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21.2 直接开方法和配方法
直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
直接开方法解一元二次方程的步骤:
①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解.
题型1：直接开方法的条件
1.1．若关于 x 的方程 x2−m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0
【答案】D
【解析】【解答】解： x2−m=0
x2=m
∵关于 x 的方程 x2−m=0 有实数根
∴m≥0
故答案为：D.
【分析】先移项得到x2=m，再由偶数次幂的非负性，得到m第取值范围.
【变式1-1】若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程（x﹣4）2=a有实数解，
∴x﹣4=±√a，∴a≥0；
故选B．
【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于 a的不等式方
程，然后求得a的取值范围．
【变式1-2】若关于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤0 B．m＞0 C．m≥0 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有实数解，
∴m≥0，
故选C
【分析】利用平方根的性质判断即可确定出m的范围．
【变式1-3】①4x2=1；②x2+2x-1=0；③3x2-x=0；④-（2x+1）2+4=0．其中能用直接开平方法求解的是（
）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．
【解答】解：能用直接开平方法求解的是：①4x2=1和④-（2x+1）2+4=0；
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a
（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
题型2：解形如x2=a(a≥0)的方程
2.用直接开平方法解下列方程．
（1）x2-9=0 (2)x2-121=0 (3)3a2-27=0
【解答】解：（1）∵x2-9=0，
∴x2=9，
∴x=±3．
（2）∵x2-121=0，
∴x2=121，
∴x=11或x=-11
（3）∵3a2-27=0，
∴a2=9，
∴a=±3．
【变式2-1】解方程
（1）4x2=1 （2）0.8x2-4=0；（3）4.3-6x2=2.8．
【解答】解（1）∵4x2=1，
1
∴x2=
4
1
∴x=±
2
（2）∵0.8x2-4=0，
∴x2=5，
∴x=±√5．（3）∵4.3-6x2=2.8，
1
∴x2=
4
1
∴x=±
2
【变式2-2】下列解方程正确的是（ ）
A．x2=-64解：x=±8
B．（x-1）2=36解：x-1=6，∴x=7
C．x2=7解：x=±√7
1
D．25x2=1解：25x=±1，∴x=±
25
【分析】根据直接开平方法对四个选项中的解法分别进行判断．
【解答】解：A、x2=-64没有实数解，所以A选项错误；
B、（x-1）2=36，解：x-1=±6，∴x1=7，x2=-5，所以B选项错误；
C、x2=7，解：x=±√7，所以C选项正确；
1
D、25x2=1解：5x=±1，∴x=± ，所以D选项错误．
25
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方
程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
题型3：解形如(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的方程
3.解方程
（1）（x-3）2=16；（2）2（x-1）2=338 （3）4（x-2）2-36=0．
【解答】解：（1）∵（x-3）2=16，
∴x-3=±4，
∴x=7或x=-1．
∵2（x-1）2=338，
∴（x-1）2=169，
∴x-1=±13，
∴x=14或-12；
（2）∵4（x-2）2-36=0，
∴（x-2）2=9，
∴x=5或x=-1．
【变式3-1】解方程
1
（1）4（t+4）2=9 （2）2（n- ））2-1=0
2
【解答】解：（1）∵4（t+4）2=9，
9
∴（t+4）2=
4
3
∴t+4=±
2
11 5
∴t=− 或t=−
2 21
（2）∵2（n- ）2-1=0
2
1 1
∴（n- ）2=
2 2
1 √2
∴n- =±
2 2
1±√2
∴n=
2
【变式3-2】已知 x ， x 是方程 3(x−1) 2=15 的两个根，且 x 3 B．x <−2 ， x >3
1 2 1 2
C．−13 ， x =1−√5<−1 ，
2 1
故答案为：A.
【分析】直接开平方法解方程得出两根，进而估计无理数的大小得出答案.
