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专题 15 概率
【思维导图】
◎考点题型1 事件
事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
例．（2022·山东菏泽·七年级期末）下列事件属于必然事件的是（ ）
A． 人中至少有 人的生日在同一个月 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
C．画一个三角形，其内角和是 D．早上的太阳从西方升起
变式1．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角
B．抛掷一次硬币正面朝上
C．随便翻开一本书，页码是偶数
D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖
变式2．（2018·全国·九年级单元测试）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（ ）
A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
B．扔一枚正六面体的骰子
C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人
D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面”
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽
子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（ ）
A．7种 B．6种 C．5种 D．4种
◎考点题型2 概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包含其中的m中
结果，那么事件A发生的概率为
例．（2022·湖南长沙·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
变式1．（2022·湖南·明德华兴中学三模）下列说法正确的是（ ）
A．要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用普查方式
B．如果天气预报明天降雪的概率是 ，那么明天有一半的时间都在下雪
C．若A、B两组数据的平均数相同， ， ，则B组数据较稳定
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
变式2．（2022·浙江杭州·九年级期末）下列说法正确的是（ ）A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生
C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为
变式3．（2022·江苏宿迁·八年级期中）一个布袋里装有3个红球，4个黑球，5个白球，它们除颜色外都
相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )
A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球
◎考点3列举法
直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
例．（2022·江西萍乡·七年级期末）小军旅行箱的密码是一个六位数（密码的每位数字通常用0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9这十个数字），由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是(
)
A． B． C． D．
变式1．（2022·安徽·中考真题）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、
白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑
色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（
）
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）如图，在太极八卦图中，每一卦由三根线组成（线形为
“ ”或“ ”），如正北方向的卦为“ ”，从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“
”和1根“ ”的概率是（ ）A． B． C． D．
◎考点4 列表法求概率
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法。
例．（2021·四川成都·三模）随着移动支付的发展，商场购物的支付方式越来越多样、便捷．某商场支持
微信、支付宝、银行卡、现金、预付费购物卡、刷脸等多种支付方式．学校数学兴趣小组设计了一份调查
问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计
图，请结合图中所给的信息解答下列问题．
(1)这次活动共调查了 ______人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 ______°；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付，
请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择相同支付方式的概率．
变式1．（2022·湖南湘西·九年级期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自
制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有
任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；
(3)如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问
这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）为了让学生提高身体素质，实现“德智体美劳”全面发展，体育
已经成为了中考的第四大主科，不仅总分进行了提升，也直接纳入到中考的总成绩当中．下面是2022年驻
马店市体育考试项目：
驻马店市体育考试项目
二
必考 三选一 选
一
立 引
10 实
男 定 体 跳 篮 足
00 心
生 跳 向 绳 球 球
米 球
远 上
立 仰
80 实
女 定 卧 跳 篮 足
0 心
生 跳 起 绳 球 球
米 球
远 坐
(1)九年级一班的小华同学恰好选中跳绳的概率是多少？
(2)求九年级二班的小强（男生）同学恰好选中跳绳、足球的概率（画树状图或列表）．
变式3．（2022·辽宁大连·九年级期末）现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其
他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树状图或列表的方法，
求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．
◎考点5 树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率。例．（2022·河南南阳·九年级期末）游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积
相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于3，则游戏者获胜．
(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
(2)求游戏者获胜的概率．
变式1．（2022·山东德州·九年级期末）为积极相应“五项管理”政策，加强学生体育锻炼，某校开设羽毛
球、篮球、乒乓球兴趣小组，为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部
分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)求参与调查的学生中，喜爱乒乓球运动的学生人数，并补全条形图．
(2)该校七年级共有880名学生，请你估计该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？
(3)若从喜爱羽毛球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校羽毛球运动员的重点培养
对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
变式2．（2022·湖南长沙·九年级期末）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，
对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计，分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：
基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答
下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有 人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
(3)七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求
出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
变式3．（2021·吉林辽源·九年级期末）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰
物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相
同．将三张卡片正面向下洗匀，小丰同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从
中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小丰同学两次抽出的卡片中含有B卡片的概率．
◎考点题型6 利用频率估计概率
实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率
，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限
制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.
