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25.1随机事件与概率
考点一：随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用 e 表示， e 称为样本空间中
{e}
的样本点，记作 ．
考点二：随机事件
在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为
随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作 )
看作特殊的随机事件．
考点三：频率与概率的定义
(1) 频率的定义
n n f (A)
设随机事件A在n次重复试验中发生了 A次，则比值 A／n称为随机事件A发生的频率，记作 n ，即
n
f (A) A
n n .
(2) 概率的统计定义
f (A)
在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率 n 在一个稳定
p p p P(A) p
的值 (0< <1)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值 为概率，即 ．
(3) 古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：
{e ,e , ,e }
(i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作 1 2 n ;
e i 1,2, ,n
(ii) 在每次试验中，每个样本点 i( ）出现的概率相同，即
P({e}) P({e }) P({e })
1 2 n ．
在古典概型中，规定事件A的概率为
A中所含样本点的个数 n
P(A) A
中所含样本点的个数 n
．
(4) 几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验
结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为
A的长度（或面积、体积）
P(A)
样本空间的的长度（或面积、体积）
·
题型一：事件的分类
1．（2022·浙江金华·九年级期中）下列事件为必然事件的是（ ）
A．从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球
B．从2、4、6、8、10这张5张卡片中任抽一张是奇数C．任意抛掷一枚硬币，出现正面
D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3
2．（2022·全国·九年级专题练习）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．买一张电影票，座位号是偶数号
D．打开电视机，正在播放《新闻联播》
3．（2022·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B．a是实数，
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．两数相加，和是正数
题型二：判断事件可能发生的大小
4．（2022·浙江温州·九年级）一个袋中装有200个红球，1个白球，它们除颜色外都相同从中任意摸出一个球，则
（ ）
A．必然是红球 B．很可能是红球
C．不可能是白球 D．很可能是白球
5．（2022·全国·九年级专题练习）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋子中随
机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球都是白球 B．摸出的2个球中至少有1个白球
C．摸出的2个球都是红球 D．摸出的2个球中1个红球、1个白球
6．（2022·全国·九年级专题练习）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸
出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
题型三：列举随机事件可能的结果
7．（2021·全国·九年级专题练习）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．
笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过
第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少
种不同的可能？你的答案是（ ）A．12 B．6 C．5 D．2
8．（2017·湖南衡阳·九年级期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（ )
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
9．（2020·河南洛阳·九年级期末）在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后
统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，
他不满意的就不要
题型四：概率的理解
10．（2022·全国·九年级单元测试）“从布袋中取出一只红球的概率是 ”，这句话的意思是（ ）
A．若取出一只球肯定是红球 B．取出一只红球的可能性是
C．若取出一只球肯定不是红球 D．若取出100只球中，一定有99只红球
11．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（
）
A．上海明天将有85%的时间下雨 B．上海明天将有85%的地区下雨
C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小12．（2022·浙江杭州·九年级阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．天气预报说“明天的降水概率为60%”，则表示明天有60%的时间都在降雨
B．掷一枚硬币正面朝上的概率为 ，则表明掷硬币8次，一定有4次正面朝上
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为必然事件
D．若a是实数，则
题型五：概率公式的应用
13．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）不透明的袋中装有只有颜色不同的 个小球，其中 个红色，
个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
14．（2022·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，在 的方格中，已有3个小正方形被涂黑，若在其余
空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·广东佛山·九年级阶段练习）将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、
质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（
）
A． B． C． D．
题型六：已知概率求数量
16．（2023·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6
个， 黑球8个， 黄球 个， 搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为 ， 则黄球的个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
17．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除
颜色外其余均相同．小柯每次摸出一个球后放回并搅匀，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在 ，则纸箱中蓝色球很可能有（ ）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
18．（2022·全国·九年级专题练习）一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色
外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是 ，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型七：几何概率
19．（2022·广东·黄埔学校九年级开学考试）如图，是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地