题型4：已知一根求字母的值
4.若2是关于x的方程x2-c=0的一个根，则c=（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【分析】把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0，然后解关于c的方程．
【解答】解：把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0，
解得c=4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方
程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【变式4-1】若x=2是方程3x2-7=a2的一个根，则a的值为（ ）
A．5 B．±5 C．√5 D．±√5
【分析】将x=2代入方程得到有关a的方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x=2是方程3x2-7=a2的一个根，
∴3×4-7=a2，
∴a2=5，
解得a=±√5
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义及直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题
的关键
【变式4-2】若关于x的方程（ax-1）2-16=0的一个根为2，则a的值为 。【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x=2代入（ax-1）2-16=0，
∴（2a-1）2-16=0，
∴2a-1=±4，
5 3
a = 或a =−
1 2 2 2
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程
的方法叫配方法.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无
实数解.
题型5：完全平方式问题
5.方程 x2+2x=1 的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．(x+1) 2=2 B．(x−1) 2=2 C．(x+1) 2=1 D．(x−1) 2=1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2+2x=1
∴x2+2x+1=2
∴（x+1）2=2
故答案为：A.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
【变式5-1】把方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）
A．(x-6)2=41 B．(x-3)2=4 C．(x-3)2=14 D．(x-3)2=9
【答案】C
【解析】【解答】解： x2-6x-5=0 ，
x2-6x=5 ，
x2-6x+9=5+9 ，
（x-3）2=14.
故答案为：C.
【分析】根据配方法的特点，先把不合适的常数项移到右边，方程两边再同时加上一次项系数一半的
平方即即可配方.
【变式5-2】把方程 x2−10x=−3 左边化成含有 x 的完全平方式，其中正确的是（ ）A．x2−10x+(−5) 2=28 B．x2−10x+(−5) 2=22
C．x2+10x+52=22 D．x2−10x+5=2
【答案】B
【解析】【解答】解：x2-10x+（-5）2=-3+（-5）2，
即x2-10x+（-5）2=22．
故答案为：B．
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方（-5）2，右边根据有理数的加法法则合并同类项即
可。
题型6：配方法解一元二次方程-二次项系数为1
6.解方程：（1）x2﹣6x+2=0． （2）x2+4x+1=0 ；
【答案】（1）解：x2﹣6x+2=0，
移项得：x2-6x=-2，
配方得：x2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，
开方得：x-3=± √7 ，
∴原方程的解是：x=3+ √7 ，x=3- √7 ；
1 2
（2）解： x2+4x+1=0 ，
x2+4x=−1 ，
x2+4x+4=−1+4 ，即 (x+2) 2=3 ，
x+2=±√3 ，∴x =√3−2，x =−√3−2
1 2
7
【变式6-1】解方程：（1）x2+3x−1=0 （2）x2−x− =0
4
【答案】（1）解：x2+3x=1 ，
9 13
x2+3x+ = ，
4 4
3 2 13
(x+ ) = ，
2 4
3 √13
x+ =± ，
2 2
3 √13 3 √13
x+ = 或 x+ =− ，
2 2 2 2
−3+√13 −3−√13
x = ， x = ；
1 2 2 2
7
（2）解： x2−x− =0
4
4x2−4x−7=0 ，
4x2−4x+1=8 ，(2x−1) 2=8
2x−1=±2√2 ；
1 1
解得： x =√2+ ， x =−√2+
1 2 2 2
【变式6-2】解方程
（1）x2−5x−6=0； （2）x2-2x-5=0
【答案】（1）解：x2−5x−6=0，
(x+1)(x−6)=0，
x+1=0，x−6=0，
x =−1，x =6；
1 2
（2）x2-2x-5=0，
x2-2x=5，
x2-2x+1=5+1，
（x-1）2=6，
∴x-1=±√6，
∴x=1+√6，x=1-√6；
1 2
题型7：配方法解一元二次方程-二次项系数不为1
7.用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】解：∵2x2−4x−1=0，
1
∴x2−2x− =0，
2
1
∴x2−2x=
，
2
3
∴x2−2x+1=
，
2
3
∴(x−1) 2= ，
2
√6
∴x−1=± ，
2
√6 √6
∴x =1+ ，x =1− ．
1 2 2 2
【解析】【分析】利用配方法解方程即可。
【变式7-1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
1 9
A．2m2+m﹣1＝0化为(m+ ) 2=
4 16
B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝53 25
C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t− ) 2=
2 16
2 1
