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21.2 公式法、因式分解法
一元二次方程的求根公式
一元二次方程 ，当 时， .
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式： ．
①当 时，原方程有两个不等的实数根 ；
②当 时，原方程有两个相等的实数根 ；
③当 时，原方程没有实数根.
题型1：利用△判断根的情况
1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5，
∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
【变式1-1】关于x的一元二次方程 −3x2−4x+1=0 的根的判别式的值为 ．
【答案】28
【解析】【解答】解：原方程中 a=−3 ， b=−4 ， c=1 ，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×(−3)×1=28 ，
故答案为： 28 ．
【分析】利用根的判别式求解即可。
【变式1-2】下列方程没有实数根的是（ ）A．x2﹣1＝0 B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣4x＋4＝0 D．x2﹣x＋2＝0
【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0，∴方程有两个不相等实数根，故本选项不符
合题意；
B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
【变式1-3】判断关于 x 的方程 (x−3)(x−2)=p2 根的情况，并说明理由.
【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：
方程整理为一般式得 x2−5x+6−p2=0 ，
∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2 )=25−24+4 p2=4 p2+1 ，
而4p2≥0，
∴1+4p2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】先将方程化为一般形式，再求出判别式△的值，根据一元二次方程
“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”中△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程
有两个相等的实数根，△＜0时，方程没有实数根，据此判断即可.
题型2：利用根的情况确定字母取值范围
2.若关于 x 的一元二次方程 x2−2x−k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k≤1 B．k<1 C．k≥−1 D．k>−1
【答案】D
【解析】【解答】∵关于 x 的一元二次方程 x2−2x−k=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴(−2) 2+4k>0 ，
解得 k>−1 ，
故答案为：D．
【分析】由一元二次方程根的判别式△>0可得结果。
【变式2-1】已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】解：∵关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即[﹣2（k+1）]2﹣4k2＞0，
1
解得k＞﹣ ．
2
【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac>0，把a、b、c代入求出k的值。【变式2-2】已知关于x的一元二次方程 x2+3x+m=0 有两个不相等的实数根，且 m 为正整数，求
m 的值.
【答案】解：∵一元二次方程 x2 +3x+m=0有两个不相等的实数根，
Δ=32−4m>0 ，
9
∴m< ，
4
∵ 为正整数，
∴m=1或m=2 .
【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，求出m的范
围,再根据m为正整数得出m的值即可.
题型3：利用公式法解一元二次方程
3.解方程： x2+3x−2=0 .
【答案】解： △=32−4×1×(−2)=17，
−3±√17
x=
2×1
−3+√17 −3−√17
所以 x = ，x =
1 2 2 2
【解析】【分析】直接根据求根公式法解一元二次方程即可.
解方程：x2-5x+2=0。
【答案】解：∵a=1，b=-5，c=2，
∴b2−4ac=(−5) 2−4×1×2=17 .
5±√17 5±√17
∴x= = .
2×1 2
5+√17 5−√17
∴x = ,x =
1 2 2 2
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可求解.
【变式3-1】用公式法解方程： 4x2+4x−1=−10−8x
【答案】解：方程 4x2+4x−1=−10−8x
可化为： 4x2+12x+9=0
∴a=4，b=12，c=9 ，
∴b2−4ac=122−4×4×9=0
∴原方程有两个相等的实数根，
−b±√b2−4ac −12±0 3
∴x= = =−
2a 2×4 2
3
∴x =x =−
1 2 2−b±√b2−4ac
【解析】【分析】直接套公式 x= 进行求解．
2a
解方程：2x2-3x-4=0．
【答案】解：∵a=2，b=-3，c=-4，
∴△=b2-4ac=9+32=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±√b2−4ac 3±√41
∴x= = ，
2a 4
3+√41 3−√41
∴x= ，x= ．
1 4 2 4
【解析】【分析】先确定a，b，c计算判别式，判断根的情况，然后利用求根公式计算可得x的值.
1
【变式3-2】解方程：3+2x2- x=0
2
1 1
【答案】解：原方程可化为： 2x2− x+3=0 ，∴a=2，b=− ，c=3 ，∴△=
2 2
1 2 3
(− ) −4×2×3=−23 <0 ，∴原方程无实数根.
2 4
1 3
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程，因为∆=( − ) 2 − 4 × 2 × 3 = − 23 < 0，所以原方程
2 4
无实数根。
解方程：x2＋4x＋1＝0.
