文档内容
2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间
2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表
示，正确的是
A． B． C． D． 万
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B． C． D．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是
A． B．
C． D．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那
么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用 表示面积， ， ，则A． B． C． D．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 ，下
列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是
A． B． C． D．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结
绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子
自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是
A．10 B．89 C．165 D．294
8．（3分）如图，在半径为5的 中，将劣弧 沿弦 翻折，使折叠后的 恰好与
、 相切，则劣弧 的长为A． B． C． D．
9．（ 3 分）如图，直线 与抛物线 交于 、 两点，则
的图象可能是
A． B．
C． D．
10．（3分）如图， ， ，点 在 上，四边形 是矩形，连接
、 交于点 ，连接 交 于点 ．下列 4 个判断：① 平分 ；②
；③ ；④若点 是线段 的中点，则 为等腰直角三角形．正
确判断的个数是A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式
和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创
业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作
扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ．
12．（3分）如图，点 与点 关于直线 对称，则 ．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树 的高度，在树底部 所在的水平面内，将测角
仪 竖直放在与 相距 的位置，在 处测得树顶 的仰角为 ．若测角仪的高度是
，则大树 的高度约为 ．（结果精确到 ．参考数据： ，
，14．（3分）如图，点 、 在反比函数 的图象上， 、 的纵坐标分别是3和6，
连接 、 ，则 的面积是 ．
15．（3分）已知 的三边 、 、 满足 ，则
的内切圆半径 ．
16 ． （ 3 分 ） 已 知 为 正 整 数 ， 无 论 取 何 值 ， 直 线 与 直 线
都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线 和 与 轴围
成的三角形面积为 ，则 ， 的值为 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算： ．
18．（7分）求代数式 的值，其中 ．
19．（7分）如图，点 在 的边 上，以 为半径作 ， 的平分线
交 于点 ，过点 作 于点 ．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断 与 交点的个数，并说明理由．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，
为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩 分 频数
8
5
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： ， ；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知 等级中有2名女生，现从 等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的
方法求出恰好抽到一男一女的概率．
21．（8分）如图， 中， ， 、 分别是边 、 的中点．将
绕点 旋转180度，得 ．
（1）判断四边形 的形状，并证明；
（2）已知 ， ，求四边形 的面积 ．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元 张） 零售价（元 张） 成套售价（元 套）
餐桌 380 940
餐椅 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中 的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不
超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐
椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）如图，在梯形 中， ， ， ， ．
为线段 上的一动点，且和 、 不重合，连接 ，过点 作 交射线 于点
．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现 ，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变 的长度，运动点 ，得到不同位置时， 、 的长度
的对应值：
当 时，得表
1 2 3 4 5
0.83 1.33 1.50 1.33 0.83
当 时，得表
1 2 3 4 5 6 7
1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17
这说明，点 在线段 上运动时，要保证点 总在线段 上， 的长度应有一定的限
制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 和 的长度这两个变量中， 的长度
为自变量， 的长度为因变量；
②设 ，当点 在线段 上运动时，点 总在线段 上，求 的取值范围．
24．（10分）（1） 阅读与证明
如图1，在正 的外角 内引射线 ，作点 关于 的对称点 （点 在
内），连接 ， 、 分别交 于点 、 ．
①完成证明： 点 是点 关于 的对称点，， ， ．
正 中， ， ，
，得 ．
在 中， ， ．
在 中， ， ．
②求证： ．
（2） 类比与探究
把（1）中的“正 ”改为“正方形 ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可
得：
① ；
②线段 、 、 之间存在数量关系 ．
（3） 归纳与拓展
如图 3，点 在射线 上， ， ，在 内引射线
，作点 关于 的对称点 （点 在 内），连接 ， 、 分别交
于点 、 ．则线段 、 、 之间的数量关系为 ．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，过 、 两点的抛物线 与 轴交于另一点 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由；
（3）点 为直线 下方抛物线上一点，点 为 轴上一点，当 的面积最大时，
