文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标：
1、理解圆心角的概念．
2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆的旋转不变性
圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？
【考点】B4：旋转．
【专题】463：图形与变换．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成 9个完全相
同的部分，
每个部分对应的圆心角是 =45度，因而最少旋转的度数是45度．
答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到
△A′B′C′，若 ，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】先根据 得出 = = ， ，最后根据∠A=∠B=∠C即可得
出∠B的度数．
【解答】解：∵ ，
将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，
∴ = = ，
∴ ，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
故选D．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行
解答．
知识点二：圆心角
定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．80°
【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．
【解答】解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°．
再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON=180°﹣50°×2=80°．
故选D．
【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．
变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．
【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∴ 的度数是120°，
∵C、D是 上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°．
故选C．
【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．
变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧 所对圆心角的度数是（ ）
A．72° B．72°或144° C．144° D．144°或216°
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周
角的 ．
【解答】解：∵弦AB把圆周分成2：3的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数= ×360°=144°．
故选D
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
例题1．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【分析】首先得到 = ，进而得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故选B．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在⊙O中，已知 = ，则AC与BD的关系是（ ）
A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
【分析】由 = ，得到 ，于是推出 ，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
【解答】解：∵ = ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
例题3．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是 的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得
∠ABC的度数，然后由D是 的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵D是 的中点，
∴∠DAC= ∠ABC=35°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
变式1．如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的
两个底角相等得出∠B=∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．
【解答】解：∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故选B．
【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦
推知△ABC是等腰三角形．
变式2．如图， = = ，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【分析】由 = = ，∠BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得∠EOD与∠COD的度数，继
而求得答案．
【解答】解：∵ = = ，∠BOC=40°，∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=60°．
故选B．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
变式3．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且 ，则四边形
ABCD的周长等于（ ）
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角
形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．
【解答】解：如图，连接OD、OC．
∵ （已知），
∴∠AOD=∠DOC=∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
∵OA=OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA；
同理，得
OC=OD=CD，OC=OB=BC，
∴AD=CD=BC=OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；
故选B．
【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相
等．
拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明
例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是 上的点，E是 上的点，若∠BAC=50°．则
∠D+∠E=（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°°
【 分 析 】 连 接 OA 、 OB 、 OC ， 由 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 关 系 定 理 得 出 ∠ BOC=100° ， 得 出∠AOB+∠AOC=260°，由圆周角定理得出∠D= （∠BOC+∠AOC），∠E= （∠BOC+∠AOB），即可得
出结果．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
∴∠AOB+∠AOC=360°﹣100°=260°，
∵∠D= （∠BOC+∠AOC），∠E= （∠BOC+∠AOB），
∴∠D+∠E= （∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）= （260°+100°+100°）=230°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由
圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．
例题 2．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D、E、F 在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=
（ ）A．90° B．100° C．108° D．120°
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出 = ，得出∠COF= ×180°=108°即可．
【解答】解：∵AC=CD=DE=EF=FB，
∴ = ，
∴∠COF= ×180°=108°；
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧
相等是解决问题的关键．
例题3．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，等于线段AO长的线段有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】易知：∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断
出与OA相等的线段有几条．
【解答】解：∵∠COA=∠DOB=60°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°；
又∵OA=OC=OD=OB，
∴△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；
∴OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．
【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．
变式1．如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是 51 ° ．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰
三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是 的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 2 ．
【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角
三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．
【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，
则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，
∴∠AOC= ×180°=60°，
∵D是 的中点，
∴∠AOE= ∠AOC=30°，
∴∠COE=90°，
∴CE= OC=2 ，
即DP+CP=2 ，
故答案为2 ．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学
生的推理和计算能力．
变式3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= 125 °
．
【分析】连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出
∠ACD即可．
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相
等．
变式4．如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD所对的圆心角等于 6 0 度．
【分析】先利用PA=PB，∠P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出
∠COA=∠DOB=60°可求∠COD．
【解答】解：连接OC，OD，∵PA=PB，∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，
有∠A=∠B=60°，∵OA=OC=OD=OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，
∴∠COA=∠DOB=60°，∴∠COD=180°﹣∠COA﹣∠DOB=60度．
【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在⊙O中， = ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
【分析】连接OC，先根据 = 得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，
由此可得出结论．
【解答】证明：连接OC，
∵ = ，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵ ，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等是解答此题的关键．
例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB
的中点．求证：MC=NC．
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得
OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．
【解答】证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中， ，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
变式1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：
BD=DE．
【分析】连接 OE，可得∠A=∠OEA，再由 AE∥CD 得∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，从而得出
∠BOD=∠DOE，则BD=DE．
【解答】证明：连接OE，如图，
∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，
∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∴∠BOD=∠DOE，
∴BD=DE．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F， = ．求证：
BF=CF．【分析】延长CD交⊙O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．
【解答】证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D
∴ = ，
∵ =
∴ =
∴∠BCF=∠CBF，
∴BF=CF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助
线后根据定理求出∠CBE=∠BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．
拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用
例题1．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三
角形性质得出∠BOC= ∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是 的中点，
∴∠BOC= ∠AOB=40°，
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或
等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
例题2．如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；② = ；
③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，可得 = ，即可得AD⊥BC，继而求得：
①AB=AC；② = ．
【解答】解：∵AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，
∴ = ，
∴AD⊥BC，故③正确；
∴ = ，故②正确；
∴AB=AC，故①正确．
无法判定AB⊥AC，故错误．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的
应用．
变式1．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AD=AB B．∠D+∠BOC=90° C．∠BOC=2∠D D．∠D=∠B
【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴ ，
∵ 对的圆周角是∠ADC， 对的圆心角是∠BOC，
∴∠BOC=2∠D，不能推出∠D+∠BOC=90°，故B选项错误；
C、∵ ，
∴∠BOC=2∠D，
∵C选项正确；
D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65° B．55° C．60° D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得
出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=25°，
∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠ABC=65°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
变式3．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半
圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（ ）
A．平分弧AB B．三等分弧AB
C．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等
【分析】先求出∠DCE=∠ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE∥CD，再利用角的平分线的性质可
解．
【解答】解：设∠OCD 的平分线与⊙O 的交点为 E，连接 OE，∵OE=OC，∴∠E=∠ECO，
∵∠DCE=∠ECO，∴OE∥CD，∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．
故选A．
【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．
易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系
例题．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（ ）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DCD．AB＞2DC
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE=∠BOE= ∠AOB，根据∠COD=
∠AOB，知∠AOE=∠BOE=∠COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE=∠BOE= ∠AOB，
又∵∠COD= ∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=∠COD，
∴CD=AE=BE，
∵在△ABE中，AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB=2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆
心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则 与 的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB=2CD D．不能确定
【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关
系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．
【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，
在△CDE中，
∵CD=DE，
∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，
∴CE＜AB，
∴ ＜ ．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦也相等．
变式2．如图，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠OAB之间的关
系是（ ）A．∠AOC＞2∠OAB B．∠AOC=2∠OAB C．∠AOC＜2∠OAB D．不能确定
【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．
【解答】解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
同理△OBC是等边三角形．
∴∠A=∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=2∠OAB．
故选B．
【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
