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2019年四川省宜宾市中考数学试卷
注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 2的倒数是（ ）
1 1 1
A. B. -2 C. - D. ±
2 2 2
2. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52
微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ）
A. 5.2×10-6 B. 5.2×10-5 C. 52×10-6 D. 52×10-5
3. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一
点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重
合，则EF=（ ）
A. √41
B. √42
C. 5√2
D. 2√13
4. 一元二次方程x2-2x+b=0的两根分别为x和x，则x+x为（ ）
1 2 1 2
A. -2 B. b C. 2 D. -b
5. 已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯
视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
6. 如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
次数
环数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
运动员
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
- -
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为x 、x ，甲、乙的方差分别为s
甲
2，s
甲 乙
2，则下列结论正确的是（ ）
乙
- - - -
A. x =x
，s2 <s2
B. x =x
，s2 >s2
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
- - - -
C. x >x
，s2 <s2
D. x <x
，s2 <s2
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
7. 如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的
重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，
∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部
分的面积是（ ）
√3
A.
2
2√3
B.
5√3
C.
3
√3
D.
4
8. 已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A，与直线y=kx（k为任意实数）相交于B，C两
点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30∘和60∘
C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 分解因式：b2+c2+2bc-a2=______．
10. 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则
∠DAB=______°．
11. 将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解
析式为______．
12. 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，
AC=4，BC=3，则AD=______．
13. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的
第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利
润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是______．
{x-2 x-1
＜
14. 若关于x的不等式组 4 3 有且只有两个整数解，则m的取值范围是
2x-m≤2-x
______．
15. 如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60°，
AC=2√3，则⊙O的面积是______．
16. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、
BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是______（写出所有正
确结论的序号）．
1 1 1
①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④ = +
MN AC CE三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17. （1）计算：（2019-√2）0-2-1+|-1|+sin245°
2xy 1 1
（2）化简： ÷（ + ）
x2- y2 x- y x+ y
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）
18. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．
19. 某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识
竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、
纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，
其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制
作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数
1
各占 ，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学
4
中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七
年级又有九年级同学的概率．20. 甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两
城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小
时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．
21. 如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑
物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰
角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）
k
22. 如图，已知反比例函数y= （k＞0）的图象和一次函数y=-
x
x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为
A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M
作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．23. 如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两
点，BC=1，AD为⊙O的弦，连结BD，
∠BAD=∠ABD=30°，连结DO并延长交⊙O于点E，
连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OD的长；
（3）求线段BM的长．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-
2x+c与直线y=kx+b都经过A（0，-3）、B（3，0）
两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射
线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线
于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？
若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当
△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：2的倒数是 ，
故选：A．
根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决．
本题考查倒数，解答本题的关键是明确倒数的定义．
2.【答案】B
【解析】
解：0.000052=5.2×10-5；
故选：B．
由科学记数法可知0.000052=5.2×10-5；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF，
∴正方形ABCD的面积=四边形AECF的面积=25，
∴BC=5，BF=DE=1，
∴FC=6，CE=4，
∴EF= = =2 ．
故选：D．
根据旋转变换的性质求出FC、CE，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质
是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：根据题意得：
x+x=- =2，
1 2
故选：C．
根据“一元二次方程x2-2x+b=0的两根分别为x 和x”，结合根与系数的关系，即可
1 2