D．3y2﹣4y+1＝0化为(y− ) 2=
3 9
【分析】各项中的方程变形得到结果，即可做出判断．
1 1
【解答】解：A、2m2+m﹣1＝0，变形得：m2+ m= ，
2 2
1 1 9 1 9
配方得：m2+ m+ = ，即（m+ ）2= ，本选项正确；
2 16 16 4 16
B、x2﹣6x+4＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣4，
配方得：x2﹣6x+9＝5，即（x﹣3）2＝5，本选项正确；
3
C、2t2﹣3t﹣2＝0，变形得：t2− t＝1，
2
3 9 25 3 25
配方得：t2− t+ = ，即（t− ）2= ，本选项错误；
2 16 16 4 16
4 1
D、3y2﹣4y+1＝0，变形得：y2− y=− ，
3 3
4 4 1 2 1
配方得：y2− y+ = ，即（y− ）2= ，本选项正确．
3 9 9 3 9
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式7-2】用配方法解方程：2x2-2=x
【分析】方程移项，把平方项的系数化为1，利用完全平方公式平方后，计算即可求出解．
【解答】
【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
题型8：配方法求字母的值
8.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a) 2=b的形式，下列结果中正确的是
（ ）
A．(x−4) 2=6 B．(x−8) 2=6 C．(x−4) 2=−6 D．(x−8) 2=54
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2−8x+10=0，
∴x2−8x=−10，∴x2−8x+16=−10+16，即(x−4) 2=6，
故答案为：A．
【分析】利用配方法减一元二次方程即可得出答案。
【变式8-1】把方程x2−4x−3=0化成(x+a) 2=b（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）
A．2，7 B．2，5 C．−2，7 D．−2，5
【答案】C
【解析】【解答】解：x2−4x−3=0，
x2−4x+4=4+3，
(x−2) 2−7=0，
(x−2) 2=7，
∴a=−2，b=7，
故答案为：C.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边分别加上一次项系数一半的平方“4”，对左边的式子利
用完全平方公式分解即可化为(x+a)2=b的形式，进而可得a、b的值.
【变式8-2】若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于
m+n的值是
【答案】30
【解析】【解答】解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴m+n=25+5=30
故答案为：30．
【分析】利用配方法将一元二次方程化简为（x-5）2=25-m，再利用待定系数法可得25-m=0，n=5，求
出m的值，再将m、n的值代入m+n计算即可。
题型9：直接开方法和配方法的新定义问题
9.在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为
．
【答案】 x=4，x=﹣4
1 2
【解析】【解答】解：根据新定义可以列方程：
（22﹣32）★x=9，（﹣5）2﹣x2=9，
25﹣x2=9，
x2=16，
x=4，x=﹣4．
1 2
故答案为：x=4，x=﹣4．
1 2
【分析】根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平
方法求出方程的根．
【变式9-1】对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n．
（1）化简：（a+b）※（a-b）；
（2）解关于x的方程：x※（1※x）=-1．
【分析】（1）根据公式列式计算可得；
（2）根据新定义计算左边可得关于x的一元二次方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵m※n=mn+m+n，
∴（a+b）※（a-b）=（a+b）（a-b）+a+b+a-b=a2-b2+2a；
（2）∵x※（1※x）=-1，
∴x2+2x+1=0，
∴x =x =-1．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程和整式的运算，解题的关键是掌握新定义及解一元二次方程的
能力．
【变式9-2】在实数范围内定义一种新运算，规定：a★b=a2-b2，求方程（x+2）★5=0的解．
【分析】先根据新定义得到（x+2）2-52=0，再变形得到（x+2）2=52，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：∵（x+2）★5=0，
∴（x+2）2-52=0，
∴（x+2）2=52，
∴x+2=±5，
∴x =3，x =-7．
1 2
题型10：配方法的应用-最值问题
10.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A．-30 B．-20 C．-5 D．0
【答案】B
【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．
【解答】解：x2-10x+5=x2-10x+25-20=（x-5）2-20，
当x=5时，代数式的最小值为-20，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式10-1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为
【分析】将x2+6x+4利用配方法转化为（x+3）2-5，然后根据（x+3）2≥0可得多项式x2+6x+4的最小
值．
【解答】解：∵x2+6x+4=（x+3）2-5，
∴当x=-3时，多项式x2+6x+4取得最小值-5；
故答案为-5．
【点评】本题考查了配方法的应用．解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方
法．【变式10-2】已知：a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整数解，请用配方法解关于 x的方程
x2+2ax+a+1=0.
