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微专题：利用导数证明不等式
【考点梳理】
（1）①证明f(x)>g(x)，可以构造函数h(x)＝ f(x)－g(x), 然后利用h(x)的最值证明不等式；
②若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间
量， 达到证明的目的.
(2)利用“隐零点”证明不等式的关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：
①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的
根为x ，则(i)有关系式f′(x)＝0成立；(ii)注意确定x 的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数 f(x，
0 0 0
a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x ，则(i)有关系式f′
0
(x，a)＝0成立，该关系式给出了x，a的关系；(ii)注意确定x 的合适范围，往往和a的取值范围有关.
0 0 0
【题型归纳】
题型一：利用导数证明不等式
1．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：在 上， .
2．设函数 ，其中 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ．
（ⅰ）证明： 恰有两个零点；
（ⅱ）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： ．
3．已知函数 （a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ，且 ，求证： ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
5．设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
6．已知函数 ．
(1)设函数 ，若 在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程 恰有两个相异的实根 ， ，试求实数a的取值范围，并证明 ．
7．已知函数 ， .
（1）求函数 的增区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，求证： .
8．已知函数f（x）＝（x+1）ex+（a﹣1）x，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若g（x）＝f（x）﹣ex在R上单调递增，则当x＞0时，求证：
9．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
10．已知函数 .
(1)若曲线 上任意一点处的切线斜率不小于3，求a的最小值.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)当 ， 时，若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： .
11．已知函数 ．
(1)求 在R上的极值；
(2)求证： ．
12．已知 .
（1）当 有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当 ， 时，设 ，求证： .
13．（1）若 ，判断函数 在区间 内的单调性；
（2）证明：对任意 ， ， .
14．已知函数 ， ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 的值．
15．已知函数 ．
(1)若函数 在定义域内是单调增函数，求实数 的取值范围；
(2)求证： ， ．
16．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在 上恒成立.
17．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
18．已知函数 （ ）．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： ．
19．已知函数 （a为常数）在 处的切线方程为 .
（1）求a的值，并讨论 的单调性；
（2）若 ，求证 .
20．已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的导函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同极值点 ， 且 ；
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： .
【高分突破】
21．已知 且 ，函数 .
(1)当 时，设 的导函数 ，求 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个互异的零点 .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： .
22．已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
23．已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .
24．已知函数 ， ．
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时，讨论函数 的单调性．
25．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x，x，证明：
