )
【点睛】
恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研
究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
12．【答案】（1） （2）
【分析】
（1）代入点 ，即可求出a得到函数解析式；
（2）根据指数函数的单调性求出函数的最值，利用最大值是最小值的4倍求m.
【详解】（1）因为函数 且 )的图像过点 ，
所以 ，解得 ，
所以
（2）由（1）知 ，
所以函数为递减函数.
故函数 在区间 上的最大值，最小值分别为 ， ，
所以 ，
即 ，解得 .
1．【答案】D
【详解】
试题分析：∵ ，∴ ，∴函数 需向下平移 个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当 时，∴ ，所以排除B，
当 时，∴ ，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
2．【答案】A【详解】
因为 ， ， ，
因为幂函数 在R上单调递增，所以 ，
因为指数函数 在R上单调递增，所以 ，
即b
