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专题 02 一元二次方程的解法
【思维导图】
◎题型1：直接开平方法
技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0） 这解一元二次方程
的方法叫做直接开平方法。
例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝1，x＝-1
1 2 1 2
C．x＝x＝-1 D．x＝1，x＝0
1 2 1 2
变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于 的方程 可以用直接开
平方法求解，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；
方 程 的 两 边 都 除 以 二 次 项 系 数 ， 使 二 次 项 系 数 为 1 ， 如 x² ＋
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x－2) 2＝5 C．(x－2) 2＝3 D．(x＋2) 2＝3
变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程 ，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程 ，配方后得到的方程是
（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（
）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣
整理得，x2﹣4x＝
3∵a＝1，b＝﹣4，c
﹣3配方得，x2﹣
＝﹣3， 移项得，（x﹣3）
4x+2＝﹣1
两边同时除以（x b2﹣4ac＝28
（x﹣1）＝0∴x﹣3
﹣1）得，x＝3
∴（x﹣2）2＝﹣1 ＝0或x﹣1＝0
∴x﹣2＝±1 ∴x＝1，x＝3
1 2
∴x＝ ＝2±
∴x＝1，x＝3
1 2
A．A B．B C．C D．D
◎题型3：配方法的应用
例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为 ，且满足 ，则这
个三角形的最大边 的取值范围是（ ）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程 ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其
配方成 的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数 ， ， 满足 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若 为任意实数时，二次三项式 的值都不小于0，则常数
满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
◎题型4：公式法
技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a
广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以
把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。
例．（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为 ，则此方程可能是
（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
变式2．（2021·河南南阳·九年级阶段练习） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2021·湖南邵阳·九年级期末）用求根公式法解方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
◎题型5：根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
例．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列判
断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
变式1．（2022·吉林长春·九年级期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为 ，
，那么这个一元二次方程是( )A． B．
C． D．
变式3．（2022·江西上饶·九年级期末）已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
◎题型6：因式分解法
技巧：
例．（2022·全国·九年级课时练习）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
变式1．（2022·湖北恩施·九年级期末）一元二次方程 的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝－3 C．x＝－2 D． ，
变式2．（2022·北京通州·八年级期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．0 B．2 C．0，2 D．0，
变式3．（2022··八年级期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
◎题型7：换元法
【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
例．（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=3，x=−5，则关于y的方程
1 2
a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）关于x的方程 的解是
，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程 的解是（ ）
A．x＝2，x＝-1 B．x＝4，x＝1 C．x＝0，x＝-3 D．x＝1，x＝-2
1 2 1 2 1 2 1 2
变式2．（2021·江苏镇江·九年级期中）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，
设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y=1，y=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即
1 2
x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x=2，x=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0
1 2
的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式3．（2021·全国·八年级课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．3或 B． 或2 C．3 D．
◎题型8：根与系数的关系
b
【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ，x1x2
a
c
= ．
a
例．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
变式1．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为
倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
变式2．（2022·湖南长沙·八年级期末）若 、 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为（ ）．
A．2 B． C．2022 D．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）若 x，x 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x+x 的
1 2 1 2
值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
