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21.2 直接开方法和配方法
直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
直接开方法解一元二次方程的步骤:
①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解.
题型1：直接开方法的条件
1.1．若关于 x 的方程 x2−m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0
【变式1-1】若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定
【变式1-2】若关于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤0 B．m＞0 C．m≥0 D．无法确定
【变式1-3】①4x2=1；②x2+2x-1=0；③3x2-x=0；④-（2x+1）2+4=0．其中能用直接开平方法求解的是（
）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
题型2：解形如x2=a(a≥0)的方程
2.用直接开平方法解下列方程．
（1）x2-9=0 (2)x2-121=0 (3)3a2-27=0【变式2-1】解方程
（1）4x2=1 （2）0.8x2-4=0；（3）4.3-6x2=2.8．
【变式2-2】下列解方程正确的是（ ）
A．x2=-64解：x=±8
B．（x-1）2=36解：x-1=6，∴x=7
C．x2=7解：x=±√7
1
D．25x2=1解：25x=±1，∴x=±
25
题型3：解形如(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的方程
3.解方程
（1）（x-3）2=16；（2）2（x-1）2=338 （3）4（x-2）2-36=0．
【变式3-1】解方程
1
（1）4（t+4）2=9 （2）2（n- ））2-1=0
2
【变式3-2】已知 x ， x 是方程 3(x−1) 2=15 的两个根，且 x <x ，则下列说法正确的是 ()
1 2 1 2
A．x <−1 ， x >3 B．x <−2 ， x >3
1 2 1 2
C．−1<x <x <3 D．x <x <3
1 2 1 2
题型4：已知一根求字母的值
4.若2是关于x的方程x2-c=0的一个根，则c=（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【变式4-1】若x=2是方程3x2-7=a2的一个根，则a的值为（ ）
A．5 B．±5 C．√5 D．±√5
【变式4-2】若关于x的方程（ax-1）2-16=0的一个根为2，则a的值为 。
配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程
的方法叫配方法.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无
实数解.
题型5：完全平方式问题
5.方程 x2+2x=1 的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．(x+1) 2=2 B．(x−1) 2=2 C．(x+1) 2=1 D．(x−1) 2=1
【变式5-1】把方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）
A．(x-6)2=41 B．(x-3)2=4 C．(x-3)2=14 D．(x-3)2=9
【变式5-2】把方程 x2−10x=−3 左边化成含有 x 的完全平方式，其中正确的是（ ）
A．x2−10x+(−5) 2=28 B．x2−10x+(−5) 2=22
C．x2+10x+52=22 D．x2−10x+5=2
题型6：配方法解一元二次方程-二次项系数为1
6.解方程：（1）x2﹣6x+2=0． （2）x2+4x+1=0 ；
7
【变式6-1】解方程：（1）x2+3x−1=0 （2）x2−x− =0
4
【变式6-2】解方程
（1）x2−5x−6=0； （2）x2-2x-5=0
题型7：配方法解一元二次方程-二次项系数不为1
7.用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0．
【变式7-1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
1 9
A．2m2+m﹣1＝0化为(m+ ) 2=
4 16
B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5
3 25
C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t− ) 2=
2 16
2 1
D．3y2﹣4y+1＝0化为(y− ) 2=
3 9
【变式7-2】用配方法解方程：2x2-2=x题型8：配方法求字母的值
8.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a) 2=b的形式，下列结果中正确的是
（ ）
A．(x−4) 2=6 B．(x−8) 2=6 C．(x−4) 2=−6 D．(x−8) 2=54
【变式8-1】把方程x2−4x−3=0化成(x+a) 2=b（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）
A．2，7 B．2，5 C．−2，7 D．−2，5
【变式8-2】若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于
m+n的值是
题型9：直接开方法和配方法的新定义问题
9.在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为
．
【变式9-1】对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n．
（1）化简：（a+b）※（a-b）；
（2）解关于x的方程：x※（1※x）=-1．
【变式9-2】在实数范围内定义一种新运算，规定：a★b=a2-b2，求方程（x+2）★5=0的解．
题型10：配方法的应用-最值问题
10.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．-30 B．-20 C．-5 D．0
【变式10-1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为
【变式10-2】已知：a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整数解，请用配方法解关于 x的方程
x2+2ax+a+1=0.