得到答案．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个
小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．
故选：B．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方
体的层数和个数，从而算出总的个数．
本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法．确定该
几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：（1） = （10+7+7+8+8+8+9+7）=8； = （10+5+5+8+9+9+8+10）=8；
s 2= [（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-
甲
8）2]=1；
s 2= [（10-8）2+（5-8）2+（5-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（10-
乙
8）2]= ，
∴ = ，s 2＜s 2，
甲 乙
故选：A．
分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据
偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】C
【解析】
解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O为△ABC的内心
∴∠OBC=∠OBA= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°．
∴OB=OC．∠BOC=120°，
∵ON⊥BC，BC=2，
∴BN=NC=1，
∴ON=tan∠OBC•BN= ×1= ，
∴S = BC•ON= ．
△OBC
∵∠EOF=∠AOB=120°，
∴∠EOF-∠BOF=∠AOB-∠BOF，即∠EOB=∠FOC．
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S =S =
阴影 △OBC
故选：C．
连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到
∠OBC=∠OCB=30°，结合条件BC=2即可求出△OBC的面积，由∠EOF=∠BOC，从而得到
∠EOB=∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC的面积．
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的
判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构
建全等三角形是解题的关键．8.【答案】D
【解析】
解：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；
B、如图3，∠ACB=30°，∠ABC=60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和
60°，正确；
C、如图2和3，∠BAC=90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；
D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：D．
通过画图可解答．
本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和判定，直角三角形的判定，正
确画图是关键．
9.【答案】（b+c+a）（b+c-a）
【解析】
解：原式=（b+c）2-a2=（b+c+a）（b+c-a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c-a）当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a
的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
10.【答案】60
【解析】
解：在六边形ABCDEF中，
（6-2）×180°=720°，
=120°，
∴∠B=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠B=60°，
故答案为：60°．
先根据多边形内角和公式（n-2）×180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出∠B
的度数，由平行线的性质可求出∠DAB的度数．
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形
内角和公式及平行线的性质．
11.【答案】y=2（x+1）2-2
【解析】
解：将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为：y=2（x+1）2-2．
故答案为：y=2（x+1）2-2．
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
16
12.【答案】
5
【解析】
解：在Rt△ABC中，AB= =5，
由射影定理得，AC2=AD•AB，
∴AD= = ，
故答案为： ．
根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．
本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在
斜边上的射影和斜边的比例中项．
13.【答案】65×（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2=65-50
【解析】
解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2=65-50．
故答案为：65×（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2=65-50．
设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润=售价-成本价结合半年以后的销售
利润为（65-50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
14.【答案】-2≤m＜1
【解析】解：
解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x≤ ，
∴不等式组的解集为-2＜x≤ ，
∵不等式组只有两个整数解，
∴0≤ ＜1，
解得：-2≤m＜1，
故答案为-2≤m＜1．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等
式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解
此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．
15.【答案】16π
【解析】
解：∵∠A=∠BDC，
而∠ACB=∠CDB=60°，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴△ACB为等边三角形，
∵AC=2 ，
∴圆的半径为4，
∴⊙O的面积是16π，
故答案为：16π．
由∠A=∠BDC，而∠ACB=∠CDB=60°，所以∠A=∠ACB=60°，得到△ACB为等边三角形，
又AC=2 ，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
16.【答案】①③④
【解析】
证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
在△DMC和△ENC中，
，∴△DMC≌△ENC（ASA），
∴DM=EN，CM=CN，
∴AD-DM=BE-EN，即AM=BN；
②∵∠ABC=60°=∠BCD，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠CDF，
∵∠AFB=∠DFN，
∴△ABF∽△DNF，找不出全等的条件；
③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，∠FBC=∠CAF，
∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠AFB=60°，
∴∠MFN=120°，
∵∠MCN=60°，
∴∠FMC+∠FNC=180°；
④∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∵∠DCE=60°，
∴MN∥AE，
∴ = = ，
∵CD=CE，MN=CN，
∴ = ，
∴ =1- ，
两边同时除MN得 = - ，
∴ = ．
故答案为①③④
①根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，
根据SAS推出两三角形全等即可；
②根据∠ABC=60°=∠BCD，求出AB∥CD，可推出△ABF∽△DNF，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得∠AFB=60°，可求得MFN=120°，根据∠BCD=60°可解题；
④根据CM=CN，∠MCN=60°，可求得∠CNM=60°，可判定MN∥AE，可求得 =
= ，可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考
查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．
1 √2
17.【答案】解：（1）原式=1- +1+（ ）2
2 2
1 1
=2- +
2 2
=2
2xy 2x
（2）原式= ÷
(x+ y)(x- y) (x+ y)(x- y)2xy (x+ y)(x- y)
= ×
(x+ y)(x- y) 2x
=y．
【解析】
（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出（2019-
