文档内容
专题 02 一元二次方程的四种实际应用
【基础知识点】
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变
化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用
面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
类型一、增长率问题
例1.某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的
年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40（1+x）x=20，
故选：A．
【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，
并逐步恢复生产．某商店今年1月份的销售额仅2万元，3月份的销售额已达到4.5万元，从1月份到3月
份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．50% B．62.5% C．20% D．25%
【答案】A
【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2
（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x=0.5=50%，x=-2.5（不合题意舍去），
1 2
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选A．
【变式训练2】河南省地方教育经费总投入逐年增加，2017年为2154.67亿元，2019年为2668.52亿元．
若设教育经费总投入平均每年增长的百分率为 ，则下面所列方程中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设教育经费总投入平均每年增长的百分率为 ，则 ，
故选：A
【变式训练3】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的 ，则每次降价的平均百分比
是（ ）
A．10% B．20% C．15% D．25%
【答案】B
【详解】设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得 ，
解得x=0.2或x=1.8(舍去)，
故选B．
类型二、利润问题
例1.某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8
件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件．
(1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？
(2)设每件小商品降价 元，每天的销售总利润为 元，求 与 之间的函数关系式；每件小商品降价多少
元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件小商品的销售价应定为204元或200元销售
(2)每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润是288元
【解析】(1)解：设每件小商品的销售价应降价x元销售，
由题意得： ，∴ ，
解得 或 ，
∴每件小商品的销售价应降价10元或6元销售，
∴每件小商品的销售价应定为204元或200元销售；
(2)解：由题意得 ，∴当 时，w最大，最大为288元，
∴每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润是288元．
【变式训练1】冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探
索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万
件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 62 68
销售量y（万件） 40 36 24
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为
400万元，求a的值．
【答案】(1) ；(2)每件冰墩墩定价为58元；(3)
【解析】(1)由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有
，整理即可得： ；
(2) ，解得 ，
∵尽量给客户优惠，∴每件冰墩墩定价为58元；
(3)设销售总利润为w，由题意，得 ，
又∵ ，则
∵二次项系数 ，抛物线开口向下，
①若 ，则当 时， ，不符合题意，舍去
②若 ，即
当 时， 随 的增大而增大，∴ 时， 最大，
此时
解得 ， （舍），∴ ．【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备
对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x
（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．
(1)该商品的购进价格是每千克多少元？
(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？
(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．
【答案】(1)该商品的进价为20元；
(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；
(3)x＝32时，W有最大值960元．
【解析】(1)设进价为a元，
∵利润率为50%，∴a（1+50%）＝30，解得：a＝20，
所以该商品的进价为20元；
(2)∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．
∴12≤x﹣20≤18，∴x的取值为32≤x≤38
根据题意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750
∴（400﹣10x）（x﹣20）＝750，
解得：x＝35，x＝25（不合题意，舍去），∴x＝35，
1 2
∴商店某天的利润为750元，求售价为35元；
(3)设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵12≤x﹣20≤18，∴32≤x≤38，
∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，∴x＝32时，W有最大值960元．
【变式训练3】冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩
墩的玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若
每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．
(1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价．
(2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，求这个月每件玩偶的销售价．
【答案】(1)这个月每件玩偶的销售价80元；(2)这个月每件玩偶的销售价80元
【解析】(1)解：设这个月每件玩偶的销售价为x元，
根据题意300-(x-70)×10=200，解得x=80元，
答：这个月每件玩偶的销售价80元；
(2)解：设这个月每件玩偶的销售价y元，根据题意，得：（y-60）[300-10（y-70）]=4000，
整理得：y=80，
答：这个月每件玩偶的销售价80元．
类型三、工程问题
例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．
该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设
备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工
程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了
9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，
同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了
小时，求m的值．
【答案】(1)300；(2)5
【解析】(1)解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意
得： ，解得： ，
答：小型设备的使用时间为300小时；
(2)解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备
的使用时间为 小时，
∴ ，
整理得： ，解得： （舍去）．
即m的值为5．
【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决
定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，
甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子；(2)400
【解析】(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子
由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
(2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子
由题意得：
整理得：
解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【变式训练2】某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，
求a的值．
【答案】(1)4；(2)2．
【解析】(1)解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为 千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴ ，
解之得： ，
∴桥梁施工最多是4千米．
(2)解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴ ，
解之得： ，
由题意可知：二季度平地施工里程为 千米，隧道施工里程为 千米，桥梁施工里程为 千
米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，
∵二季度总成本与一季度相同，
∴ ，
即 ，
解之得： （舍去）或 ，
故 ．
【变式训练3】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5
至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长
率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【解析】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得： ，解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)解：设增加x条生产线．
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
类型四、面积问题
例1.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要
开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和
宽应分别为多少米?
【答案】14米，10米
【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
由题意得x•（32-2x+2）=140，整理，得x2-17x+70=0，解得x=10，x=7，
1 2
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32-20+2=14（米）；
答：仓库的长和宽分别为14米，10米．
故答案为：14米，10米
【变式训练1】如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形 ．
（1）若这个矩形的面积等于 ，求 的长度；（2）这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（ 与 之比等于黄金比 ），求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）11cm；（2）不能，理由见解析；（3）
【详解】解：（1）设 ，则 ，
根据题意得 ，整理得 ，
解得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
而 ，所以 ，即 的长为 ；
（2）不能．理由如下：设 ，则 ，根据题意得 ，
整理得 ，因为△ ，所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于 ；
（3）设 ，则 ，根据题意得 ，解得 ，
则 ，所以矩形的面积 ．
x
【变式训练2】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于 ，且小矩形
x
的面积是原来矩形面积的一半，则 的值为_________．
【答案】10
【解析】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，
则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2
1
根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝ ×80×60，整理得：x2−70x＋600＝0，
2
解之得：x＝10，x＝60，因x＝60不合题意，应舍去，所以x＝10．
1 2
故答案为：10.【变式训练3】如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形
菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）10米；（2）800平方米
【详解】解：（1）设AB=x，则BC=（100-2x），由题意得： x（100-2x）=450，解得：x =5，x =45，
1 2
当x=5时，100-2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100-2x=10＜20，
答：AD的长为10米；
（2）设BC=x，则S= x（100-x）= （x-50）2+1250，
∵0＜x≤20， ＜0，∴x=20时，S的最大值是800．
答：当x=20时，矩形菜园ABCD面积的最大值为800平方米．