面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编
号1﹣5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形 及其内切圆 ，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部
分的概率是（ ）
A． B． C． D．一、单选题
22．（2022·湖南·长沙競才修业培训学校九年级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．对顶角相等 B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．矩形的对角线互相垂直 D．投掷一枚质地均匀的硬币26次，正面朝上的次数一定是13次
23．（2022·全国·九年级专题练习）下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．购买一张彩票就中奖了
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．度量四边形的内角和是180°
D．随意翻开一本书的某页，这页的页码是奇数
24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，矩形花园ABCD，AB长为4m，BC长为6m，小鸟任意落下，则小鸟落
在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．下个月1号会下雨 B．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃
C．平分弦的直径垂直于弦 D．13个人中至少有2人生日在同一个月
26．（2022·辽宁·辽阳市第二十六中学九年级阶段练习）一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球．这些球除
颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球 C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
27．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学九年级期末）在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的4个
球，其中2个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球
B．摸出的是2个黑球
C．摸出的是1个白球、1个黑球
D．摸出的是1个黑球、1个黄球
28．（2022·全国·九年级单元测试）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率(1)点数为2；
(2)点数为奇数；
(3)点数大于2且小于5．
一：选择题
29．（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）为了调查某校初三学生周末手机使用情况，小陆从该校所有学
生中随机调查了40名学生，发现其中有10名学生周末使用手机时间超过3小时．
(1)如果你在该校随机调查一个初三学生，估计该学生周末使用手机超过3小时的概率是多少？
(2)已知该校初三共有720名学生，请你估计该校周末使用手机时间超过3小时的学生共有多少人？
30．（2022·辽宁大连·九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黄球，这些小
球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·浙江杭州·九年级阶段练习）将五张分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形、正六边形的卡片
任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（
）
A． B． C． D．
32．（2022·广东·丰顺县东海中学九年级阶段练习）传说中的小李飞刀，飞刀绝技高超，飞刀靶心的命中率为
，在一次飞刀演练中，前 次均命中靶心，那么他的第 次飞刀命中靶心的概率为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，
成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”，“光盘行动”四个宣传队，小丽采取抽签方式参加其中一
个宣传队，则她抽到参加“光盘行动”宣传队的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
34．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）在下面4个条件：①AB=CD；②AD=BC；③AB CD；
④AD BC中任意选出两个，能判断出四边形ABCD是平行四边形的概率是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
35．（2022·浙江·九年级期中）如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面
自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________．
36．（2022·山东济南·九年级期中）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外
都相同，任意摸出一个棋子，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸棋实验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定
在20%，估计白色棋子的个数为___________；
37．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7
次时正面朝上的概率是_________．
38．（2022·全国·九年级专题练习）有六张卡片，它们的背面完全相同，卡片上分别写有1，1，2，3，3，4，现
将它们背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则摸到1号卡片的概率是___，摸到奇数号卡片的概率是___．
39．（2022·全国·九年级单元测试）某超市的柜台里摆放着2个白色、3个黄色、6个红色的文具盒，小红对每种
颜色都很喜欢，她一时不能决定要哪种颜色，便闭上眼睛随便拿了一个，她拿到____色文具盒的概率大，这个概
率是_____．
40．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级期末）如图，直线l上有三个正方形 ，若 的面积分
别为9和25，若抛一颗石子，落在阴影部分的概率为___________．
41．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级期末）如图， 是一块草坪，其中∠C＝90°，AC＝3，AB＝
5，阴影部分是 的内切圆，扔一颗石子随机落在这块草坪上，则落在白色部分的概率为________．
三、解答题
42．（2022·浙江省衢州市衢江区实验中学九年级阶段练习）某单位工会组织内部抽奖活动， 共准备了100张奖券，
设特等奖1个， 一等奖10个， 二等奖20个， 三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同． 求：(1)一张奖券中特等奖的概率；
(2)一张奖券中奖的概率；
(3)一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
43．（2022·全国·九年级专题练习）下图为多个小等边三角形组成的六芒星图案，其中有三个三角形已涂为灰色．
(1)请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形．
(2)一颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区域的概率．
44．（2022·全国·九年级课时练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其
中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
(1)求盒子中黑球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)从口袋里取走 个黑球后，再放入 个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率不小于 ，至少需取走多少个