求 的最小值．2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间
2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表
示，正确的是
A． B． C． D． 万
【解答】解：1002万用科学记数法表示为 ，
故选： ．
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B． C． D．
【解答】解： ， ，
、3.14是有理数，故此选项不合题意；
、 是有理数，故此选项不符合题意；
、 是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；
、 比4大的无理数，故此选项不合题意；
故选： ．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是
A． B．C． D．
【解答】解： 、手的对面是勤，不符合题意；
、手的对面是口，符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
故选： ．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那
么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解： ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；
．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；
．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么
这组数据的众数为98和99，此选项错误；
．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；
故选： ．
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用 表示面积， ， ，则A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
俯视图的长为 ，宽为 ，
则俯视图的面积 ，
故选： ．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 ，下
列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为 时，正方体上的所有小球数为
．
而 ， ， ，
所以 选项表达错误，符合题意；
、 、 选项表达正确，不符合题意；
故选： ．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结
绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是
A．10 B．89 C．165 D．294
【解答】解： ，
故选： ．
8．（3分）如图，在半径为5的 中，将劣弧 沿弦 翻折，使折叠后的 恰好与
、 相切，则劣弧 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作 点关于 的对称点 ，连接 、 ，
，
四边形 为菱形，
折叠后的 与 、 相切，
， ，
四边形 为正方形，
，
劣弧 的长 ．
故选： ．9．（ 3 分）如图，直线 与抛物线 交于 、 两点，则
的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ，
， ，
，
由图象可知，在点 和点 之间， ，在点 的左侧或点 的右侧， ，
故选项 符合题意，选项 、 、 不符合题意；
故选： ．
10．（3分）如图， ， ，点 在 上，四边形 是矩形，连接
、 交于点 ，连接 交 于点 ．下列 4 个判断：① 平分 ；②；③ ；④若点 是线段 的中点，则 为等腰直角三角形．正
确判断的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：① 四边形 是矩形，
，
，
平分 ，
故①正确；
② 四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故②正确；
③ ，
，
连接 ，如图1，，
， ，
，
，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
是 的中点， ，
，
，
， 平分 ，
，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
故④正确；故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式
和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创
业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作
扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ②③① ．
【解答】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
12．（3分）如图，点 与点 关于直线 对称，则 ．
【解答】解： 点 与点 关于直线 对称，
， ，
，
故答案为 ．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树 的高度，在树底部 所在的水平面内，将测角
仪 竖直放在与 相距 的位置，在 处测得树顶 的仰角为 ．若测角仪的高度是
，则大树 的高度约为 11 ．（结果精确到 ．参考数据： ，
，【解答】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，由题意得， ，
，
在 中， ，
（米
故答案为：11．
14．（3分）如图，点 、 在反比函数 的图象上， 、 的纵坐标分别是3和6，
连接 、 ，则 的面积是 9 ．
【解答】解： 点 、 在反比函数 的图象上， 、 的纵坐标分别是3和6，
， ，
作 轴于 ， 轴于 ，
，
，，
故答案为9．
15．（3分）已知 的三边 、 、 满足 ，则
的内切圆半径 1 ．
【解答】解： ，
，
， ， ，
，
，
是直角三角形， ，
设内切圆的半径为 ，
根据题意，得 ，
，
故答案为：1．
16 ． （ 3 分 ） 已 知 为 正 整 数 ， 无 论 取 何 值 ， 直 线 与 直 线
都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线 和 与
轴围成的三角形面积为 ，则 ， 的值为 ．
【解答】解： 直线 ，直线 经过点 ；
直线 ，
直线 经过点 ．
无论 取何值，直线 与 的交点均为定点 ．
直线 与 轴的交点为 ， ，
直线 与 轴的交点为 ， ，
，
；
．
故答案为 ； ； ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算： ．
【解答】解：原式
．
18．（7分）求代数式 的值，其中 ．【解答】解：原式
当 时，
原式
．
19．（7分）如图，点 在 的边 上，以 为半径作 ， 的平分线
交 于点 ，过点 作 于点 ．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断 与 交点的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）如图， ，射线 ，直线 即为所求．
（2）直线 与 相切，交点只有一个．
理由： ，，
平分 ，
，
，
，
，
，
