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25 概率
必然事件、不可能事件和随机事件
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
注意：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最
大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能
性的大小有可能不同.
题型1：必然事件、不可能事件和随机事件
1.“对于二次函数y=(x−1) 2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，这一事件为（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不确定事件 D．不可能事件
【变式1-1】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．经过红绿灯路口，遇到绿灯
【变式1-2】事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字
路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）
A．事件①和②都是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
概率的意义 注意：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的
值；
可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 附 (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于
1 的数，，即 ，其中 P(必然事
近，那么这个常数 就叫做事件A的概率，记为
件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
.
题型2：概率公式及计算
2.不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球是红
球的概率为（ ）
3 3 5 1
A． B． C． D．
8 5 8 2
【变式2-1】从-2，0，2，3中随机选一个数，是不等式2x−3≥1的解的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 2 3
【变式2-2】在如图所示的电路中，随机闭合开关S、S、S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（
1 2 3 1
）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
用列举法求概率
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能
的结果，通常采用列表法；列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某
一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树
形图；树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
注意：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
（3）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（4）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
题型3：列举法求概率-放回型或独立型
3（转盘）.如图是由转盘和箭头组成的两个转盘 A 、 B ，这两个转盘除了表面颜色不同外，其
它构造完全相同.游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色
和蓝色在一起能配成紫色.请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率.
【变式3-1】如图，有一转盘中有A、B两个区域，A区域所对的圆心角为120°，让转盘自由转动两
次．利用树状图或列表求出两次指针都落在A区域的概率。
4（数字）.一个纸箱内装有三张正面分别标有数字﹣4，6，4的卡片，卡片除正面数字外其他均相
同．将三张卡片搅匀后，从中随机摸出一张卡片记下数字，放回后搅匀，再从中随机摸出一张卡片并
记下数字．请用列表法或画树状图法求两次取得数字的绝对值相等的概率．
【变式4-1】有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相
同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意
抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．
【变式4-2】桌面上放有不透明的四张卡片，每张卡片正面都写有一个数字，分别是1，2，3，4，它
们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀.随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再
随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为4的概率.
5（摸球）.不透明的口袋里装有2个红球和2个黄球（除颜色不同外，其它都相同）．现进行两次
摸球活动，第一次随机摸出一个小球后不放回，第二次再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法，
求两次摸出的都是红球的概率．
【变式5-1】口袋装有3只形状大小一样的球，其中2个球是红色，1个球是白色，规定游戏者一次从
口袋中摸出一个球，然后放回第二次再摸一个球，然后再放回.甲两次摸到红球获胜，乙摸到一红一白
或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由【变式5-2】在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做
摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将
小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏
规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
6（硬币）.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 ( )
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 2 3
【变式6-1】抛掷一枚质地均匀的硬币，连续掷三次，出现“一次正面，两次反面”的概率为（ ）
1 3 1 1
A． B． C． D．
8 8 4 2
7（选购方案）.某公司有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A、B两种型号，乙品牌有C、
D、E三种型号．某中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．
（1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；
（2）如果各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？
【变式7-1】甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物外盒包装完全相同，将4件礼物
放在一起．甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙两人抽到的都不是自
己带来的礼物的概率．
题型4：列举法求概率-不放回型
8（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球.1个红球，它们除颜色外均相
同．从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球．请你用列表或
画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．
【变式8-1】在一个不透明的盒子中，共有三颗白色和一颗黑色围棋棋子，它们除了颜色之外没有其他
区别.随机地从盒子中取出一颗棋子后，不放回再取出第二颗棋子，请用画树状图或列表的方法表示所
有结果，并求出恰好取出“一白一黑”两颗棋子的概率.
9（选人问题）.某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生A、B和2
位女生C、D共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．
【变式9-1】某中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学代表学校参加全市汉字
听写大赛.
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率.
利用频率估计概率 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽
可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的 结果将较为精确.
可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概
率.
题型5：游戏的公平性
10.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白
球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两
袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．
请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．
【变式10-1】为落实“十个一”活动，学校组建了多个志愿者服务队，小盖和小吕通过做游戏决定谁
优先选择服务队，游戏规则：两人各掷一次质地均匀的骰子，如果掷出的点数之和是小于7的偶数，
由小盖优先选择服务队；如果掷出的点数之和是大于6的奇数，由小吕优先选择服务队，请利用画树
状图或列表的方法，判断这个游戏对双方是否公平．
【变式10-2】甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，
5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随
机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况乙获胜．这个游戏公平吗？请利
用树状图或列表法来解释说明．
题型6：利用频率估计概率
11.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个
球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为()
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【变式11-1】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
投篮次
50 100 150 200 250 400 500 800
数
投中次
28 63 87 122 148 242 301 480
数
投中频
0.560 0.630 0.580 0.610 0.592 0.605 0.602 0.600
率
根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是（ ）
A．0.560 B．0.580 C．0.600 D．0.620
【变式11-2】小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d=0.73cm的平行线，
将一根长度为l=0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都
不相交．下图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 （结果
保留小数点后两位）．
题型7：统计概率综合
12.为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选性课：A.书法：B.绘画：C.乐器：D.舞蹈.为
了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学
生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图
中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中∠α= 度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形
式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概
率．【变式12-1】某中学举行了“美育节”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等
级，并绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 ▲ 人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，m= ；n= ；C等级对应扇形的圆心角为 ．
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图
法，求获A 等级的小明参加市比赛的概率．
【变式12-2】为了引导青少年学党史，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动，将成绩划
分为四个等级：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）.小李随机调查了部分同学的竞赛
成绩，绘制成了如下统计图（部分信息未给出）：
（1）小李共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“优秀”等级对应
的扇形圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
（2）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数；
（3）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同
学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率.一、单选题
1．“明年的11月8日是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指
针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形
的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
3．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在白色方砖上的概率是（ ）
1 2 3 2
A． B． C． D．
3 5 5 3
4．下列说法正确的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S 2=0.1，S 2=0.2，则甲组数据比乙组
甲 乙
数据稳定D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
5．下列事件
⑴打开电视机，正在播放新闻；
⑵父亲的年龄比他儿子年龄大；
⑶下个星期天会下雨；
⑷向上用力抛石头，石头落地；
⑸一个实数的平方是负数．
属于确定事件的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4
整除的概率是( )
1 2 1 3
A． B． C． D．
10 5 5 10
二、填空题
4
7．某班级中有男生和女生各若干，若随机抽取一人，抽到男生的概率是 ，则抽到女生的概率是
5
.
8．一个事件经过多次试验，某种结果发生的频率为0.31，那么估计该种结果发生的概率是 ．
2 1
9．现有6个质地，大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，0.5， ，1 ，1，2．先将标有数字
3 2
1
﹣1，0.5，1 的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分
2
别从这两个盒子里各随机取出一个小球，则取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为
．
10．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从
口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数
字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率是 ．2
11．从实数 ,π,sin60∘ 中，任取两个数，正好都是无理数的概率为 ．
3
三、解答题
12．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4
四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人
设计了一个游戏，其规则如下：
同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转
一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1
分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，
请你修改规则使该游戏对双方公平．
13．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球
不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
14．某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育项目中各选一名同学参加中学生运动会，根据平
时成绩，把各项目进入复选的人员情况绘制成不完整的统计图、表如下：
复选人员统计表：
项目/人数/性别 男 女
短跑 1 2
跳远 a 6
乒乓球 2 1
跳高 3 b（1）a= ,b= ；
（2）求扇形统计图中跳远项目对应圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图法，在短跑和乒乓球项目中选出的两位同学都为男生的概率。