例．（2021·全国·九年级专题练习）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做
了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
15 14 25 13 13
数 0
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现
4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
变式1．（2022·河北·涿州市清凉寺学校九年级期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装
有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后
放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数
200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的
116 192 232 298 590 968 1202
个数
摸到白球的
0.58 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605
频率
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
变式2．（2022·江苏泰州·八年级期中）在一个不透明的口袋里装有若干个红球和白球（这些球除颜色外都
相同），八（1）班学生在数学实验室做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回
袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总获得的数据统计表：
摸球的次数 150 300 600 1000 1200 1500
摸到白球的频数 51 237 401 480 603
0.340 0.390 0.395 0.401 0.400
摸到白球的概率
(1)按表格数据，表中 _______； _______；
(2)请估计：当次数 很大时，摸到白球的频率将会在某一个常数附近摆动，这个常数是_______（保留一个
小数位）；
(3)将球搅匀，从口袋中任意摸出1个球，摸到白球和摸到红球的可能性相同吗？为什么？变式3．（2022·江苏盐城·八年级阶段练习）儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则
如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸
到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
(1)求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
(2)袋中约有多少个白球？
◎考点题型7 游戏的公平性
例．（2022·四川雅安·七年级期末）学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．
小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，
若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？
为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，
洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题．
(1)随机抽取一张，抽到4的概率________；
(2)随机抽取一张，抽出奇数的概率________；
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个
游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数量和内容）使游戏
公平．
变式2．（2022·河南洛阳·九年级期末）小明听说小张和小李两位好朋友利用星期天到河岸边清理垃圾，参
加保护环境志愿者服务活动，也临时参加，活动结束后，有赞助商赠送两个书包作为奖品，小明提出：用
抓阄的方式来确定书包归属，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，
折叠成外表完全一样的纸团搅匀，每人抓一个，小李提出异议说：谁先抓对谁有利，认为这个方法不公平．
而小张、小明则认为：先抓后抓一个样．你认为抓阄这个方法公平吗？用学过的概率知识进行说明．变式3．（2022·河南·开封市祥符区教育体育局基础教育教研室七年级期末）如图，对于给定的转盘，指针
停在各个数字部分的概率都相等．小明和小亮两人做游戏，如果指针停在偶数，则小明赢；如果指针停在
3的倍数，则小亮赢，那么这个游戏对小明和小亮公平吗?谁获胜的概率大?若不公平，你能修改游戏规则，
使之公平吗?
◎考点题型8 转盘抽奖应用
例．（2022·山西大附中一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物
满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．变式1．（2022·山东·济南育英中学七年级期中）一圆盘被平均分成 等份，分别标有
这 个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游
戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，
猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是 的倍数”或“不是 的倍数”；
（3）猜“是大于 的数”或“是不大于 的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜
数方法？并请你用数学知识说明理由．
变式2．（2021·山东烟台·七年级期末）新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家
采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均
匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指
针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边
界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合
算？谈谈你的理由．
变式3．（2018·全国·七年级单元测试）转动下面这些可以自由转动的转盘，当转盘停止转动后，估计“指
针落在白色区域内”的可能性大小，并将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序排列．◎考点题型9 比赛中的应用
例．（2022·全国·九年级单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平
均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分
球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
变式1．（2021·辽宁锦州·九年级期中）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，
背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或
小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏
规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
变式2．（2022·河北廊坊·九年级期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到
一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图
解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
变式3．（2020·安徽·二模）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，
并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩 频数 频率
2 0.04
0.1620 0.40
16 0.32
4
合计 50 1
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出 , 的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组： ； ； 若按照这样的分组方式绘制扇
形统计图，则其中 组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和
小怡同时被选上的概率．