【分析】解不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7，得a＞-3，所以最小整数解为-2，于是将a=-2代入方程x2-
4x-1=0．利用配方法解方程即可．
【解答】解：解不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7，得a＞-3，
∴最小整数解为-2，
将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0，得x2-4x-1=0，
配方，得（x-2）2=5．
直接开平方，得x-2=±
解得x =2+ ，x =2-
1 2
题型11:配方法的应用-比较代数式大小
11.已知M= （t为任意实数），则M，N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M=N D．不能确定
【分析】利用配方法把N-M的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【解答】解：∵N-M= =t2-2t+2=（t-1）2+1＞0，
∴M＜N，
故选：B．
【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的
关键．
【变式11-1】阅读材料：
数学课上，老师在求代数式x2-4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对式子作如下变形：
x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1．
∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2+1≥1．
当x=2时，（x-2）2+1=1，
因此（x-2）2+1有最小值1，即x2-4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：
（1）代数式x2+10x-6的最小值为
（2）试比较代数式A=3x2-2x与B=2x2+4x-10的大小，并说明理由．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可．
【解答】解：（1）x2+10x-6
=（x2+10x+25）-31
=（x+5）2-31，
∵（x+5）2≥0，
∴当x+5=0，即x=-5时，代数式x2+10x-6的最小值为-31．
故答案为：-31；
（2）A＞B．理由如下：
∵（3x2-2x）-（2x2+4x-10）
=3x2-2x-2x2-4x+10
=x2-6x+10
=（x2-6x+9）+1
=（x-3）2+1≥1＞0，
∴A＞B．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式11-2】把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用
配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=（a+3）2-1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．
所以（a+3）2-1≥-1，所以当a=-3时，a2+6a+8有最小值，最小值是-1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2-10x+ =（x- ）2；
（2）将x2-8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2-8x+2的最小值；
（3）若M=4a2+9a+3，N=3a2+11a-1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值即可；
（3）利用作差法比较大小．
【解答】解：（1）x2-10x+25=（x-5）2，
故答案为：25，5；
（2）x2-8x+2
=x2-8x+16-16+2
=（x-4）2-14，
∵不论x取何值，（x-4）2总是非负数，
即（x-4）2≥0，
∴（x-4）2-14≥-14，
∴当x=4时，x2-8x+2有最小值，最小值是-14；
（3）M＞N．理由如下：
M-N
=4a2+9a+3-（3a2+11a-1）
=4a2+9a+3-3a2-11a+1
=a2-2a+4
=a2-2a+1-1+4
=（a-1）2+3，
∵（a-1）2≥0，
∴（a-1）2+3＞0，
∴M-N＞0，
∴M＞N．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
题型12:配方法的应用-三角形边的关系
12.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足（x+a）（x+b）=x2+17x+60，且a2+b2=c2，求△ABC的周长；
（2）若a，b，c满足a2-4ab+5b2-6b+9=0，且△ABC的周长是偶数，求c的值．
【分析】（1）根据“（x+a）（x+b）=x2+17x+60”可得a和b的值，再根据a2+b2=c2，可得c的值，进
一步即可求出△ABC的周长；
（2）先将a2-4ab+5b2-6b+9=0配方成（a-2b）2+（b-3）2=0，求出a，b的值，再根据三角形的三边关
系以及△ABC的周长为偶数，即可确定c的值．
【解答】解：（1）∵（x+a）（x+b）=x2+17x+60，