【答案】解：∵a＝1，b＝4，c＝1
b2－4ac＝16－4＝12
−4±√12
∴x＝ ＝－2±√3
2
∴x＝－2＋√3，x＝－2－√3.
1 2
【解析】【分析】运用公式法解一元二次方程。
题型4：数形结合与待定字母的值
4.若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为
.
【答案】9
【解析】【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2，x＝4，
1 2
∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9.
故答案为：9.
【分析】当底边长为2时，根据△＝0求出m的值；当腰长为2时，将x=2代入方程中求出m的值，
然后求出方程的根，得到三角形的三边长，然后根据三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.
【变式4-1】等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a=6，b与c是方程x2−(3m+1)x+2m2+2m=0
的两根，求此三角形的周长．
【答案】解：①若a=6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：62−(3m+1)×6+2m2+2m=0，
解得m=3或m=5，
∴当m=3时，
方程可化为x2−10x+24=0，
解得x =4，x =6，
1 2
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：4+6+6=16；
当m=5时，
方程可化为x2−16x+60=0，
解得x =6，x =10；
1 2
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：10+6+6=22；
∴三角形的周长为16或22；
②若a=6是三角形的底边，则b、c为腰，即b=c，则方程有两个相等的实数根，
∴[−(3m+1)] 2−4(2m2+2m)=0，
解得m=1，
∴原方程可化为x2−4x+4=0，
解得x =x =2，
1 2
此时，a=6，b=c=2，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【解析】【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
【变式4-2】若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2﹣（m＋2）x＋2m＋4＝0的
两个根.
（1）求出m的值.
（2）求出三角形另外两边长度.
【答案】（1）解：①当6为底时，两腰为方程两根，且相等.则Δ＝[﹣（m+2）] 2﹣4（2m+4）＝0，
即：即m2﹣4m﹣12＝0，
解得：m ＝﹣2，m ＝6；
1 2
当m＝﹣2时，原方程为：x2＝0；解得：x＝x＝0（不合题意，舍去），
1 2
∴m=6，
②当6为腰时，则方程的一个解为6.代入原方程中可得：36﹣6（m+2）+2m+4＝0，
解得：m＝7；
m的值为6或7；
（2）解：①当m＝﹣2时，原方程为：x2＝0；解得：x＝x＝0（不合题意，舍去），
1 2
②当m＝6时，原方程为：x2﹣8x+16＝0；解得：x＝x＝4（三角形两腰为4）；
1 2
③当m＝7时，原方程为：x2﹣9x+18＝0；解得：x＝3，x＝6（三角形另一腰为6，底为3）；
1 2
综上：三角形另外两边长度为4和4或3和6.
【解析】【分析】（1）①当6为底时，两腰为方程两根，故该方程有两个相等的实数根，由Δ＝0可
得m的值，然后求出方程的两根，进行检验即可；②当6为腰时，则方程的一个解为6，代入原方程
中可得关于m的一元一次方程，求解可得m的值；
（2）当m＝6时，原方程为：x2﹣8x+16＝0，求解可得另外两边长度；当m＝7时，原方程为：x2﹣
9x+18＝0，同理求解即可.
因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法：
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
题型5：利用因式分解法解一元二次方程
5.（1）x2=5x
（1）解： x2=5x
x2−5x=0
x(x−5)=0 ，
解得 x =0，x =5
1 2
（2）x2=2x
【答案】解： x2=2x
x2−2x=0
x(x−2)=0
解得： x =0,x =2
1 2
【变式5-1】解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．【答案】解：（2x－5）（x－1）＝0
5
x＝ ，x＝1
1 2 2
【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
解方程：x（x﹣3）＝x﹣3
【答案】解：x（x-3）=x-3
x（x-3）-（x-3）=0，
（x-3）（x-1）=0，
解得：x=3，x=1．
1 2
【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
【变式5-2】解方程3x+6＝（x+2）2；
解：3x+6＝（x+2）2
（x+2）2-3（x+2）=0，
(x+2)(x+2−3)=0 ，
x+2=0 或 x−1=0 ，
解得 x =−2，x =1
1 2
9（x+1）2＝4（2x﹣1）2．
解：9（x+1）2＝4（2x﹣1）2
9(x+1) 2−4(2x−1) 2=0 ，
[3(x+1)+2(2x−1)][3(x+1)−2(2x−1)]=0
(7x+1)(−x+5)=0
7x+1=0 或 −x+5=0 ，
1
解得： x =− ，x =5 ，
1 7 2
题型6：适当的方法解一元二次方程
6.用适当的方法解下列方程：
（1）(x−3) 2−4=0 ；
（2）x2−4x−8=0 ．
【答案】（1）解：∵（x-3）2-4=0，
∴（x-3-2）（x-3+2）=0，
∴x-3-2=0，x-3+2=0，
∴x =5，x =1 ；
1 2
（2）解：∵x2−4x−8=0 ，
∴a =1， b =-4， c =-8，
∴Δ= b2−4ac = (−4) 2−4×(−8) =48，−b±√b2−4ac 4±√48
∴x= = =2±√3 ，
2a 2
∴x =2+√3，x =2−√3 ；
1 2
【解析】【分析】 (1) 利用因式分解法解方程即可得出结果；
(2) 利用求根公式法解方程即可得到答案。
【变式6-1】用适当的方法解下列方程.