直线 是 的切线，
与直线 只有一个交点．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，
为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩 分 频数
8
5
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空： 3 ， ；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知 等级中有2名女生，现从 等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的
方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由题意知 ， ，即 ；
故答案为：3、40；（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为 （人 ；
（3）列表如下：
男 女 女
男 （男，女） （男，女）
女 （男，女） （女，女）
女 （男，女） （女，女）
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
恰好抽到一男一女的概率为 ．
21．（8分）如图， 中， ， 、 分别是边 、 的中点．将
绕点 旋转180度，得 ．
（1）判断四边形 的形状，并证明；
（2）已知 ， ，求四边形 的面积 ．
【解答】解：（1）结论：四边形 是菱形．
， ，
， ，
由旋转的性质可知， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 是菱形．
（2）连接 ， 交于点 ．
四边形 是菱形，
， ， ，设 ， ，则有 ，
，
，
，
．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元 张） 零售价（元 张） 成套售价（元 套）
餐桌 380 940
餐椅 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中 的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不
超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐
椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
答：表中 的值为260．
（2）设购进餐桌 张，则购进餐椅 张，根据题意得： ，
解得： ．
设销售利润为 元，
根 据 题 意 得 ：
，
当 时， 取最大值，最大值为： ．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
23．（8分）如图，在梯形 中， ， ， ， ．
为线段 上的一动点，且和 、 不重合，连接 ，过点 作 交射线 于点
．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现 ，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变 的长度，运动点 ，得到不同位置时， 、 的长度
的对应值：
当 时，得表
1 2 3 4 5
0.83 1.33 1.50 1.33 0.83
当 时，得表
1 2 3 4 5 6 7
1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17
这说明，点 在线段 上运动时，要保证点 总在线段 上， 的长度应有一定的限
制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 和 的长度这两个变量中， 的
长度为自变量， 的长度为因变量；
②设 ，当点 在线段 上运动时，点 总在线段 上，求 的取值范围．【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在 和 的长度这两个变量中， 的长
度为自变量， 的长度为因变量，
故答案为： ， ．
②设 ， ．
，
，
，
，
，
时， 有最大值 ，点 在线段 上， ，
，
，
．
24．（10分）（1） 阅读与证明
如图1，在正 的外角 内引射线 ，作点 关于 的对称点 （点 在
内），连接 ， 、 分别交 于点 、 ．
①完成证明： 点 是点 关于 的对称点，
， ， ．
正 中， ， ，
，得 ．
在 中， ， 6 0 ．
在 中， ， ．
②求证： ．
（2） 类比与探究
把（1）中的“正 ”改为“正方形 ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可
得：
① ；
②线段 、 、 之间存在数量关系 ．
（3） 归纳与拓展
如图 3，点 在射线 上， ， ，在 内引射线，作点 关于 的对称点 （点 在 内），连接 ， 、 分别交
于点 、 ．则线段 、 、 之间的数量关系为 ．
【解答】（1）①解：如图1中， 点 是点 关于 的对称点，
， ， ．
正 中， ， ，
，得 ．
在 中， ，
．
在 中， ，
．
故答案为60，30．
②证明：如图1中，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
， 关于 对称，
垂直平分线段 ，
，
， ，，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图2中， ，
点 是 的外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为45．
②结论： ．
理由：如图2中，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
， ，
，， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．．
（3）如图3中，连接 ， ，在 上取一点 ，使得 ．
， ，
，，
，
， ，
，
，
，
同法可证， ，
，
，
．即 ．
故答案为： ．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，过 、 两点的抛物线 与 轴交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由；
（3）点 为直线 下方抛物线上一点，点 为 轴上一点，当 的面积最大时，
求 的最小值．【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
点 ，点 ，
设抛物线解析式为： ，
，
，
抛物线解析式为： ；
（2）如图，当点 在直线 上方时，过点 作 ，交抛物线与点 ，
，
和 是等底等高的两个三角形，
，
，
直线 的解析式为 ，联立方程组可得 ，
解得： 或 ，
点 ， 或 ， ；
当点 在直线 下方时，在 的延长线上截取 ，过点 作 ，交
抛物线于点 ，
， ，
，
，且过点 ，
直线 解析式为 ，
联立方程组可得 ，
解得 ，
点 ，
综上所述：点 坐标为 ， 或 ， 或 ；
（3）如图2，过点 作 ，交 于 ，设点 ，则点 ，
，
的面积 ，
当 时， 的面积有最大值，
点 ，
如图3，过点 作 ，过点 作 于 点，过点 作 于 ，
延长 交直线 于 ，
， ，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线，且垂直于 时， 有最小值，即最小值为
，
，
直线 解析式为 ，
当 时，点 ， ，
，，
，
，
的最小值为 ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