∴a+b=17，ab=60，
∵a，b，c是正整数，
∴a=12，b=5，或a=5，b=12，
∵a2+b2=c2，
∴c=13，
∴△ABC的周长为5+12+13=30；
（2）∵a2-4ab+5b2-6b+9=0，
∴（a-2b）2+（b-3）2=0，
解得b=3，a=2b=6，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b=9是奇数，
∴c是奇数，∴c=5或7．
【点评】本题考查了配方法的应用，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握完全平方公式是解题
的关键．
【变式12-1】先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0，
所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0．
所以（m+n）2+（n-3）2=0．
所以m+n=0，n-3=0．
所以m=-3，n=3．
问题：（1）若x2+4y2+2xy-12y+12=0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2=10a+8b-41，求△ABC的周长．
【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解
答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两
种情况，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x2+4y2+2xy-12y+12=0，
∴x2+2xy+y2+3y2-12y+12=0，
∴（x+y）2+3（y-2）2=0，
∴x+y=0，y-2=0，
∴x=-2，y=2，
∴xy=2×（-2）=-4，
∴xy的值为-4；
（2）∵a2+b2=10a+8b-41，
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4，
因为△ABC是等腰三角形，
所以c=5或4，
分两种情况：
当c=5时，△ABC的周长为5+5+4=14，
当c=4，△ABC的周长为5+4+4=13，
所以△ABC的周长为13或14．
【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解
题的关键．
【变式12-2】阅读材料：若m2-2mn+2n2-10n+25=0，求m，n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-10n+25=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-10n+25）=0．
∴（m-n）2+（n-5）2=0，
∴m-n=0，n-5=0．
∴n=5，m=5．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4=0，求xy的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2-14a-16b+113=0，求△ABC的周长的
最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，试判断△ABC是什么形状
的三角形并说明理由．
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算
即可得到结果；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，进而确定出c的最大
值，确定出周长的最大值即可；
（3）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质得到a，b，c的关系，即可作出判断．
【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+4y+4=0，
∴（x2+4xy+4y2）+（y2+4y+4）=0，即（x+2y）2+（y+2）2=0，
∴x+2y=0，y+2=0，
解得：x=4，y=-2，
1
则xy=4-2=
16
（2）∵a2+b2-14a-16b+113=0，
∴（a2-14a+49）+（b2-16b+64）=0，即（a-7）2+（b-8）2=0，
∴a-7=0，b-8=0，
解得：a=7，b=8，
由三角形的三边关系可知：1＜c＜15，且c为正整数，
∴c的最大值为14，
则△ABC的周长的最大值为29；
（3）结论：△ABC为等边三角形，
理由为：∵a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
一、单选题
1．将一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2=4 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
【答案】B
【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，x2﹣2x=3，x2﹣2x+1=3+1，（x﹣1）2=4．
故答案为：B．
【分析】先将常数项移到等号的右边，由于二次项系数为1，则给方程两边同时加上一次项次数一半
的平方，然后将左边写成平方的形式即可.