（1）x2-2x=0
（2）2x2-3x-1=0
【答案】（1）解：x(x-2)=0,
∴x=0或x=2；
（2）解： 2x2-3x-1=0 ,
3 9 1 9
x2- x+ = + ，
2 16 2 16
3 17
（x- ）2= ,
4 16
3 √17
∴x- =± ，
4 4
3+√17 3−√17
∴x= 或x= .
4 4
【解析】【分析】（1）因为有公因式x，可用分解因式法解一元二次方程；
（2）移项、配方、开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【变式6-2】用适当的方法解下列方程：
（1）x 2+3x−2=0
❑
（2）(x−3) 2=2x−6
【答案】（1）解： x 2+3x−2=0
❑
∵a=1 ， b=3 ， c=−2 ，
∴Δ=32−4×1×(−2)=17>0
−3±√17
∴x=
2
−3+√17 −3−√17
即： x = ，x =
1 2 2 2
（2）解： C(0,16)
(x−3) 2−(2x−6)=0
(x−3) 2−2(x−3)=0
(x−3−2)(x−3)=0
(x−5)(x−3)=0
∴解得： x =3，x =5
1 2【解析】【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）移项后，提取公因式x-3，再进一步求解可得；
题型7：换元法求代数式的值
7.若 (a2+b2 ) 2−3(a2+b2 )−4=0 ，则代数式 a2+b2 的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：方程变形得: (a2+b2−4)(a2+b2+1)=0 ，
可得 a2+b2−4=0 或 a2+b2+1=0 ，
解得： a2+b2=4 或 a2+b2=−1 (舍去)
则 a2+b2 的值是4.
故答案为: 4
【分析】将方程左边进行因式分解可得(a2+b2−4)(a2+b2+1)=0，可得a2+b2−4=0 或
a2+b2+1=0，据此求出结论.
【变式7-1】阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24=0
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1=y，
则原方程可化为：y2﹣10y+24=0
解得：y=6，y=4
1 2
∴4x﹣1=6 或4x﹣1=4
7 5
∴x= ，x=
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，求x2+y2的值．
【答案】解：设x2+y2=a （a≥0），则原方程可化为：（a+1）（a﹣3）=5，
解得：a=﹣2（舍去），a=4，
1 2
则x2+y2=4．
【解析】【分析】把x2+y2视为x2+y2=a一个整体，设x2+y2=a （a≥0），则原方程转化为关于a的一元
二次方程，通过解该方程求得a即x2+y2的值
【变式7-2】已知：实数x满足（x2+x）2﹣（x2+x）﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值．
【答案】解：设x2+x=t，则
t2﹣t﹣6=0，
整理，得
（t﹣3）（t+2）=0，
解得t=3或t=﹣2（舍去），即x2+x=3，
所以x2+x+5=3+5=8，即x2+x+5的值为8．
【解析】【分析】设x2+x=t，则由原方程得到关于t的一元二次方程，通过解该方程得到 x2+x的值；
然后将其代入所求的代数式进行求值．
题型8：新定义问题
8.对于任意实数a，b，定义一种运算： a b=a2+b2-ab，若x (x-1)=3，则x的值为
【答案】-1或2
【解析】【解答】解：∵x⊗(x−1)=3，
∴x2+（x-1）2-x（x-1）=3，
∴x2-x-2=0，
∴（x+1）（x-2）=0，
∴x=-1或2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
【变式8-1】现定义运算“★”，对于任意实数a，b， 都有a★ b=a2−3a+b ， 如：3★
5=32−3×3+5 ，若x★ 2=6 ，则实数x的值是 .