黑球？
45．（2022·浙江·九年级专题练习）某可乐公司利用周末搞促销活动：每购买一瓶可乐，便可参加摇奖一次，摇奖
牌是平均分成8个扇形的转盘，如图所示．
(1)中奖的概率是多少？
(2)中奖得4瓶可乐的概率是多少？
(3)如果促销活动当天能卖出可乐1000瓶，那么该促销点当天应准备奖品可乐多少瓶？
(4)已知一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，在周末两天的促销活动中，每天能卖出可乐1000瓶，公司是赔钱还是赚钱？金额是多少？1．A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A、从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球是必然事件，故A正确；
B、从2、4、6、8、10这5张卡片中任抽一张是奇数是不可能事件，故B错误；
C、任意抛掷一枚硬币，出现正面是随机事件，故C错误；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3是随机事件，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在
一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在
一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．A
【分析】根据不可能事件的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，不可能事件，故A符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，故B不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，属于随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视机，正在播放《新闻联播》，属于随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题的关键是掌握不可能事件的概念：在一定条件下不可能发生的事件叫
不可能事件．
3．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】解：A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球是不可能事件，故不合题意；
B、a是实数， ，这是必然事件，故符合题意；
C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段有可能平行，是随机事件，故不合题意；
D、两数相加，和有可能为0，或负数等，是随机事件，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解
题的关键．
4．B
【分析】根据随机事件的概率，抓到红球的概率是 ，抓到白球的概率是 ，抓到红球的概率大于抓到白球
的概率，由此即可求解．【详解】解：抓到红球的概率是 ，抓到白球的概率是 ，
∵ ，即抓到红球的概率大于抓到白球的概率，
故选： ．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率问题，解题的关键是计算各事件的概率．
5．B
【分析】正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即事件发生的可能性为 ．
【详解】解：A、袋子中装有1个红球和2个白球，摸出的2个球都是白球是随机事件，不符合题意；
B、袋子中有1个红球和2个白球，摸出的2个球中至少有1个白球，所以是必然事件，符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个白球，所以摸出的2个球都是红球，是不可能事件，不符合题意；
D．袋子中有1个红球和2个白球，摸出的2个球中1个红球、1个白球是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了“必然事件”，解题的关键是正确理解“必然事件”的定义，必然事件是指事件一定会发生．
6．D
【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得 ，由此即可得．
【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，
所以袋子里红球的个数最多，
所以 ，
所以在四个选项中， 的值不可能是10，
故选：D．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生的可能性的大小求出 的取值范围是解题关键．
7．B
【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解．
【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口，
∴出第一道门有三种选择，
又∵第二道门有两个出口，
故出第二道门有D、E两种选择，
∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择，
分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE，
故选B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．
8．A
【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率一样，
可作实验替代物，所以本选项正确；
B选项中，图钉尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做实验替代物，所以本选项错误；C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率不同，不能代替抛掷硬
币的实验，所以本选项错误；
D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区
域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误；
故选A.
9．B
【分析】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．
【详解】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意；
C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；
D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一
定的偶然性．
10．B
【分析】根据概率的意义即可解答．
【详解】解：∵从布袋中取出一个红球的概率为 ，
∴这是一个随机事件，布袋中除了有红球，还有可能有别的球，
∴布袋中取出一只红球的可能性是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概
念．
11．C
【分析】根据概率的意义，“上海明天下雨的概率为85%”意为“上海明天下雨的可能性为85%”，也即是“上海
明天下雨的可能性很大”的意思，由此可进行相关判断．
【详解】解：A、天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”，并不是“上海明天将有85%的时间下雨”的意思，
选项说法错误，不符合题意；
B、天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”，并不是“上海明天将有85%的地区下雨”的意思，选项说法错
误，不符合题意；
C、天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”，指的是“上海明天下雨的可能性为85%”，也即是“上海明天下
雨的可能性很大”的意思，选项说法正确，符合题意；
D、天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”，指的是“上海明天下雨的可能性为85%”，也即是“上海明天下
雨的可能性很大”的意思，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
12．D
【分析】根据概率的意义、事件的分类以及绝对值的意义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、天气预报说“明天的降水概率为60%”，则表示明天有60%的几率降雨，选项错误，不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上的概率为 ，则表明大量重复掷硬币实验，正面朝上的概率是 ，8次试验次数太少，不
