文档内容
24.1.3 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦 也
相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
注意：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
题型1：弧、弦、圆心角的概念
1.1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【变式1-1】下列语句中，正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条
直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
题型2：弧、弦、圆心角求角度
2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 B´C 的度数为( )A．25° B．30° C．50° D．65°
【变式2-1】如图， AB 为⊙O的直径，点C、D是 B´E 的三等分点， ∠AOE=60° ，则 ∠BOD
的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【变式2-2】如图，在⊙O中， A´C=B´D ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
题型3：弧、弦、圆心角求线段
3.如图，在 O中，若^AB=C^D，且AD＝3，求CB的长度．
⊙
【变式3-1】如图，已知 ⊙O 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
（ ）A．3 B．4 C．3√2 D．4√2
【变式3-2】如图，MN是 O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是^AN的中点，点B'是点B关于
MN的对称点， O的半径为1，则AB'的长等于（ ）
⊙
⊙
A．1 B．√2 C．√3 D．2
题型4：弧、弦、圆心角与比较问题
4.如图，在同圆中，弧 AB 等于弧 CD 的 2 倍，试判断 AB 与 2CD 的大小关系是（ ）
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定
【变式4-1】如图，在⊙O中，A´B=2A´C，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入
“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式4-2】如图， A´C=B´C ，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，
并说明理由.题型5：弧、弦、圆心角与证明问题
5.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
【变式5-1】如图，A，B是⊙O上的两点，C是 A´B 的中点．求证： ∠A=∠B ．
【变式5-2】如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．
题型6：弧、弦、圆心角综合问题
6.如图， MB ， MD 是 ⊙O 的两条弦，点 A，C 分别在 M´B ， M´D 上，且 AB=CD ，
M 是 A´C 的中点.求证：
（1）MB=MD .
（2）过 O 作 OE⊥MB 于点 E .当 OE=1 ， MD=4 时，求 ⊙O 的半径.
【变式6-1】如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．
求证：
（1）弧BC=弧AF；
（2）AM=BN．
【变式6-2】如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.
弧、弦、圆心角练习
一、单选题
1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 A´B 与 C´D 的关系是（ ）A．A´B = C´D B．A´B ＞ C´D
C．A´B ＜ C´D D．不能确定
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 ^AB 与 C^D 的数量关系是（ ）
A．^AB = C^D B．^AB ＞ C^D
C．^AB ＜ C^D D．无法确定
3．如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=
A．150° B．75° C．60° D．15°
4．下列说法正确的个数有（ ）
①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
∧ ∧
5．如图，在⊙O中，
AB
=2
CD
，则下列结论正确的是（ ）A．AB＞2CD B．AB=2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
二、填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．
8．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填
“＞”，“＜”或“＝”）9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 ．
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为
∧ ∧
AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN， ， 的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，
AC BC
AC+BC=15，则AB的长是 ．
三、解答题
11．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：
BE＝CF.∧
13．如图，∠AOB=90°，C、D是
AB
的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．
14．如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.
⌢ ⌢
15．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若 AC=BD
（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=4√2，BC=4时，求△ABD的面积.