【答案】4或﹣1
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
∵x★2＝6，
∴x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x＝4，x＝﹣1.
1 2
故答案为：4或﹣1.
【分析】由定义的新运算列出方程，再利用因式分解法解方程即可.
a b 2 1
【变式8-2】对于实数a、b、c、d，我们定义运算 | | =ad-bc，例如： | | =2×5-1×3=7，上
c d 3 5
x x−2
述记号就叫做二阶行列式.若 | | =4，则x= .
6 x
【答案】2或4
【解析】【解答】解：利用题中的新定义化简得：
x2−6(x−2)=4
x2−6x+8=0
(x−2)(x−4)=0
解得： x =2 ， x =4 .
1 2
故答案为：2或4.
【分析】根据定义的新运算可得x2-6(x-2)=4，然后整理成一般形式，观察方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，因此利用因式分解法求解即可.
一、单选题
1．一元二次方程 x2−4x+4=0 的根的情况是 ()
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．4x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2+4x+4＝0 D．4x2﹣5x+2＝0
3．若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是( )
1
A．-2 B．0 C． D．1
2
4．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
5．已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1
6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ ＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
7．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0
二、填空题
8．一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是 。
9．方程 x2−2x−8=0 有 个实数根.
10．已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ．
1
11．关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：
4
a= ，b= .12．已知关于x的一元二次方程 kx2−2x+1=0 有实数根，若k为非负整数，则k等于 ．
三、计算题
13．解下列方程：
（1）x2+2x-19=0；
（2）(x+1)(2x-3)=2．
14．解方程： y(y−7)+2y−14=0 .
四、解答题
15．求证：无论k取何值，关于x的方程 x2+kx+k−1=0 都有两个实数根．
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 小霞：
两边同除以（x﹣3），得 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
3＝x﹣3， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x＝6． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x＝3，x＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答
过程．
17．以下是小滨在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程.
解：原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)
解得原方程的解是x=−3.
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.练习与提升参考答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在方程x2-4x+4=0中，
△=（-4）2-4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故答案为：B
【分析】算出方程根的判别式的值，根据判别式的值等于0，得出结论：该方程有两个相等的实数根．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A.此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
B.此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C.此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0，此方程没有实数根；
D.此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根；
故答案为：B.
【分析】先计算各选项的b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有
两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实
数根"可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
{△=22−4(k−1)×(−2)≥0
∴ ，
k−1≠0
1
解得k≥ 且k≠1，
2
故答案为：C.
{△=22−4(k−1)×(−2)≥0
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组 ，求出k的取
k−1≠0
值范围即可得出答案.
4．【答案】C【解析】【解答】解：∵△＝a2﹣4×1×(a﹣1)＝a2﹣4a+4＝(a﹣2)2≥0，
∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根，
故答案为：C.
【分析】先求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，
∴△≥0，即22-4×3×a≥0，
1
解得a≤ ．
3
故答案为：A．
【分析】根据根的判别式，可解出a的取值范围。
6．【答案】D
1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ ＝0有两个实数根，
4
1
∴△＝（﹣2）2﹣4k• ≥0，k≠0，
4
解得：k≤4且k≠0，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-
4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"和一元二次方程的一般形
式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于k的不等式，解不等式组即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实
数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．
8．【答案】5
【解析】【解答】解：a=1，b=-3，c=1
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5.
【分析】先确定出二次函数中各项的系数，然后将它们代入公式△=b2-4ac计算即可。
9．【答案】2
【解析】【解答】解：∵a=1 ， b=−2，c=−8 ，∴△＝ b2 -4ac＝ (−2) 2−4×(−8)=36>0 ，
∴方程有2个实数根.
故答案为：2.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两
个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根.
10．【答案】m≤3且m≠2
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
【分析】因为关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，所以由一元二次方程的根的判别式
可得b2−4acb2−4ac≥0，且a≠0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，且m≠2，则m的取值范围是
m≤3且m≠2．
11．【答案】4；2
1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
4
∴Δ=0
∴b2-a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件.
故答案为：4，2（答案不唯一）
1
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，可得判别式△=0，从而可
4
得a=b2，根据题意求出a、b的值即可.
12．【答案】1
【解析】【解答】由题意可知
{Δ=4−4k≥0
k≠0
k≥0
∴0