一定有4次正面朝上，选项错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，选项错误，不符合题意；
D、若a是实数，则 ，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查概率的意义、事件的分类以及绝对值的意义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．B
【分析】从袋中任意摸出一个球的等可能情况数为 ，摸出红球的等可能情况数为 ，按照概率公式计算即可；
【详解】解：摸出红球的概率：
故选：B．
【点睛】本题考查了简单的概率计算；掌握简单概率的计算方法是解题的关键．
14．C
【分析】根据轴对称图形的概念找到所得图案是一个轴对称图形的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：在其余空白小正方形中任选一个涂黑，所得图案是一个轴对称图形的有如图所示2种结果，
∴所得图案是一个轴对称图形的概率是 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可
能出现的结果数．
15．C
【分析】根据题意列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可．
【详解】画树状图如下：共用12种等可能的结果，其中是“强“和”“国”两个字的结果有2种，
则取出的2张卡片上的文字恰好是“强”、“国”的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了可能事件的概率，列出所有等可能的结果，是解题的关键．
16．D
【分析】利用概率公式，将白球个数除以所有球总个数即可得出随机从中摸取一个恰好是白球的概率，列出等式
即可求解．
【详解】解：由题可知： ，
解得： ，
经检验，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了随机事件的概率，解题的关键是牢记概率公式，正确列出方程并求解．
17．A
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为 ，用 乘以总球数即可得到蓝色球的个数．
【详解】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在 ，
又∵不透明的布袋中，有蓝色、红色的玻璃球共有15个，
∴纸箱中蓝色的玻璃球的个数有 （个）．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动
的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事
件的概率．
18．A
【分析】首先设口袋中红球的个数为x个，根据题意求得红球个数即可求出摸到红球的概率．
【详解】解∶设布袋中红球的个数为x个，
∵任意摸出一个球是黄球的概率是 ，∴ ，
解得∶x=1，
∴P（摸到红球）= ．
故选A．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，记住概率公式是解题的关键．
19．A
【分析】用阴影部分的面积除以大正方形的面积即可．
【详解】解：根据题意，蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率＝ ．
故选A．
【点睛】本题考查几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键．
20．B
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫
做轴对称图形．
【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，
其概率为： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式的知识，了解轴对称的定义及概率的求法是解题的关键．
21．B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概
率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为 ，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为 ，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是 ．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
22．A【分析】根据对顶角的性质，矩形的性质，概率的意义，随机事件，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．对顶角相等，故选项A的说法正确，此选项符合题意；
B．“太阳东升西落”是必然事件，故选项B的说法错误，此选项不符合题意；
C．矩形的对角线相等且互相平分，故选项C的说法错误，此选项不符合题意；
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了随机事件，对顶角相等，矩形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件的特点是解题的关键．
23．C
【分析】根据事件的分类即可判断．
【详解】解：A、B、D是随机事件；
C、四边形的内角和是360°，所以C是不可能事件．
故选：C．
【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题的关键是熟知四边形内角和的度数．
24．A
【分析】根据矩形的性质以及矩形的边长得出矩形面积和三角形面积，进而得出小鸟落在阴影区域的概率．
【详解】解：∵ ，
，
∴则小鸟落在阴影部分的概率是 ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了几何概率问题，根据已知得出阴影部分面积是解题关键．
25．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A．下个月1号会下雨，是随机事件，不符合题意；
B．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃，是随机事件，不符合题意；
C．平分弦的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意；
D．13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件．
26．C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解： A．3个球都是黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；B．3个球都是白球，是不可能事件，故本选项不符合题意；
C．3个球中有黑球，是必然事件，故本选项符合题意；
D．3个球中有白球，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件．
27．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、有可能2个都是白球，是随机事件，故A不符合题意；
B、有可能2个都是黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、有可能摸出的是1个白球、1个黑球，是随机事件，故C不符合题意；
D、不可能摸出黄球，是不可能事件，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件
指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）用奇数的个数除以总数的个数即可得出答案；
（3）先找出点数大于2且小于5的个数，再除以总个数即可得出答案．
【详解】（1）解：P（点数为2） ；
（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，
则P（点数为奇数） ；
（3）点数大于2且小于5的有2种可能，就点数为3，4，
则P（点数大于2且小于5） ．
【点睛】此题考查概率的求法，解决本题的关键是掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．
29．(1)
(2)180人
