文档内容
考点 10 函数的单调性
【命题解读】
考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学
式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数
性质的考查；
【基础知识回顾】
1. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x 、x ，当xf(x)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．
1 2 1 2
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单
调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间
为减区间．
2. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数
图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝
f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样
的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4. 函数单调性的常用结论
(1)对∀x
1
，x
2
∈D(x
1
≠x
2
)，>0⇔f(x)在D上是增函数；
<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
5.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x，x∈[a，b]且x≠x，则
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
1 2 1 21、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
【答案】C
【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2，4]上先减后增．
故选C.
2、函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
【答案】B
【解析】 因为y＝在[2，3]上单调递减，所以y ＝＝.
min
故选B.
3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)0，∴ f（x）－f（x）>0，
1 2
即f（x）>f（x）.∴ f（x）＝ 在[1，＋∞）上为减函数.
1 2
变式1、试讨论函数f(x)＝x＋(k>0)的单调性．
【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x ，x ，令
1 2
x0，xx>0．
1 2 2 1 1 2
故当x，x∈(，＋∞)时，f(x)f(x)，
1 2 1 2
即函数在(0，)上单调递减．
考虑到函数f(x)＝x＋(k>0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上
单调递增，在(－，0)上单调递减．
综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．
法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝1－．
令f′(x)>0得x2>k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′
(x)<0得x20，又a>0，(x＋1)(x＋1)>0.
1 2 2 1
∴当x，x∈(0，1)时，xx－1<0，
1 2 1 2
从而<0，即f(x
1
)－f(x
2
)<0⇒f(x
1
)0，
1 2 1 2
从而>0，即f(x
1
)－f(x
2
)>0⇒f(x
1
)>f(x
2
)，此时f(x)＝ (a＞0)单调递减．
∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函
数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
→→→→
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因
式；(2)配方；(3)通分约分等．
考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.【解析】（1）由 即
画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，
[1，＋∞)．
（2）y＝|x|(1－x)＝
＝函数的大致图象如图所示.
由图易知函数的单调递增区间是.
变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是( )
A. B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
【答案】B
【解析】y＝|x2－3x＋2|=
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．
变式2、 函数f(x)＝的单调减区间为________________．
【答案】 ，
【解析】 因为f(x)＝＝＝＋，且定义域为，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(－，＋∞)．
方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见
函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；
(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解
考向三 复合函数的单调区间
例3、求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝；（2）
【解析】(2)f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，
∵t＝x2－12x－3在x∈(－∞，－1]上是减函数，在x∈[3，＋∞)为增函数，又y＝在t∈(0，＋∞)
上是增函数，∴函数f(x)＝的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看成 与u＝x2－3x＋2的复合函数．
由x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2.
y log (x2 3x2)
∴函数 1 的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
2
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
y log (x2 3x2)
而 在(0，＋∞)上是减函数，∴ 1 的单调减区间为(2，＋∞)，单调增
2
区间为(－∞，1)．
变式1、函数f(x)＝logx2－4)的单调递增区间为（ ）
(
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 根据复合函数的单调性判断．
因为y＝log在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 t＝x2－4的单调递减区间，结
t
合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
变式2、函数f(x)＝2的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令t＝，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g(t)＝2t是增函数，所以
f(x)的单调递增区间即t＝的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t＝的单调递增区间为，即原函数的
单调递增区间为.故选B.
方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合
而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，
则解得0≤a＜.
变式1、如果函数f(x)＝满足对任意x≠x，都有>0成立，那么a的取值范围是________.
1 2
【答案】
【解析】对任意x≠x，都有>0，
1 2
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
变式2、设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a可能的值为( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】 CD
【解析】 f(x)＝＝a－，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴即即a≥1.
例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1，3) D．(0，1)
【答案】B
【解析】 法一：由f(x)＝可得当x＜1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝log2＝1，
2
要使得f(2x＋1)＜f(3x－2)，则解得x＞3，
即不等式f(2x＋1)＜f(3x－2)的解集为(3，＋∞)，故选B.
法二：当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)＝1，要使f(2x＋1)＜f(3x－2)
成立，需或解得x＞3.故选B.
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有
恒成立，若 ，则x的取值范围是________．
【答案】【解析】
根据已知条件：当 时，有 恒成立，得函数 是定义在 上的减函
数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 等价于
，
所以 ，即 .
故答案为： .
变式2、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f0，所以a≤0，即a的
取值范围为
（，0]．
4、(2018北京)能说明“若 对任意的 都成立，则 在 上是增函数”为假命
题的一个函数是__________．
【答案】 （不答案不唯一）
【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 对任意的 都成立，且函数
在 上不是增函数即可，如， ，答案不唯一．
5、（2017山东）若函数 (e=2．71828 ，是自然对数的底数)在 的定义域上单调递增，则称
函数 具有 性质，下列函数中具有 性质的是
① ② ③ ④
【答案】①④【解析】① 在 上单调递增，故 具有 性质；
② 在 上单调递减，故 不具有 性质；
③ ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 不具有 性质；
④ ，令 ，
则 ，
在 上单调递增，故 具有 性质．
6、(2012安徽)若函数 的单调递增区间是[3,+∞)，则 =________．
【答案】
【解析】由 可知 的单调递增区间为 ，故 ．
7、已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
【解析】：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.
任取x，x∈(－∞，－2)，且x＜x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为(x＋2)(x＋2)＞0，x－x＜0，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)＜0，即f(x)＜f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取x，x∈(1，＋∞)，且x＜x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为a＞0，x－x＞0，又由题意知f(x)－f(x)＞0，
2 1 1 2
所以(x－a)(x－a)＞0恒成立，所以a≤1.
1 2
所以0＜a≤1.所以a的取值范围为(0，1]．
