文档内容
第二十四章 圆
专题17 圆周角重难点题型专训（八大题型）
【题型目录】
题型一 圆周角的概念辨析
题型二 圆周角定理
题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等问题
题型四 半圆所对的圆周角是直角问题
题型五 90°的圆周角所对的弦是直径问题
题型六 已知圆内接四边形求角度
题型七 求四边形外接圆的直径
题型八 圆周角综合问题
【知识梳理】
知识点一、圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
【经典例题一 圆周角的概念辨析】
1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直
角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内
接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于
点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点 、 、 、 在圆 上，且 切圆 于点 ， 于点 ，
对于下列说法：①圆上 是优弧；②圆上 是优弧；③线段 是弦；④ 和 都是圆周角；
⑤ 是圆心角，其中正确的说法是 ．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 经过 的圆心 ，且与 交于 两点，点 在
上，且 ，点 是直线 上的一个动点 (与圆心 不重合)， 直线 与 相交于另一点
，如果 ，则 .
5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：
作图区域：
(1) 的半径为1cm， 是 的一条弦（ 不经过M）， 、 分别是劣弧 所对应的
圆心角和圆周角；
(2) 是 中的一条弧，且 ．
6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以
使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是 ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
若以点A为圆心，△AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙△A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆
周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG
于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．【经典例题二 圆周角定理】
1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A，B，C，D在 上， ，B是弧 的
中点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图， 是 的外接圆，且 是 的直径，点D在
上，连接 、 ，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点C，
交 于点D，点E在 上， ， ，则弦 的长是 ．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知 是半圆 上的三等分点，连接 和
相交于点 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④四边形 是菱形．其中
正确的有 （填序号）．
5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D
为弧 的中点，连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点 ，交
于点 ，点 在 上．
(1)若 ，求 的度数；(2)若 ， ，求 的长．
【经典例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】
1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图， 是 的内接三角形， ，连接 并
延长交 于点B，连接 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 内接于 ， 是 的直径，点D是 上一点，
，则 °．
4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图， 是 的直径， 垂直弦 于点 ，则在不添加辅助
线的情况下，图中与 相等的角是 （写出一个即可）．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形 内接于 ， ．
求证：
(1) ；
(2) 是 的直径．
6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知： 的两条弦 ， 相交于点M，且 ．
(1)如图1，连接 .求证： ．
(2)如图2.若 ．在 上取一点E，使 ， 交 于点F，连接 、 ．判断 与
是否相等，并说明理由．
【经典例题四 半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， 是 的外接圆， 是
的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A，B，C在 上， ，连接 并延长，交 于
点 ，连接 ， 若 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．直线 垂直平分 C． D．
3．（2023·江苏·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若 ，
，则 的直径 ．
4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知 的直径 ， 为 上一点（不与 、
重合），连接 、 ．弦 平分 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数为 ．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形 中 边上一
点（不与A、B重合），以 为直径的 分别交 和 于点F、M， 于点H．
(1)求证：
(2)猜想 与 的大小关系，并说明理由．
(3)当 时，求 的面积．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为 上两定点，点A为 上一动点，过点B作
，交 于点E，点D为射线 上一动点，且 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．【经典例题五 90°的圆周角所对的弦是直径问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是等边三角形， ，点 是 内一点，且
，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 中， ，点 为边 上一个动点，连接
，点 为 上一点，且 ，在 上截取点 使 ，交 于点 ，连接 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形 是矩形， ，点 是平面内的一
个动点，连接 ，在运动的过程中， 始终垂直于 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连
接 ，则 的最大值为 ．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，
点E在线段 上运动，点F在线段 上， ，则线段 的最小值为 ．
5．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）正方形 边长为4，点E为平面内一点，以 为腰作等腰
直角 ，其中 ， 可绕点C旋转．
(1)如图1，连接 ， ．
①求证： ；
②判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)设直线 ， 交于点P，连接 ，求 的最大值．
6．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．【经典例题六 已知圆内接四边形求角度】
【例6】（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，四边形 内接于 ，连接 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图， 内接于 ， ，点D是 上一点，连接OA，
AD，BD，若 ，则 的度数为（ ）
A．110° B．140° C．120° D．130°
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，E为正方形 的边 上一点（不与 重合），将
沿直线 翻折到 ，延长 交 于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧 上一点，则
．3．（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 的
度数之比为1∶2∶4，则
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中，点D为 边上的一个动点，以 为直径的 交
于点E，过点C作 ，交 于点F．连接 ，若 是 的切线．
(1)求证： ；
(2)若 ，求直径 的长．
5．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形 内接于 ，点C是弧 的中点，延长 到点E，
使得 ，连结 ．(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求 的长
【经典例题七 求四边形外接圆的直径】
【例7】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，
点C为 的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·四川德阳·统考一模）如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，
连接 作 ，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）A． B．1 C． D．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形 中， ， ， 的两边分别
交边 、 于点E、F，且 ，记 的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．
3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段 的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与
原点O重合）， ， ，作 轴， ，交点为P，设P的坐标为 ，则
．
4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形 中， ，点 分别在 ， 上，
， 与 交于点 ．
(1)求证： ；(2)当 ， 时，求 的长？
(3)当 时，求 的最大值？
5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小
覆盖圆．
(1)如图①，线段 ，则线段 的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②， 中， ， ， ，请用尺规作图，作出 的最小覆盖圆
（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形 中， ， ，则矩形 的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等
圆完全覆盖该矩形 ，那么这两个等圆的最小半径为_________．
【经典例题八 圆周角综合问题】
【例8】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形 的斜边 为边在三角形 的
同侧作正方形 ，正方形的对角线 ， 相交于点 ，连接 ，如果 ， ，则正
方形 的面积为（ ）A．20 B．22 C．24 D．26
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 中， ，点 为边 上一个动点，连接
，点 为 上一点，且 ，在 上截取点 使 ，交 于点 ，连接 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别
作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M
在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的
坐标为3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 和直线m的函数表达
式为 ，动点 在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线
交y轴于点D，当 时，则x的值为 ．
4．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图， 内接于 ，连接 ，
．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在 上，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，
求 的长．