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用该校初三的总人数乘以周末使用手机时间超过3小时的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：估计该学生周末使用手机超过3小时的概率是 ；
（2）解：根据题意得： （人），
答：估计该校周末使用手机时间超过3小时的学生共有180人．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
30．B
【分析】用黄色球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：∵袋子中共有9个除颜色外其它都相同的球，其中黄球有3个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是黄球的概率是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可
能出现的结果数．
31．C
【详解】解：∵将5张分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形、正六边形的卡片任意摆放，
∴共有5种等可能的结果，
∵既是轴对称也是中心对称图形的有线段、正六边形、矩形，
∴从中任意翻开一张，翻到中心对称图形的概率是： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式的应用以及中心对称图形和轴对称图形．关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之
比．
32．A
【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【详解】解：传说中的小李飞刀，飞刀绝技高超，飞刀靶心的命中率为99%，在一次飞刀演练中，前99次均命中
靶心，那么他的第100次飞刀命中靶心的概率为：99%，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．33．D
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：她抽到参加“光盘行动”宣传队的概率是 ．
故选：D
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现
的结果数是解题的关键．
34．D
【分析】根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：4个条件的两两组合有：1和2；1和3；1和4；2和3；2和4；3和4六种组合，
其中1和2；1和3；2和4；3和4都能判断出四边形ABCD是平行四边形，
所以能判断出四边形ABCD是平行四边形的概率是 ，即为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，概率=所求情况数与总情况数之比；解题的关键是熟练掌握平行四边形的
判定方法．
35．
【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可．
【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块，
∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
36．20
【分析】先根据摸到黑色棋子的频率稳定在20%求出棋子的总个数即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： ．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 是解题关键．
37．
【分析】一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为 ．根据概率的意义，即可解答．
【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，在大量重复进行的情况下，正面朝上的频率会稳定在 左右，
∴前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概念是解题的关键．
38．
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：卡片上分别写有1，1，2，3，3，4，共六张；其中有2个“1”，4个奇数；
故从中任意摸到一张卡片，则摸到1号卡片的概率是 ，摸到奇数号卡片的概率是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了求概率，解决本题的关键是读懂题意并灵活运用所学知识求解．
39． 红
【分析】根据概率公式，分别计算拿到三种颜色的文具盒的概率后比较即可．
【详解】解：她拿到白色、黄色、红色的文具盒得概率分别是 ， ， ．她拿到红色文具盒的概率大．
故本题答案为：红色， ．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
．
40．
【分析】利用勾股定理求出阴影部分的直角边长，求出面积后根据概率的计算公式计算即可．
【详解】解：
∵ 都是正方形
∴ ，
∴ ， ，∴
又∵
∴∠ ≌△
∵正方形a、b面积分别为9、25，
∴ ，
∴ ，
∴正方形C的边长为：4
∴阴影部分的面积为： ，总面积为： ，
概率为：
故答案是：
【点睛】本题主要考查概率的计算方法，求出概率计算所需的线段长度是解题关键．
41．
【分析】由题意得， ，即可得内切圆的半径为1，求出圆的面积和三角形的面积即可得．
【详解】解：由题意得， ，
∴ 的内切圆半径为： ，
∴圆的面积为： ，
∵ ，
∴落在白色部分的概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何概率，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点，正确的求出内切圆的半径．
42．(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）用中特等奖的张数除以总张数即可．
（2）求出中奖的张数除以总张数即可．（3）一等奖和二等奖的张数之和再除以总张数即可．
（1）
中特等奖的张数为1张，根据概率公式，一张奖券中特等奖的概率为 ；
（2）
中奖的张数为：1+10+20+30=61张，根据概率公式，一张奖券中奖的概率为 ；
（3）
一等奖和二等奖的张数之和为：10+20=30张，根据概率公式，一张奖券中一等奖或二等奖的概率为 ．
【点睛】此题考查的是概率的求法，熟练掌握概率的公式是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)概率为 （或 ）
【分析】（1）根据轴对称进行画图即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：下图为所求；
（2）解：选择图①和图②，珠子停留在灰色区域的概率均为： ；
选择图③，珠子停留在灰色区域的概率为： ．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式，正确掌握轴对称图形的性质和根据概率公式求概率是
解题的关键．
44．(1)7个
(2)
(3)4个
【分析】（1）根据白球的数量及摸出白球的概率可求出盒子中球的总数，进而问题可求解；（2）由（1）及概率公式可进行求解；
（3）根据题意可列出不等式，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴黑球的个数为 ，
答：黑球的个数是7个；
（2）解：由（1）可得：任意摸出一个球是黑球的概率是 ；
（3）解：根据题意，得 ，
解得 ，
所以至少需取走4个黑球．
【点睛】本题主要考查概率及不等式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
45．(1)
(2)
(3)1250瓶
(4)赔钱700元
【分析】（1）根据中奖次数为4次，总次数为8，即可得出中奖概率；
（2）利用中奖得4瓶可乐只有一次机会，进而得出概率；
（3）利用可乐中奖总瓶数除以次数得出每次平均中奖瓶数，进而得出准备奖品数；
（4）利用（3）中所求得出每天的成本与总收入，进而得出赔赚情况．
（1）
P（中奖）＝ ＝ ；
（2）
P（中奖得4瓶可乐）＝ ；
（3）
∵摇奖一次中得可乐 ＝ （瓶），
∴当天能卖出可乐1000瓶，则该促销点当天应准备奖品可乐：1000× ＝1250（瓶）；
（4）
赔钱；
理由：∵一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，每天能卖出可乐1000瓶，∴一天一共可以卖2000元，成本是：1000+1250+100＝2350（元），
∴一天赔钱：2350﹣2000＝350（元），
∴周末两天的促销活动中公司是赔钱700元．