题型11:配方法的应用-比较代数式大小
11.已知M= （t为任意实数），则M，N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M=N D．不能确定【变式11-1】阅读材料：
数学课上，老师在求代数式x2-4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：
x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1．
∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2+1≥1．
当x=2时，（x-2）2+1=1，
因此（x-2）2+1有最小值1，即x2-4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：
（1）代数式x2+10x-6的最小值为
（2）试比较代数式A=3x2-2x与B=2x2+4x-10的大小，并说明理由．
．
【变式11-2】把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问
题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用
配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=（a+3）2-1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．
所以（a+3）2-1≥-1，所以当a=-3时，a2+6a+8有最小值，最小值是-1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2-10x+ =（x- ）2；
（2）将x2-8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2-8x+2的最小值；
（3）若M=4a2+9a+3，N=3a2+11a-1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
题型12:配方法的应用-三角形边的关系
12.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足（x+a）（x+b）=x2+17x+60，且a2+b2=c2，求△ABC的周长；
（2）若a，b，c满足a2-4ab+5b2-6b+9=0，且△ABC的周长是偶数，求c的值．
【变式12-1】先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0，
所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0．
所以（m+n）2+（n-3）2=0．
所以m+n=0，n-3=0．
所以m=-3，n=3．
问题：（1）若x2+4y2+2xy-12y+12=0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2=10a+8b-41，求△ABC的周长．
【变式12-2】阅读材料：若m2-2mn+2n2-10n+25=0，求m，n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-10n+25=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-10n+25）=0．
∴（m-n）2+（n-5）2=0，
∴m-n=0，n-5=0．
∴n=5，m=5．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4=0，求xy的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2-14a-16b+113=0，求△ABC的周长的
最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，试判断△ABC是什么形状
的三角形并说明理由．一、单选题
1．将一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2=4 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
2．用配方法解方程 x2−8x+11=0 的过程中，配方正确的是（ ）
A．x2−8x+(−4) 2=5 B．x2−8x+(−4) 2=31
C．(x+4) 2=5 D．(x−4) 2=−11
3．用配方法解一元二次方程 x2−9x+19=0 ，配方后的方程为（ ）
9 2 5 9 2 5
A．(x− ) = B．(x+ ) = C．(x−9) 2=62 D．(x+9) 2=62
2 4 2 4
4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11 B．（x+4）2＝21
C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
5．一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A．x=3，x=﹣1 B．x=3
1 2
C．x=1 D．x=3，x=0
1 2
6．把方程x2-4x-6=0配方成（x+m)2=n的形式，结果应是（ ）
A．（x-4）2=2 B．(x-2)2=6 C．（x-2）2=8 D．（x-2)2=10
7．用配方法解方程 x2−4x=5 时，此方程可变形为( )
A．(x+2) 2=1 B．(x−2) 2=1 C．(x+2) 2=9 D．(x−2) 2=9
8．用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2) 2=m，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．79．若将一元二次方程 x2−8x−9=0 化成 (x+n) 2=d 的形式，则 n，d 的值分别是（ ）
A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73
10．在解方程 2x2+4x+1=0 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思：
2x2+4x=−1 小博
1 2x2+4x=−1
x2+2x=−
2
4x2+8x=−2
1
x2+2x+1=− +1 4x2+8x+4=−2+4
2
(2x+2) 2=2
1
(x+1) 2=
2
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
二、填空题
11．如果(x-4)2=9，那么 x= 。
12．一元二次方程x2＝81的解是 .
13．把一元二次方程x2+6x-1=0通过配方化成(x+m)2= n的形式为 ．
14．将 x2+6x+1=0 改写成 (x+p) 2=q 的形式为 ．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的
值是
16．对于实数 p ， q ，我们用符号 min{p,q} 表示 p ， q 两数中较小的数，如 min{1,2}=1 ，
min{−√2,−√3} = −√3 ,若 min{(x−1) 2,x2 }=1 ，则x= ．三、解答题
1
17．解方程： x2﹣x﹣1＝0．
2
18．解方程：
（1）x2=9
（2）x2+2x-3=0
19．如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
20．若 a 为方程 (x−√13) 2=16 的一个正根， b 为方程 y2−2y+1=13 的一个负根，求a+b的值．
21．已知关于x的一元二次方程2x2－3k+4=0的一个根是1，求k的值和方程的另一根．