2．用配方法解方程 x2−8x+11=0 的过程中，配方正确的是（ ）
A．x2−8x+(−4) 2=5 B．x2−8x+(−4) 2=31
C．(x+4) 2=5 D．(x−4) 2=−11
【答案】A
【解析】【解答】解： x2−8x+11=0 ，
移项得， x2−8x=−11 ，配方得， x2−8x+(−4) 2=−11+16 ，
即 x2−8x+(−4) 2=5 ，
故答案为：A.
【分析】用配方法解方程即可.
3．用配方法解一元二次方程 x2−9x+19=0 ，配方后的方程为（ ）
9 2 5 9 2 5
A．(x− ) = B．(x+ ) = C．(x−9) 2=62 D．(x+9) 2=62
2 4 2 4
【答案】A
【解析】【解答】∵x2−9x+19=0 ，
∴x2−9x=−19 ，
81 81
则 x2−9x+ =−19+ ，
4 4
9 2 5
即 (x− ) = ，
2 4
故答案为：A.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
左边配成完全平方式”并结合个选项即可求解.
4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11 B．（x+4）2＝21
C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
【答案】D
【解析】【解答】解：x2﹣8x+5＝0，
x2﹣8x＝﹣5，
x2﹣8x+16＝﹣5+16，
（x﹣4）2＝11．
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式将方程化简为{x+a}2=b的形式即可。
5．一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A．x=3，x=﹣1 B．x=3
1 2
C．x=1 D．x=3，x=0
1 2【答案】A
【解析】【解答】解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x-1=2，x-1=-2，
∴x=3，x=-1．
1 2
故答案为：A．
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
6．把方程x2-4x-6=0配方成（x+m)2=n的形式，结果应是（ ）
A．（x-4）2=2 B．(x-2)2=6 C．（x-2）2=8 D．（x-2)2=10
【答案】D
【解析】【解答】解：移项得：x2-4x=6
配方得：x2-4x+4=6+4
即（x-2)2=10
故答案为：D
【分析】先将常数项移到方程的右边，再将方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程
写成（x+m)2=n的形式。
7．用配方法解方程 x2−4x=5 时，此方程可变形为( )
A．(x+2) 2=1 B．(x−2) 2=1 C．(x+2) 2=9 D．(x−2) 2=9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x²−4x=5，
∴x²−4x+4=5+4，
∴(x−2) ²=9.
故选D.
8．用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2) 2=m，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：x2−4x−1=0，
配方得：x2−4x+4=5，即(x−2) 2=5，
则m=5.
故答案为：B.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的解法求解即可。
9．若将一元二次方程 x2−8x−9=0 化成 (x+n) 2=d 的形式，则 n，d 的值分别是（ ）
A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73
【答案】B
【解析】【解答】方程移项得： x =4 ，
2
配方得： x2−8x+42=9+42 ，
即 (x−4) 2=25 ，
则 n=−4，d=25 ，
故答案为：B．
【分析】根据配方法即可求出答案。
10．在解方程 2x2+4x+1=0 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思：
2x2+4x=−1 小博
1 2x2+4x=−1
x2+2x=−
2
4x2+8x=−2
1
x2+2x+1=− +1 4x2+8x+4=−2+4
2
(2x+2) 2=2
1
(x+1) 2=
2
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
【答案】A
【解析】【解答】由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都
正确，
故答案为：A．【分析】利用配方法解方程即可。
二、填空题
11．如果(x-4)2=9，那么 x= 。
【答案】7或1
【解析】【解答】∵(x−4) 2=9，
∴x−4=±3，
∴x−4=3或x−4=−3，
∴x=7或1.
故答案为：7或1.
【分析】对方程两边开平方求得正负两个值，然后移项得出答案即可
12．一元二次方程x2＝81的解是 .
【答案】x＝9，x＝﹣9
1 2
【解析】【解答】x＝±9，
所以x＝9，x＝﹣9.
1 2
故答案为x＝9，x＝﹣9.
1 2
【分析】利用直接开平方法解方程.