）0、2-1、sin245°的值，再加减；
（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．
本题考查了零指数、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值、分式的混合运算等
知识点，题目难度不大，综合性较强，是中考热点题型．a0=1（a≠0）；
a-p= （a≠0）．
18.【答案】证明：∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
∴∠CAB=∠EAD，且AB=AD，AC=AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C=∠E
【解析】
由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C=∠E．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB=∠EAD是本题的关键．
19.【答案】解：（1）三个年级获奖总人数为17÷34%=50（人）；
10
（2）三等奖对应的百分比为 ×100%=20%，
50
则一等奖的百分比为1-（14%+20%+34%+24%）=4%，
补全图形如下：
（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数
为4，
1
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为 ．
3
【解析】（1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比，
从而补全图形；
（3）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12
种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然
后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考
查了统计图．
20.【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．
450 1 440
根据题意，得： + = ，
x+10 2 x
解得：x=80，或x=-110（舍去），
∴x=80，
经检验，x=，80是原方程的解，且符合题意．
当x=80时，x+10=90．
答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．
【解析】
设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比
乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．
本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．根据时间= ，列方程求解．
21.【答案】解：设AM=x米，
在Rt△AFM中，∠AFM=45°，
∴FM=AM=x，
AM
在Rt△AEM中，tan∠AEM= ，
EM
AM √3
则EM= = x，
tan∠AEM 3
√3
由题意得，FM-EM=EF，即x- x=40，
3
解得，x=60+20√3，
∴AB=AM+MB=61+20√3，
答：该建筑物的高度AB为（61+20√3）米．
【解析】
设AM=x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题
意列方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三
角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面
积为1．
1
∴S = |k|=1，
△OPA 2
∴|k|=2，∵在第一象限，
∴k=2，
2
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
k
∵反比例函数y= （k＞0）的图象过点P（1，m），
x
2
∴m= =2，
1
∴P（1，2），
∵次函数y=-x+b的图象过点P（1，2），
∴2=-1+b，解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=-x+3；
（2）设直线y=-x+3交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（3，0），D（0，3），
{y=-x+3
解 y= 2 得 { y= x 2 =1 或 { y= x 1 =2 ，
x
∴P（1，2），M（2，1），
∴PA=1，AD=3-2=1，BM=1，BC=3-2=1，
1 1 1 7
∴五边形OAPMB的面积为：S -S -S = ×3×3- ×1×1- ×1×1= ．
△COD △BCM △ADP 2 2 2 2
【解析】
（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法
即可求得一次函数的解析式；
（2）设直线y=-x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求
得P、M的坐标，最后根据S =S -S -S ，根据三角形的面积公式列式计算即
五边形 △COD △APD △BCM
可得解；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k
的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】（1）证明：∵OA=OD，∠A=∠B=30°，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°，
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB=90°，∠DBC=30°，
1
∴OD= OB，
2
∵OC=OD，
∴BC=OC=1，
∴⊙O的半径OD的长为1；
（3）∵OD=1，
∴DE=2，BD=√3，
∴BE=√BD2+DE2=√7，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，
∴BD2=BM•BE，
BD2 3 3√7
∴BM= = = ．
BE √7 7
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出
∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到OD= OB，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到DE=2，BD= ，根据勾股定理得到BE= = ，
根据切割线定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，切割线
定理，正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2-2x+c经过A（0，-3）、B（3，0）两点，
{ 9a-6+c=0
∴ c=- 3 ，
{ a=1
∴ c=- 3 ，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
∵直线y=kx+b经过A（0，-3）、B（3，0）两点，
{ 3k+b=0 { k=1
∴ b=- 3 ，解得： b=- 3 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，-4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，-2），
∴CE=2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，
设M（a，a-3），则N（a，a2-2a-3），
∴MN=a-3-（a2-2a-3）=-a2+3a，
∴-a2+3a=2，
解得：a=2，a=1（舍去），
∴M（2，-1），
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN，设M（a，a-3），则N（a，a2-2a-3），
∴MN=a2-2a-3-（a-3）=a2-3a，
∴a2-3a=2，
3+√17 3-√17
解得：a= ，a= （舍去），
2 2
3+√17 -3+√17
∴M（ ， ），
2 2
3+√17 -3+√17
综合可得M点的坐标为（2，-1）或（ ， ）．
2 2
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2-2m-3），则G（m，m-3），
∴PG=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m，
1 1 3 9 3 3 27
∴S =S +S = PG⋅OB= ×(-m2+3m)×3=- m2+ m=- (m- ) 2+
△PAB △PGA △PGB 2 2 2 2 2 2 8
，
3 27 3 3
∴当m= 时，△PAB面积的最大值是 ，此时P点坐标为（ ，- ）．
2 8 2 2
【解析】
（1）将A（0，-3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析
式即可求解；
（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE=2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，
四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边
形，则CE=MN，设M（a，a-3），则N（a，a2-2a-3），可分别得到方程求出点M的坐
标；
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2-2m-3），则G（m，m-3），可
由 ，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以
及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．