13．把一元二次方程x2+6x-1=0通过配方化成(x+m)2= n的形式为 ．
【答案】(x+3)2=10
【解析】【解答】解：∵x2+6x−1＝0，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x＋9＝1＋9，
∴（x+3）2＝10，
故答案为：(x+3)2=10.
【分析】把常数项−1移到方程的右边，左右两边应该同时加上一次项系数一半的平方即可配方．
14．将 x2+6x+1=0 改写成 (x+p) 2=q 的形式为 ．
【答案】(x+3) 2=8
【解析】【解答】解：方程 x2+6x+1=0 ，
移项： x2+6x=−1 ，配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8，
故答案为： (x+3) 2=8 ．
【分析】利用配方法的一般步骤即可得出答案
(1)把常数项移到等号的右边；
(2) 把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
15．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的
值是
【答案】30
【解析】【解答】解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴m+n=25+5=30
故答案为：30．
【分析】利用配方法将一元二次方程化简为（x-5）2=25-m，再利用待定系数法可得25-m=0，n=5，求
出m的值，再将m、n的值代入m+n计算即可。
16．对于实数 p ， q ，我们用符号 min{p,q} 表示 p ， q 两数中较小的数，如 min{1,2}=1 ，
min{−√2,−√3} = −√3 ,若 min{(x−1) 2,x2 }=1 ，则x= ．
【答案】2或-1
【解析】【解答】∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，
∴当x＞0.5时，(x－1)2＜x2，
则(x－1)2＝1，x－1＝±1，
x－1＝1或x－1＝－1，
解得：x＝2，x＝0（不合题意，舍去），
1 2
当x＜0.5时，(x－1)2＞x2，
则x2＝1，
解得：x＝1（不合题意，舍去），x＝－1，
1 2
综上所述：x的值为：2或－1．
故答案为：2或－1．
【分析】（1）第一步先确定较小的代数式。（2）第二步将代数式转化为方程。（3）解出4个解之
后，然后再分析舍掉不合题意的，故得2或－1．
三、解答题
1
17．解方程： x2﹣x﹣1＝0．
2
1
【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0，
2
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± √3 ；
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
18．解方程：
（1）x2=9
（2）x2+2x-3=0
【答案】（1）解：x=±3，
∴x=3，x=-3.
1 2
（2）解：移项，得x2+2x=3，
方程两边同时加上1，得x2+2x+1=4．
即（x+1）2=4．
则x+1=2或x+1=-2．
解得x=1，x=-3.
1 2
【解析】【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程即可；
(2)先把常数移到右式，然后两边同时加1，将左式配成完全平方式，再两边两边同时开方，即可求解.19．如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
【答案】解：依题意得：x2=12×8
∴x2=96
∴x=4√6(x>0)
答：x的值为 4√6 .
【解析】【分析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x
代表的实际意义.
20．若 a 为方程 (x−√13) 2=16 的一个正根， b 为方程 y2−2y+1=13 的一个负根，求a+b的值．
【答案】解： (x−√13)
2=16
，
x−√13=±4 ，
x=√13±4 ，
a 为方程 (x−√13) 2=16 的一个正根，
a=√13+4 ，
y2−2y+1=13 ，
(y−1) 2=13 ，
y−1=±√13 ，
y=1±√13 ，
b 为方程 y2−2y+1=13 的一个负根，
b=1−√13 ，
a+b=√13+4+1−√13=5 ．
【解析】【分析】利用直接开平方及配方法求出a、b的值，再带入计算即可。
21．已知关于x的一元二次方程2x2－3k+4=0的一个根是1，求k的值和方程的另一根．
【答案】解：依题意，得
2×12-3k+4=0，即2-3k+4=0，
解得，k=2，
则原方程为：2x2-2=0，解得：x=1，x=-1，
1 2所以方程的另一个根为x=-1
【解析】【分析】将x=1代入方程求出k的值，再将k的值代入原方程，利用直接开平方法求出方程
的解，就可得出答案。
